Zadanie maturalne nr 15, matura 2021 (poziom rozszerzony)

Rozwiązanie zadania

Niech \(x\) oznacza długość krawędzi podstawy, a \(h\) — wysokość zbiornika. Objętość (pojemność) zbiornika jest równa:

\(V=x^3\cdot h=144\)

\(h=\frac{144}{x^2}\)

Wyraziliśmy zmienną \(h\) przez \(x\). Możemy teraz obliczyć koszt wykonania zbiornika, jako funkcję \(f\) zmiennej \(x\):

Mamy 4 ściany boczne o polu \(xh\), zatem:

\(f(x)=100x^2+75\cdot4xh\)

\(f(x)=100x^2+75\cdot4x\cdot \frac{144}{x^2}\)

\(f(x)=100x^2+\frac{43200}{x}\)

Z warunków zadania wynika, że \(x\in \langle 4;9\rangle\). Dlaczego? Oba wymiary \(x\) i \(h\) nie mogą być większe niż 9 m. Ponieważ

\(h=\frac{144}{x^2}\)

\(9=\frac{144}{x^2}\)

\(x^2=\frac{144}{9}\)

\(x=\sqrt{\frac{144}{9}}\)

\(x=\frac{12}{3}=4\)

Obliczamy pochodną funkcji \(f(x)\):

\(f'(x)=200x-\frac{43200}{x^2}\)

Obliczamy miejsce zerowe pochodnej:

\(200x-\frac{43200}{x^2}=0\)

\(\frac{200x\cdot x^2}{x^2}-\frac{43200}{x^2}=0\)

\(\frac{200x^3-43200}{x^2}=0\)

\(200x^3-43200=0/:200\)

\(x^3-216=0\)

\(x^3-6^3=0\)

\((x-6)(x^2+6x+36)=0\)

\(x=6\)

Badamy monotoniczność:

\(f'(x)>0\) gdy \(x\in(6;9)\) - w tym przedziale funkcja rośnie;

\(f'(x)<0\) gdy \(x\in(4;6)\) - w tym przedziale funkcja maleje.

Funkcja \(f(x)\) przyjmuje minimum dla \(x=6\) i \(h=\frac{144}{6^2}=4\).

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2023-04-08, ZAD-4840

Zadania podobne

Rzucony kamień zakreśla w powietrzu tor opisany równaniem \(y=x-x^2\). Jakie jest maksymalne wzniesienia kamienia?

Jakie wymiary powinna mieć metalowa puszka w kształcie walca, aby przy określonej pojemności \(V\) zużyć możliwie najmniej blachy do jej wykonania?

Parabola o równaniu \(y=2-\frac{1}{2}x^2\) przecina oś \(Ox\) układu współrzędnych w punktach \(A=(- 2,0)\) i \(B=(2,0)\). Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne \(ABCD\), których dłuższą podstawą jest odcinek \(AB\), a końce \(C\) i \(D\) krótszej podstawy leżą na paraboli (zobacz rysunek).

Wyznacz pole trapezu \(ABCD\) w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka \(C\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\) tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.

Rozpatrujemy wszystkie stożki, których przekrojem osiowym jest trójkąt o obwodzie 20. Oblicz wysokość i promień podstawy tego stożka, którego objętość jest największa. Oblicz objętość tego stożka.

Należy zaprojektować wymiary prostokątnego ekranu smartfona, tak aby odległości tego ekranu od krótszych brzegów smartfona były równe 0,5 cm każda, a odległości tego ekranu od dłuższych brzegów smartfona były równe 0,3 cm każda (zobacz rysunek – ekran zaznaczono kolorem szarym). Sam ekran ma mieć powierzchnię 60 cm². Wyznacz takie wymiary ekranu smartfona, przy których powierzchnia ekranu wraz z obramowaniem jest najmniejsza.

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne o obwodzie równym 18.

a) Wykaż, że pole \(P\) każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości \(b\) ramienia, wyraża się wzorem \(P(b)=\frac{(18-2b)\cdot \sqrt{18b-81}}{2}\).

b) Wyznacz dziedzinę funkcji \(P)\.

c) Oblicz długości boków tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole.