Zadanie maturalne nr 13, matura 2016 (poziom podstawowy)

Rozwiązanie zadania

Wprowadźmy następujące oznaczenie:

Kilka słów wyjaśnień. Odległość punktu od prostej jest to najkrótsza odległość dzieląca punkt i prostą, stąd wniosek, że kąt pomiędzy odcinkami \(KA\) i \(KS\) jest kątem prostym. Powstał w ten sposób trójkąt prostokątny, w którym dany jest kąt ostry, długość przeciwprostokątnej, a szukaną jest długość przyprostokątnej, leżącej naprzeciwko kąta ostrego. Długość \(x\) policzymy z definicji sinusa kąta.

Mamy więc:

\(\sin{31°}=\frac{x}{10}\)

Zauważ, że nie musimy liczyć dokładnej wartości \(x\), tylko oszacować, w jakim jest przedziale, zastosujemy więc przybliżenie:

\(\sin{31°}\approx \ sin{30°}=\frac{1}{2}\)

Obliczamy \(x\) z prostego równania ...

\(\frac{x}{10}=\frac{1}{2}\)

\(x=\frac{10}{2}\)

... i widzimy, że rozwiązanie mieści się w pierwszym przedziale.

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2016-11-01, ZAD-3233

Zadania podobne

Jaka jest odległość między różnymi punktami \(A, B\), jeżeli \(|AC|=4, |BC|=5\)?

Obliczyć odległość początku układu współrzędnych od okręgu o równaniu \((x-3)^2+(y-3)^2=4\).

Obliczyć odległość punktu \(A=(-3,4)\) od prostej o równaniu \(y=-2x+2\).

Obliczyć odległość punktu \(M=(1,2)\) od trójkąta wyznaczonego przez punkty \(A=(-1,0), B=(5,-1), C=(1,-3)\).

Znaleźć współrzędne punktów, których odległość od prostej \(y=3x+2\) jest równa \(\sqrt{2}\).

Dane są punkty \(A=(\frac{\sqrt{2}}{2},2\sqrt{2}), \ B=(\frac{1}{\sqrt{2}}, 3\sqrt{2}+1)\). Obliczyć odległość \(|AB|\).

Oblicz odległość punktu \(P=(3,2)\) od prostej \(3x+4y-1=0\).

Oblicz odległość punktu \(P=(-1,1)\) od prostej \(y=2x-1\).

Odległość początku układu współrzędnych od prostej o równaniu \(y = 2x + 4\) jest równa

A. \(\frac{\sqrt{5}}{5}\)

B. \(\frac{4\sqrt{5}}{5}\)

C. \(\frac{4}{5}\)

D. \(4\)

Punkt \(A=(7,−1)\) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Obie współrzędne wierzchołka \(C\) są liczbami ujemnymi. Okrąg wpisany w trójkąt ABC ma równanie \(x^2+y^2=10\). Oblicz współrzędne wierzchołków \(B\) i \(C\) tego trójkąta.

Prosta przechodząca przez punkty \(A=(8, −6)\) i \(B=(5, 15)\) jest styczna do okręgu o środku w punkcie \(O=(0, 0)\). Oblicz promień tego okręgu i współrzędne punktu styczności tego okręgu z prostą AB.