Stożek

Co to jest stożek? Oto definicja stożka:

Stożek jest to bryła, która powstaje przy obrocie trójkątna prostokątnego dookoła jednej z jego przyprostokątnych.

Stożek może być prosty lub pochyły.

Animacja

Poniższy rysunek opisuje takie pojęcia jak: wysokość \(h\) stożka, powierzchnia boczna i podstawa.

stożek

Objętość stożka

Jak obliczyć objętość stożka? Objętość stożka (prostego i pochyłego) jest równa jednej trzeciej iloczynu pola podstawy (koła) przez wysokość stożka. Wzór na objętość stożka jest następujący:

\(V=\frac{1}{3}P_p\cdot h=\frac{1}{3}\pi r^2h\)

Pole powierzchni stożka

Pole powierzchni stożka jest równe sumie pól podstawy stożka (pole koła: \(\pi r^2\)) i pola powierzchni bocznej \(P_b\) (pole wycinka kołowego: \(\pi r l\)). Wzór na pole powierzchni stożka jest następujący:

\(P=P_p+P_b=\pi r^2+\pi rl, \ l=\sqrt{r^2+h^2}\)

Siatka stożka

Poniższy rysunek przedstawia siatkę stożka. Przy sporządzaniu siatki stożka (dla na przykład wykonania modelu bryły) pamiętać należy, że dla narysowania powierzchni bocznej po rozwinięciu należy nakreślić koło o promieniu równym tworzącej \(l\) stożka, a z tego koła wyciąć wycinek o łuku równym obwodowi podstawy stożka. Aby to zrobić, należy posłużyć się proporcją: \(\phi :360=(2\pi r):(2 \pi l)\).

siatka stożka

Przekrój osiowy i poprzeczny stożka

Każdy przekrój osiowy stożka przechodzący przez jego oś jest trójkątem równoramiennym, którego długość jednego boku jest równa średnicy podstawy stożka. Natomiast przekrój poprzeczny stożka płaszczyzną prostopadłą do osi stożka jest kołem.

Pytania

Jak zrobić stożek z papieru?

Stożek można wykonać z papieru (kartonu) na podstawie siatki stożka (przykładowa siatka została przedstawiona poniżej w formie karty pracy w formacie PDF). Siatkę należy wyciąć i skleić.

Co to jest tworząca stożka?

Tworząca stożka to odcinek łączący dowolny punkt na okręgu podstawy stożka z jego wierzchołkiem.

Co to jest kąt rozwarcia stożka?

Kąt rozwarcia stożka jest to kąt zawarty między bokami o długościach \(l\) w przekroju osiowym stożka.

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Dany jest stożek o promieniu podstawy 2 cm i wysokości 6 cm. Oblicz jego objętość i pole powierzchni.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2 — maturalne.

Kąt rozwarcia stożka ma miarę 120°, a tworzącą tego stożka ma długość 4. Objętość tego stożka jest równa

A. \(36\pi\)

B. \(18\pi\)

C. \(24\pi\)

D. \(8\pi\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3 — maturalne.

Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoboczny o boku długości 6 . Objętość tego stożka jest równa:

A. \(27\pi \sqrt{3}\)

B. \(9\pi \sqrt{3}\)

C. \(18\pi\)

D. \(6\pi\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4 — maturalne.

Rozpatrujemy wszystkie stożki, których przekrojem osiowym jest trójkąt o obwodzie 20. Oblicz wysokość i promień podstawy tego stożka, którego objętość jest największa. Oblicz objętość tego stożka.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5 — maturalne.

Dwa stożki o takich samych podstawach połączono podstawami w taki sposób jak na rysunku. Stosunek wysokości tych stożków jest równy 3:2 . Objętość stożka o krótszej wysokości jest równa 12 cm³ .

Zadanie 25, matura 2020