Zadanie maturalne nr 23, matura 2016 (poziom podstawowy)
Treść zadania:
Kąt rozwarcia stożka ma miarę 120°, a tworzącą tego stożka ma długość 4. Objętość tego stożka jest równa
A. \(36\pi\)
B. \(18\pi\)
C. \(24\pi\)
D. \(8\pi\)
Rozwiązanie zadania
Sporządzamy rysunek pomocniczy. Kat rozwarcia stożka ma \(120°\), zatem kąt miedzy wysokością a tworzącą ma \(60°\). Oznaczamy długość promienia podstawy przez \(r\).
Do obliczenia długości promienia wykorzystamy definicje sinusa kąta (stosunek przyprostokątnej naprzeciwległej do przeciwprostokątnej trójkąta):
\(sin{60°}=\frac{r}{4}\)
\(\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{r}{4}/\cdot 4\)
\(r=2\sqrt{3}\)
Do obliczenia długości wysokości stożka wykorzystamy definicje cosinusa kąta (stosunek przyprostokątnej przyległej do przeciwprostokątnej trójkąta):
\(\cos{60°}=\frac{h}{4}\)
\(\frac{1}{2}=\frac{h}{4}/\cdot 4\)
\(h=2\)
Objętość stożka (prostego i pochyłego) jest równa jednej trzeciej iloczynu pola podstawy (koła) przez wysokość stożka:
Obliczamy więc:
\(V=\frac{1}{3}\pi r^2 h=\frac{1}{3}\pi (2\sqrt{3})^2 \cdot2 = 8\pi\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2016-11-01, ZAD-3247
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Dany jest stożek o promieniu podstawy 2 cm i wysokości 6 cm. Oblicz jego objętość i pole powierzchni.
Zadanie nr 2 — maturalne.
Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoboczny o boku długości 6 . Objętość tego stożka jest równa:
A. \(27\pi \sqrt{3}\)
B. \(9\pi \sqrt{3}\)
C. \(18\pi\)
D. \(6\pi\)
Zadanie nr 3 — maturalne.
Rozpatrujemy wszystkie stożki, których przekrojem osiowym jest trójkąt o obwodzie 20. Oblicz wysokość i promień podstawy tego stożka, którego objętość jest największa. Oblicz objętość tego stożka.
Zadanie nr 4 — maturalne.
Dwa stożki o takich samych podstawach połączono podstawami w taki sposób jak na rysunku. Stosunek wysokości tych stożków jest równy 3:2 . Objętość stożka o krótszej wysokości jest równa 12 cm3 .
Objętość bryły utworzonej z połączonych stożków jest równa
A. 20 cm3
B. 30 cm3
C. 39 cm3
D. 52,5 cm3