Otoczenie punktu

Otoczenie punktu jest pojęciem matematycznym, przydatnym przy określaniu granic.

Definicja

Niech \(\varepsilon\) oznacza pewną liczbę dodatnią, a \(x_0\) punkt na osi liczbowej \(Ox\).

Otoczenie punktu \(x_0\) jest to przedział otwarty \((x_0-\varepsilon; x_0+\varepsilon)\).

Liczbę \(\varepsilon\) nazywamy promieniem otoczenia.

Otoczenie punktu oznaczamy symbolem \(U(x_0,\varepsilon)\).

Z powyższej definicji otoczenia punktu wynika, że dowolna liczba \(x\) należy do otoczenia wtedy i tylko wtedy, gdy jest większa od \(x_0-\varepsilon\) i mniejsza od \(x_0+\varepsilon\). Możemy to zapisać za pomocą symboli matematycznych: \(x \in U(x_0; \varepsilon)\Leftrightarrow x_0-\varepsilon < x < x_0+\varepsilon\).

Jeżeli wartość \(x_0\) przeniesiemy na drugą stronę obu nierówności, to otrzymamy \(x\in{U(x_0;\varepsilon)} \Leftrightarrow -\varepsilon < x-x_0 < \varepsilon\).

Korzystając z pewnych własności wartości bezwzględnej, możemy powyższe zapisać w następujący sposób:

\(x\in{U(x_0;\varepsilon)}\Leftrightarrow{|x-x_0|}<\varepsilon\)

Powiązane materiały

Granica ciągu

Obliczanie granic ciągów

Granica ciągu