Otoczenie punktu

Definicja

Niech $\varepsilon$ oznacza pewną liczbę dodatnią, a punkt na osi liczbowej OX
Otoczenie punktu jest to przedział otwarty $(x_0-\varepsilon; x_0+\varepsilon)$ .
Liczbę $\varepsilon$ nazywamy promieniem otoczenia.

Otoczenie punktu oznaczamy symbolem $U(x_0,\varepsilon)$
Poniższa animacja ilustruje pojęcie otoczenia punktu.

Animacja

Z powyższej definicji otoczenia punktu wynika, że dowolna liczba x należy do otoczenia wtedy i tylko wtedy, gdy jest większa od $x_0-\varepsilon$ i mniejsza od $x_0+\varepsilon$
Możemy to zapisać za pomocą symboli matematycznych:
$x \in U(x_0; \varepsilon)\Leftrightarrow x_0-\varepsilon < x < x_0+\varepsilon$
Jeżeli wartość x₀ przeniesiemy na drugą stronę obu nierówności, to otrzymamy
$x\in{U(x_0;\varepsilon)}\Leftrightarrow -\varepsilon < x-x_0 < \varepsilon$
Korzystając z pewnych własności wartości bezwzględnej możemy powyższe zapisać w następujący sposób: