Walec

Co to jest walec? Oto definicja walca.

Walec jest to bryła, która powstaje przy obrocie prostokąta dookoła jednego z jego boków.

Walec może być prosty lub pochyły.

Animacja

Poniższy rysunek opisuje takie pojęcia jak: wysokość \(h\) walca, oś walca, powierzchnia boczna i podstawa.

walec

Objętość walca

Objętość walca jest równa iloczynowi pola podstawy walca (koła) przez wysokość walca. Wzór na objętość walca jest następujący:

\(V=P_p\cdot h=\pi r^2h\)

Pole powierzchni walca

Pole powierzchni walca jest równe sumie pól podstaw walca (pole kół: \(\pi r^2+\pi r^2\)) i pola powierzchni bocznej \(P_b\) (pole prostokąta: \(2\pi r h\)). Wzory na pole powierzchni walca są następujące:

\(P=2P_p+P_b=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi r(r+h)\)

Siatka walca

Poniższy rysunek przedstawia siatkę walca. Przy sporządzaniu siatki walca (dla na przykład wykonania modelu bryły) pamiętać należy, że jeden z boków prostokąta ma długość równą wysokości walca, a drugi — równą obwodowi podstawy walca.

siatka walca

Jak zrobić walec z papieru? Na końcu artykułu zamieszczamy szablon w postaci karty pracy w formacie PDF siatki walca do druku.

Przekrój osiowy i poprzeczny walca

Każdy przekrój osiowy walca przechodzący przez jego oś jest prostokątem, którego długość jednego boku jest równa średnicy podstawy walca, a drugiego — wysokości walca. Natomiast przekrój poprzeczny walca płaszczyzną prostopadłą do osi walca jest kołem przystającym do podstawy.

Pytania

Jak obliczyć pojemność walca w litrach?

Pojemność walca to nic innego jak jego objętość. Stosujemy zatem wzór na objętość walca. Jeden litr to jeden decymetr sześcienny. Musimy zatem pamiętać o odpowiednim przeliczeniu jednostek.

Na przykład, aby obliczyć pojemność walca o wysokości \(h=0,1\ m\) i promieniu podstawy \(r=20\ cm\), wykonujemy przeliczenia:

\(h=0,1\ m=1\ dm\)

\(r=20\ cm=2\ dm\)

\(V=\pi r^2h=\pi(2\ dm)^2\cdot 1\ dm=2\pi \ dm^3=2\pi \ l \approx 6,28\ l\)

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Dany jest walec o wysokości 10 cm i promieniu podstawy 4 cm. Obliczyć jego objętość i pole powierzchni.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Jaki promień podstawy musi mieć naczynie w kształcie walca o wysokości 30 cm, aby zmieścić w nim 3 litry mleka?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3 — maturalne.

Stożek i walec mają takie same podstawy i równe pola powierzchni bocznych. Wtedy tworząca stożka jest:

A. sześć razy dłuższa od wysokości walca.

B. trzy razy dłuższa od wysokości walca.

C. dwa razy dłuższa od wysokości walca.

D. równa wysokości walca.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4 — maturalne.

Na rysunku przedstawiono bryłę zbudowaną z walca i półkuli. Wysokość walca jest równa \(r\) i jest taka sama jak promień półkuli oraz taka sama jak promień podstawy walca.

rysunek