Pochodna a ekstremum funkcji

Pojęcie ekstremum zostało omówione w artykule Ekstremum funkcji. Tutaj zajmiemy się wykorzystaniem rachunku pochodnych do wyznaczania ekstremum funkcji. Opieramy się przy tym na następujących twierdzeniach:

Warunek konieczny istnienia ekstremum

Twierdzenie

Jeżeli funkcja \(f(x)\) ma ekstremum w punkcie \(x_0\) i ma w tym punkcie pochodną, to \(f'(x_0)=0\).

Jest to warunek konieczny istnienia minimum lub maksimum funkcji. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Zobaczmy to na przykładzie:

Przykład

Dana jest funkcja \(f(x)=x^3\), której wykres został przedstawiony obok. Przyjrzyjmy się punktowi \(x_0=0\). Funkcja nie posiada w tym punkcie ani minimum, ani maksimum. Gdy jednak policzymy pochodną w tym punkcie:

\(f'(x)=3x^2\)

\(f'(0)=3\cdot{0^2}=0\)

to widać, że przyjmuje ona wartość zero.

wykres funkcji y=x^3

Zatem nie wystarczy sprawdzić, czy pochodna w danym punkcie posiada pochodną równą zeru, aby stwierdzić, że funkcja ma minimum lub maksimum.

Natomiast z całą pewnością, jeżeli pochodna w danym punkcie lub przedziale ma pochodną różną od zera, to nie ma w nim ekstremum.

Warunek wystarczający istnienia ekstremum

Jeżeli funkcja ma pochodną w pewnym otoczeniu punktu \(x_0\), przy czym:

Dla \(f'(x_0)>0 \ dla \ x<x_0 \ i \ f'(x_0)<0 \ dla \ x>x_0\), to w punkcie \(x_0\) funkcja posiada maksimum.

Dla \(f'(x_0)<0 \ dla \ x<x_0 \ i \ f'(x_0)>0 \ dla \ x>x_0\), to w punkcie \(x_0\) funkcja posiada minimum.

Mówiąc krótko:

Jeżeli pochodna przy przejściu zmiennej \(x\) przez punkt \(x_0\) zmienia znak z ujemnego na dodatni, to funkcja \(f(x)\) osiąga minimum w tym punkcie.

Jeżeli pochodna przy przejściu zmiennej x przez punkt \(x_0\) zmienia znak z dodatniego na ujemny, to funkcja \(f(x)\) osiąga maksimum w tym punkcie.

Zobaczmy to na przykładzie:

Przykład

Dana jest funkcja \(f(x)=x^3-4x^2+4x\), której wykres został przedstawiony poniżej.

wykres ekstremum

Znajdziemy ekstrema tej funkcji, obliczając pochodną funkcji:

\(f'(x)=3x^2-8x+4\)

Ekstremum szukamy w punktach, gdzie pochodna przyjmuje wartość zero. Mamy więc:

\(3x^2-8x+4=0\)

\( \Delta=b^2-4ac=64-4\cdot 3\cdot 4=64-48=16\)

\( x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{8-4}{6}=\frac{2}{3}\)

\(x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{8+4}{6}=2\)

\( 3(x-\frac{2}{3})(x-2)=0\)

Funkcja \(f(x)\) może mieć ekstremum tylko w punktach \(\frac{2}{3}\) i \(2\).

Warto sporządzić tabelkę zmienności pochodnej funkcji:

Sporządzamy wykres:

Widzimy, gdzie pochodna przyjmuje dodatnie wartości (kolor niebieski), a gdzie ujemne (kolor różowy).

\((-\infty;\frac{2}{3})\)	\(\frac{2}{3}\)	\((\frac{2}{3},2)\)	\(2\)	\((2;\infty)\)
+	0	-	0	+

W punkcie \frac{2}{3} funkcja ma więc maksimum, w punkcie \(2\) — minimum. Musimy je jeszcze obliczyć. Wystarczy policzyć wartość funkcji w tych punktach:

\(f(\frac{2}{3})=(\frac{2}{3})^3-4\cdot(\frac{2}{3})^2+4\cdot \frac{2}{3}=\frac{8}{27}-4\cdot \frac{4}{9}+\frac{8}{3}=\frac{8}{27}-\frac{48}{27}+\frac{72}{27}=\frac{32}{27}=1\frac{5}{27}\)

\(f(2)=2^3-4\cdot 2^2+4\cdot 3=8-16+8=0\)

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Znaleźć ekstremum funkcji \(f(x)=\sqrt{1-x^2}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Znaleźć ekstremum funkcji \(f(x)=2x-\frac{1}{x}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Znaleźć ekstremum funkcji \(f(x)=2x+\frac{1}{x}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Znaleźć ekstremum funkcji \(f(x)=\frac{2x}{x^2+1}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji \(f(x)=3x+\frac{1}{x}\) w przedziale \(\langle-1;1\rangle\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6 — maturalne.

Parabola o równaniu \(y=2-\frac{1}{2}x^2\) przecina oś \(Ox\) układu współrzędnych w punktach \(A=(- 2,0)\) i \(B=(2,0)\). Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne \(ABCD\), których dłuższą podstawą jest odcinek \(AB\), a końce \(C\) i \(D\) krótszej podstawy leżą na paraboli (zobacz rysunek).

Zadanie 16, ilustracja, matura 2016

Wyznacz pole trapezu \(ABCD\) w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka \(C\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\) tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7 — maturalne.

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=81^{\log_3{x}}+\frac{2\cdot\log_2 {\sqrt{7}}\cdot \log_3{2}}{3}\cdot x^2-6x\) dla każdej liczby dodatniej \(x\).

1. Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej \(x\) wyrażenie \(81^{\log_3{x}}+\frac{2\cdot\log_2 {\sqrt{7}}\cdot \log_3{2}}{3}\cdot x^2-6x\) można równoważnie przekształcić do postaci \(x^4+x^2-6x\).

2. Oblicz najmniejszą wartość funkcji \(f\) określonej dla każdej liczby dodatniej \(x\). Zapisz obliczenia. Wskazówka: przyjmij, że wzór funkcji \(f\) można przedstawić w postaci \(f(x)=x^4+x^2-6x\).

Pokaż rozwiązanie zadania.