Zadanie maturalne nr 15, matura 2021 (poziom rozszerzony)
Treść zadania:
Pewien zakład otrzymał zamówienie na wykonanie prostopadłościennego zbiornika (całkowicie otwartego od góry) o pojemności 144 m3. Dno zbiornika ma być kwadratem. Żaden z wymiarów zbiornika (krawędzi prostopadłościanu) nie może przekraczać 9 metrów.
Całkowity koszt wykonania zbiornika ustalono w następujący sposób:
– 100 zł za 1 m2 dna
– 75 zł za 1 m2 ściany bocznej.
Oblicz wymiary zbiornika, dla którego tak ustalony koszt wykonania będzie najmniejszy.
Rozwiązanie zadania
Niech \(x\) oznacza długość krawędzi podstawy, a \(h\) — wysokość zbiornika. Objętość (pojemność) zbiornika jest równa:
\(V=x^3\cdot h=144\)
\(h=\frac{144}{x^2}\)
Wyraziliśmy zmienną \(h\) przez \(x\). Możemy teraz obliczyć koszt wykonania zbiornika, jako funkcję \(f\) zmiennej \(x\):
Mamy 4 ściany boczne o polu \(xh\), zatem:
\(f(x)=100x^2+75\cdot4xh\)
\(f(x)=100x^2+75\cdot4x\cdot \frac{144}{x^2}\)
\(f(x)=100x^2+\frac{43200}{x}\)
Z warunków zadania wynika, że \(x\in \langle 4;9\rangle\). Dlaczego? Oba wymiary \(x\) i \(h\) nie mogą być większe niż 9 m. Ponieważ
\(h=\frac{144}{x^2}\)
\(9=\frac{144}{x^2}\)
\(x^2=\frac{144}{9}\)
\(x=\sqrt{\frac{144}{9}}\)
\(x=\frac{12}{3}=4\)
Obliczamy pochodną funkcji \(f(x)\):
\(f'(x)=200x-\frac{43200}{x^2}\)
Obliczamy miejsce zerowe pochodnej:
\(200x-\frac{43200}{x^2}=0\)
\(\frac{200x\cdot x^2}{x^2}-\frac{43200}{x^2}=0\)
\(\frac{200x^3-43200}{x^2}=0\)
\(200x^3-43200=0/:200\)
\(x^3-216=0\)
\(x^3-6^3=0\)
\((x-6)(x^2+6x+36)=0\)
\(x=6\)
Badamy monotoniczność:
\(f'(x)>0\) gdy \(x\in(6;9)\) - w tym przedziale funkcja rośnie;
\(f'(x)<0\) gdy \(x\in(4;6)\) - w tym przedziale funkcja maleje.
Funkcja \(f(x)\) przyjmuje minimum dla \(x=6\) i \(h=\frac{144}{6^2}=4\).
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2023-04-08, ZAD-4840
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Rzucony kamień zakreśla w powietrzu tor opisany równaniem \(y=x-x^2\). Jakie jest maksymalne wzniesienia kamienia?
Zadanie nr 2.
Jakie wymiary powinna mieć metalowa puszka w kształcie walca, aby przy określonej pojemności \(V\) zużyć możliwie najmniej blachy do jej wykonania?
Zadanie nr 3 — maturalne.
Parabola o równaniu \(y=2-\frac{1}{2}x^2\) przecina oś \(Ox\) układu współrzędnych w punktach \(A=(- 2,0)\) i \(B=(2,0)\). Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne \(ABCD\), których dłuższą podstawą jest odcinek \(AB\), a końce \(C\) i \(D\) krótszej podstawy leżą na paraboli (zobacz rysunek).
Wyznacz pole trapezu \(ABCD\) w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka \(C\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\) tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.
Zadanie nr 4 — maturalne.
Rozpatrujemy wszystkie stożki, których przekrojem osiowym jest trójkąt o obwodzie 20. Oblicz wysokość i promień podstawy tego stożka, którego objętość jest największa. Oblicz objętość tego stożka.
Zadanie nr 5 — maturalne.
Należy zaprojektować wymiary prostokątnego ekranu smartfona, tak aby odległości tego ekranu od krótszych brzegów smartfona były równe 0,5 cm każda, a odległości tego ekranu od dłuższych brzegów smartfona były równe 0,3 cm każda (zobacz rysunek – ekran zaznaczono kolorem szarym). Sam ekran ma mieć powierzchnię 60 cm2. Wyznacz takie wymiary ekranu smartfona, przy których powierzchnia ekranu wraz z obramowaniem jest najmniejsza.
Zadanie nr 6 — maturalne.
Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne o obwodzie równym 18.
a) Wykaż, że pole \(P\) każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości \(b\) ramienia, wyraża się wzorem \(P(b)=\frac{(18-2b)\cdot \sqrt{18b-81}}{2}\).
b) Wyznacz dziedzinę funkcji \(P)\.
c) Oblicz długości boków tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole.