Własności ciągów i obliczanie granic ciągów

Przy obliczaniu granic ciągów korzysta się z wielu właściwości, które zostaną niżej opisane, ale i w oparciu o wiedzę na temat zbieżności elementarnych ciągów. Poniższa tablica zawiera kilka takich ciągów.

Ciąg	Granica	Przykład
$a_n=\frac{1}{n}$	$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}=0$	$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}=0$
$a_n=\frac{k}{n}, \quad k\in R$	$\lim_{n\to\infty} \frac{k}{n}=0$	$\lim_{n\to\infty} \frac{-7}{n}=0$
Ciąg geometryczny: $a_n=a_1\cdot q^{n-1}, \quad q< 0$	$\lim_{n\to\infty} a_1\cdot q^{n-1}=0$	Dla a₁ = 4 i q = 1/2 otrzymujemy ciąg $(4,2,1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},...)$ , który jest zbieżny do zera
$a_n=n^k, \quad k\in N_+$	$\lim_{n\to\infty} n^k=\infty$	$\lim_{n\to\infty} n^4=\infty$
$a_n=k^n, \quad k\in N_+$	$\lim_{n\to\infty} k^n=\infty$	$\lim_{n\to\infty} 4^n=\infty$
Ciąg stały: $a_n=k, \quad k\in R$	$\lim_{n\to\infty} k=k$	$\lim_{n\to\infty} 2=2$

Twierdzenie

Twierdzenie o działaniach arytmetycznych na granicach ciągów.
Niech $\lim_{n\to\infty} a_n=a$ oraz $\lim_{n\to\infty} b_n=b$
Prawdziwe są następujące równości:

$\lim_{n\to\infty} (a_n+b_n)=a+b \\ \lim_{n\to\infty} (a_n-b_n)=a-b \\ \lim_{n\to\infty} (a_n\cdot b_n)=a\cdot b \\ \lim_{n\to\infty} \fra{a_n}{b_n}=\frac{a}{b},b_n\neq 0,b\neq 0$

Przykład

$\lim_{n\to\infty} (\frac{5}{n}-2)=\lim_{n\to\infty} 5\cdot \frac{1}{n}-\lim_{n\to\infty}2=5\cdot 0 - 2=-2$
$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^3}=\lim_{n\to\infty} (\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{n}\cdot \frac{1}{n})=0\cdot 0\cdot 0=0$

Poniższy przykład jest dość często występującą granicą w zadaniach. W takim przypadku dzielimy każdy wyraz licznika i mianownika przez największą potęgę zmiennej n występującej w mianowniku.

Przykład

$\lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{n^2-5n+1}=\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{n}{n^2}+\frac{1}{n^2}}{\frac{n^2}{n^2}-\frac{5n}{n^2}+\frac{1}{n^2}}=\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}{1-\frac{5}{n}+\frac{1}{n^2}}= \\ =\frac{\lim_{n\to\infty} (\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2})}{\lim_{n\to\infty} (1-\frac{5}{n}+\frac{1}{n^2})}=\frac{\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}+\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}}{\lim_{n\to\infty}1-\lim_{n\to\infty}\frac{5}{n}+\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}}=\frac{0+0}{1-0+0}=0$

Przykład

$\lim_{n\to\infty} \frac{3n^2+1}{n^2-n+4}=\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{3n^2}{n^2}+\frac{1}{n^2}}{\frac{n^2}{n^2}-\frac{n}{n^2}+\frac{4}{n^2}}=\lim_{n\to\infty} \frac{3+\frac{1}{n^2}}{1-\frac{1}{n}+\frac{4}{n^2}}=\\=\frac{\lim_{n\to\infty} (3+\frac{1}{n^2})}{\lim_{n\to\infty} (1-\frac{1}{n}+\frac{4}{n^2})}=\frac{3+0}{1-0+0}=3$

Jeżeli choć jeden z ciągów z powyższego twierdzenia jest rozbieżny do nieskończoności, to bez dodatkowej analizy nie można nic jednoznacznie stwierdzić o zbieżności ciągu na podstawie twierdzenia o zbieżności sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów.

Twierdzenie

Prawdziwa jest następująca implikacja:
$\lim_{n\to\infty}|a_n|=\infty \Rightarrow \lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_n}=0$

Przykład

$\lim_{n\to\infty}|2^n|=\lim_{n\to\infty}2^n=\infty \Rightarrow \lim_{n\to\infty}\frac{1}{2^n}=0$
$\lim_{n\to\infty}|n^4|=\lim_{n\to\infty}n^4=\infty \Rightarrow \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^4}=0$

Twierdzenie

Prawdziwa jest następująca implikacja:
$\[(a_n>0)\wedge (\lim_{n\to\infty}a_n=0)] \Rightarrow \lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_n}=\infty$

Przykład

$\frac{1}{3n+(-1)^n}>0\quad i \quad \lim_{n\to\infty}\frac{1}{3n+(-1)^n}=0 \\ \Rightarrow \lim_{n\to\infty}[3n+(-1)^n]=+\infty$

Twierdzenie o trzech ciągach

Jeżeli dane są ciągi (a_n), (b_n), (c_n), oraz

$\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}c_n=g$
istnieje takie $n_0\in{N_+}$ , że dla każdego $n\geq{n_0}$ prawdziwe są nierówności $a_n\leq{b_n}\leq{c_n}$

to ciąg b_n jest zbieżny i $\lim_{n\to\infty}b_n=g$

Powyższe twierdzenie przeanalizujmy na przykładzie.

Przykład

Wiedząc, że $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{c}=1$ , gdzie c jest dowolną liczbą naturalną obliczymy granicę

$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{5^n+10^n}$

Możemy zapisać, że:
$\sqrt[n]{10^n}\leq{\sqrt[n]{5^n+10^n}}\leq{\sqrt[n]{10^n+10^n}}\\10\leq{\sqrt[n]{5^n+10^n}}\leq{10}\sqrt[n]{2}$

Mamy więc spełniony warunek $a_n\leq{b_n}\leq{c_n}$
Pierwszy warunek o równości granic również jest spełniony, gdyż $\lim_{n\to\infty}10=\lim_{n\to\infty}10\sqrt[n]{2}=10$
Zatem na podstawie powyższego twierdzenia $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{5^n+10^n}=10$ .