Stożek

Co to jest stożek?

Definicja

Stożek jest to bryła, która powstaje przy obrocie trójkątna prostokątnego dookoła jednej z jego przyprostokątnych. Stożek może być prosty lub pochyły.

Animacja

Poniższy rysunek opisuje takie pojęcia jak: wysokość h stożka, powierzchnia boczna i podstawa.

Siatka stożka

Poniższy rysunek przedstawia siatkę stożka. Przy sporządzaniu siatki stożka (dla na przykład wykonania modelu bryły) pamiętać należy, że dla narysowania powierzchni bocznej po rozwinięciu należy nakreślić koło o promieniu równym tworzącej l stożka, a z tego koła wyciąć wycinek o łuku równym obwodowi podstawy stożka. Aby to zrobić należy posłużyć się proporcją: $\phi :360=(2\pi r):(2 \pi l)$ .

Każdy przekrój osiowy stożka przechodzący przez jego oś jest trójkątem równoramiennym, którego długość jednego boku jest równa średnicy podstawy stożka. Natomiast przekrój poprzeczny stożka płaszczyzną prostopadłą do osi stożka jest kołem.

Objętość stożka

Jak obliczyć objętość stożka? Objętość stożka (prostego i pochyłego) jest równa jednej trzeciej iloczynu pola podstawy (koła) przez wysokość stożka. Wzór na objętość stożka jest następujący:

$V=\frac{1}{3}P_p\cdot h=\frac{1}{3}\pi r^2h$

Pole powierzchni stożka

Pole powierzchni stożka jest równe sumie pól podstawy stożka (pole koła: $\pi r^2$ ) i pola powierzchni bocznej P_b(pole wycinka kołowego: $\pi r l$ ). Wzór na pole powierzchni stożka jest następujący:

$P=P_p+P_b=\pi r^2+\pi rl, \ l=\sqrt{r^2+h^2}$

Pytania

Jak zrobić stożek?

Stożek można wykonać z papieru (kartonu) na podstawie siatki stożka (przykładowa siatka została przedstawiona wyżej). Siatkę należy wyciąć i skleić.

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Dany jest stożek o promieniu podstawy 2cm i wysokości 6 cm. Oblicz jego objętość i pole powierzchni.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2 — maturalne.

Kąt rozwarcia stożka ma miarę 120°, a tworząca tego stożka ma długość 4. Objętość tego stożka jest równa

A. 36π
B. 18π
C. 24π
D. 8π

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3 — maturalne.

Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoboczny o boku długości 6 . Objętość tego stożka jest równa :

A. $27\pi \sqrt{3}$
B. $9\pi \sqrt{3}$
C. $18\pi$
D.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4 — maturalne.

Rozpatrujemy wszystkie stożki, których przekrojem osiowym jest trójkąt o obwodzie 20. Oblicz wysokość i promień podstawy tego stożka, którego objętość jest największa. Oblicz objętość tego stożka.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5 — maturalne.

Dwa stożki o takich samych podstawach połączono podstawami w taki sposób jak na rysunku. Stosunek wysokości tych stożków jest równy 3:2 . Objętość stożka o krótszej wysokości jest równa 12 cm³ .

Zadanie 25, matura 2020