Nauka » Matematyka » Stożek Funkcje trygonometryczne sinus cosinus tangens

Zadanie maturalne nr 23, matura 2016 (poziom podstawowy)

Kąt rozwarcia stożka ma miarę 120°, a tworząca tego stożka ma długość 4. Objętość tego stożka jest równa

A. 36π
B. 18π
C. 24π
D. 8π

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Sporządzamy rysunek pomocniczy. Kat rozwarcia stożka ma 120°, zatem kąt miedzy wysokością a tworzącą ma 60°. Oznaczamy długość promienia podstawy przez r.

Do obliczenia długości promienia wykorzystamy definicje sinusa kąta (stosunek przyprostokątnej naprzeciwległej do przeciwprostokątnej trójkąta):

$sin{60^o}=\frac{r}{4}\\\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{r}{4}/\cdot 4\\ r=2\sqrt{3}$

Do obliczenia długości wysokości stożka wykorzystamy definicje cosinusa kąta (stosunek przyprostokątnej przyległej do przeciwprostokątnej trójkąta):

$cos{60^o}=\frac{h}{4}\\\frac{1}{2}=\frac{h}{4}/\cdot 4\\ h=2$

Objętość stożka (prostego i pochyłego) jest równa jednej trzeciej iloczynu pola podstawy (koła) przez wysokość stożka:

$V=\frac{1}{3}P_p\cdot h=\frac{1}{3}\pi r^2h$

Obliczamy więc:

$V=\frac{1}{3}\pi r^2 h=\frac{1}{3}\pi (2\sqrt{3})^2 \cdot2 = 8\pi$

Odpowiedź

Odpowiedź D

Zadania podobne

Zadanie - funkcje trygonometryczne
Dany jest trójkąt równoramienny o podstawie długości a, ramionach długości b, kątami wewnętrznymi przy podstawie trójkąta $\beta$ oraz $\alpha$ przy wierzchołku trójkąta z którego opada wysokość h na podstawę trójkąta. Zapisać podstawowe funkcje trygonometryczne dla katów: $\beta, \frac{\alpha}{2}$ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - funkcje trygonometryczne
Dany jest trójkąt prostokątny równoramienny o przyprostokątnej długości $a=\sqrt{2}$ . Oblicz długość podstawy korzystając z funkcji trygonometrycznych.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - funkcje trygonometryczne
Obliczyć długość podstawy prostokąta, jeżeli przekątna o długości $d=2\sqrt{3}$ tworzy z podstawą kąt $\alpha=30^o$ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - funkcje trygonometryczne
Obliczyć promień R okręgu opisanego na sześciokącie foremnym, jeżeli wiadomo, że długość promienia wpisanego w ten wielokąt r=2.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 13, matura 2016 (poziom podstawowy)

ilustracja do zadania 13 , matura 2016 W okręgu o środku w punkcie $S$ poprowadzono cięciwę $AB$, która utworzyła z promieniem $AS$ kąt o mierze 31° (zobacz rysunek). Promień tego okręgu ma długość 10. Odległość punktu $S$ od cięciwy $AB$ jest liczbą z przedziału

A. $\langle \frac{9}{2};\frac{11}{2}\rangle$

B. $\langle \frac{11}{2};\frac{13}{2}\rangle$

C. $\langle \frac{13}{2};\frac{19}{2}\rangle$

D. $\langle \frac{19}{2};\frac{37}{2}\rangle$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 17, matura 2016 (poziom podstawowy)
Kąt

jest ostry i $tg{\alpha}=\frac{2}{3}$ . Wtedy:

A. $sin{\alpha}=\frac{3\sqrt{13}}{26}$
B. $sin{\alpha}=\frac{\sqrt{13}}{13}$
C. $sin{\alpha}=\frac{2\sqrt{13}}{13}$
D. $sin{\alpha}=\frac{3\sqrt{13}}{13}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 24, matura 2016 (poziom podstawowy)
Przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest dwa razy dłuższa od wysokości graniastosłupa. Graniastosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i jeden wierzchołek drugiej podstawy (patrz rysunek).
Ilustracja do zadania nr 24, matura z matematyki 2016, poziom podstawowy

Ilustracja do zadania nr 24, matura z matematyki 2016, poziom podstawowy

Płaszczyzna przekroju tworzy z podstawą graniastosłupa kąt α o mierze
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 75°

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 14, matura 2015 (poziom podstawowy)
Tangens kąta α zaznaczonego na rysunku jest równy:
wzór

B. -4/5
C. -1
D. -5/4

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 14, matura 2018

Przyprostokątna LM trójkąta prostokątnego KLM ma długość 3, a przeciwprostokątna KL ma
długość 8 (zobacz rysunek).

Wówczas miara α kąta ostrego LMK tego trójkąta spełnia warunek

27°<α≤30°
24°<α≤27°
21°<α≤24°
18°<α≤21°

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 13, matura 2019

Sinus kąta ostrego α jest równy 4/5. Wtedy

A. cosα=5/4

B. cosα=1/5

C. cosα=9/25

D. cosα=3/5

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 21, matura 2019

Promień AS podstawy walca jest równy połowie wysokości OS tego walca. Sinus kąta OAS
(zobacz rysunek) jest równy

Rysunek

A. √5/2

B. 2√5/5

C. 1/2

D. 1

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 19, matura 2020

Dany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych α i β (zobacz rysunek).

Rysunek

Wyrażenie 2cosα − sinβ jest równe

A. 2sinβ

B. cosα

C. 0

D. 2

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.