Strona główna » Matematyka » Funkcje trygonometryczne: sinus, cosinus, tangens, cotangens

Zadanie - funkcje trygonometryczne

Obliczyć promień R okręgu opisanego na sześciokącie foremnym, jeżeli wiadomo, że długość promienia wpisanego w ten wielokąt r=2.

Rozwiązanie zadania uproszczone

$\alpha=30^o\\ \cos{\alpha}=\frac{r}{R}\\ R\cos{\alpha}=r/:\cos{\alpha}\\ R=\frac{r}{\cos{\alpha}}$
$R=\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{4}{\sqrt{3}}\approx 2,3$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Sporządzamy rysunek:

Ustalimy w pierwszej kolejności miarę kąta $\alpha$ . Zauważ, że kąt pełny 360° jest podzielony na sześć przystających kątów (wewnętrznych trójkątów). Zatem jeden z takich kątów ma miarę: 360°:6=60°. Szukany kąt ma miarę o jedną drugą mniejszą, gdyż wysokość w takim trójkącie dzieli podstawę trójkąta na dwie równe części, wysokość jest jednocześnie dwusieczną tego kąta. Zatem

$\alpha=30^o$

Korzystamy z definicji funkcji cosinus:

$\cos{\alpha}=\frac{r}{R}/\cdot R\\ R\cos{\alpha}=r/:\cos{\alpha}\\ R=\frac{r}{\cos{\alpha}}$

Korzystaliśmy z danej wartości r=2 i tego, że $\cos{30^o}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$R=\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{4}{\sqrt{3}}\approx 2,3$

Odpowiedź

$R\approx 2,3$

Zadania podobne

Zadanie - funkcje trygonometryczne
Dany jest trójkąt równoramienny o podstawie długości a, ramionach długości b, kątami wewnętrznymi przy podstawie trójkąta $\beta$ oraz $\alpha$ przy wierzchołku trójkąta z którego opada wysokość h na podstawę trójkąta. Zapisać podstawowe funkcje trygonometryczne dla katów: $\beta, \frac{\alpha}{2}$ .

Zadanie - funkcje trygonometryczne
Dany jest trójkąt prostokątny równoramienny o przyprostokątnej długości $a=\sqrt{2}$ . Oblicz długość podstawy korzystając z funkcji trygonometrycznych.

Zadanie - funkcje trygonometryczne
Obliczyć długość podstawy prostokąta, jeżeli przekątna o długości $d=2\sqrt{3}$ tworzy z podstawą kąt $\alpha=30^o$ .

Zadanie maturalne nr 13, matura 2016 (poziom podstawowy)
ilustracja do zadania 13 , matura 2016

W okręgu o środku w punkcie S poprowadzono cięciwę AB, która utworzyła z promieniem AS kąt o mierze 31° (zobacz rysunek). Promień tego okręgu ma długość 10. Odległość punktu S od cięciwy AB jest liczbą z przedziału

A.

Zadanie maturalne nr 17, matura 2016 (poziom podstawowy)
Kąt

jest ostry i $tg{\alpha}=\frac{2}{3}$ . Wtedy:

A. $sin{\alpha}=\frac{3\sqrt{13}}{26}$
B. $sin{\alpha}=\frac{\sqrt{13}}{13}$
C. $sin{\alpha}=\frac{2\sqrt{13}}{13}$
D. $sin{\alpha}=\frac{3\sqrt{13}}{13}$

Zadanie maturalne nr 23, matura 2016 (poziom podstawowy)
Kąt rozwarcia stożka ma miarę 120°, a tworząca tego stożka ma długość 4. Objętość tego stożka jest równa

A. 36π
B. 18π
C. 24π
D. 8π

Zadanie maturalne nr 24, matura 2016 (poziom podstawowy)
Przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest dwa razy dłuższa od wysokości graniastosłupa. Graniastosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i jeden wierzchołek drugiej podstawy (patrz rysunek).
Ilustracja do zadania nr 24, matura z matematyki 2016, poziom podstawowy