Obliczanie granic ciągów

Teoria Przy obliczaniu granic ciągów korzysta się z wielu właściwości, które zostaną niżej opisane, ale i w oparciu o wiedzę na temat zbieżności elementarnych ciągów. Poniższa tablica zawiera kilka takich ciągów.

Granice ciągów - podstawowe wzory

Poniższa tabela zawiera podstawowe wzory przydatne przy obliczaniu granic ciągów.

CiągGranicaPrzykład
a_n=\frac{1}{n}\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}=0\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}=0
a_n=\frac{k}{n}, \quad k\in R\lim_{n\to\infty} \frac{k}{n}=0\lim_{n\to\infty} \frac{-7}{n}=0
Ciąg geometryczny:
a_n=a_1\cdot q^{n-1}, \quad q< 0
\lim_{n\to\infty} a_1\cdot q^{n-1}=0Dla a1 = 4 i q = 1/2 otrzymujemy ciąg
(4,2,1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},...), który jest zbieżny do zera
a_n=n^k, \quad k\in N_+\lim_{n\to\infty} n^k=\infty\lim_{n\to\infty} n^4=\infty
a_n=k^n, \quad k\in N_+\lim_{n\to\infty} k^n=\infty\lim_{n\to\infty} 4^n=\infty
Ciąg stały:
a_n=k, \quad k\in R
\lim_{n\to\infty} k=k\lim_{n\to\infty} 2=2

Twierdzenie Twierdzenie

Twierdzenie o działaniach arytmetycznych na granicach ciągów.
Niech \lim_{n\to\infty} a_n=a oraz \lim_{n\to\infty} b_n=b
Prawdziwe są następujące równości:

\lim_{n\to\infty} (a_n+b_n)=a+b \\ \lim_{n\to\infty} (a_n-b_n)=a-b \\ \lim_{n\to\infty} (a_n\cdot b_n)=a\cdot b \\ \lim_{n\to\infty} \fra{a_n}{b_n}=\frac{a}{b},b_n\neq 0,b\neq 0

Przykład Przykład

\lim_{n\to\infty} (\frac{5}{n}-2)=\lim_{n\to\infty} 5\cdot \frac{1}{n}-\lim_{n\to\infty}2=5\cdot 0 - 2=-2
\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^3}=\lim_{n\to\infty} (\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{n}\cdot \frac{1}{n})=0\cdot 0\cdot 0=0


Teoria Jeżeli choć jeden z ciągów z powyższego twierdzenia jest rozbieżny do nieskończoności, to bez dodatkowej analizy nie można nic jednoznacznie stwierdzić o zbieżności ciągu na podstawie twierdzenia o zbieżności sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów.


Obliczanie typowych granic

Teoria Poniższy przykład jest dość często występującą granicą w zadaniach. W takim przypadku dzielimy każdy wyraz licznika i mianownika przez największą potęgę zmiennej n występującej w mianowniku.

Przykład Przykład

\lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{n^2-5n+1}=\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{n}{n^2}+\frac{1}{n^2}}{\frac{n^2}{n^2}-\frac{5n}{n^2}+\frac{1}{n^2}}=\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}{1-\frac{5}{n}+\frac{1}{n^2}}= \\ =\frac{\lim_{n\to\infty} (\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2})}{\lim_{n\to\infty} (1-\frac{5}{n}+\frac{1}{n^2})}=\frac{\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}+\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}}{\lim_{n\to\infty}1-\lim_{n\to\infty}\frac{5}{n}+\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}}=\frac{0+0}{1-0+0}=0

Przykład Przykład

\lim_{n\to\infty} \frac{3n^2+1}{n^2-n+4}=\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{3n^2}{n^2}+\frac{1}{n^2}}{\frac{n^2}{n^2}-\frac{n}{n^2}+\frac{4}{n^2}}=\lim_{n\to\infty} \frac{3+\frac{1}{n^2}}{1-\frac{1}{n}+\frac{4}{n^2}}=\\=\frac{\lim_{n\to\infty} (3+\frac{1}{n^2})}{\lim_{n\to\infty} (1-\frac{1}{n}+\frac{4}{n^2})}=\frac{3+0}{1-0+0}=3

Obliczanie granicy ciągu na podstawie definicji

Teoria Obliczanie wartości granic ciągów na podstawie definicji zostanie przedstawiona na przykładach.

Przykład Przykład

Obliczyć granicę ciągu a_n=\sqrt{n^2+1}+n .

Jeżeli od razu nie widzimy zbieżności/rozbieżności ciągu, warto narysować sobie szkic wykresu tego ciągu.

Wykres ciagu

Widzimy, że ciąg jest rozbieżny do nieskończoności. Zgodnie z definicją granicy niewłaściwej ciągu musimy wykazać, że dla każdej liczby rzeczywistej M prawie wszystkie wyrazy tego ciągu są większe od M.
Zakładamy więc, że M jest dowolną liczbą rzeczywistą i badamy, dla jakiej wartości n0
\sqrt{n^2+1}+n>M
Zauważamy, że \sqrt{n^2+1}\approx{\sqrt{n^2}=n}
n+n>M\\2n>M/:2\\n>\frac{M}{2}
Ponieważ n jest liczbą naturalną, to przybliżenie wykluczy z prawie wszystkich wyrazów ciągu co najwyżej jeden element, więc możemy powiedzieć, że dla dowolnej liczby rzeczywistej M począwszy od n0-tego wyrazu ciągu(n_0>\frac{M}{2}) prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od liczby M.
Zgodnie z definicją granicą tego ciągu jest nieskończoność.
\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+1}+n)=+\infty

Przykład Przykład

Wykazać, że \lim_{n\to\infty}\frac{30}{2n+7}=0

Zgodnie z definicją granicy ciągu musimy wykazać, że zero jest granicą ciągu (an) przy n dążącym do nieskończoności jeżeli dla każdego epsilon istnieje taka liczba n0, że dla każdego n > n0 spełniona jest nierówność |a_n-0|<\varepsilon, czyli
|\frac{30}{2n+7}|<\varepsilon
Ponieważ wartość wyrażenia pod wartością bezwzględną jest zawsze dodatnia, możemy opuścić wartość bezwzględną i zapisać:
\frac{30}{2n+7}<\varepsilon
Rozwiązujemy nierówność
\frac{30}{2n+7}-\varepsilon<0\\{\frac{30-\varepsilon(2n+7)}{2n+7}<0}
Powyższy ułamek jest mniejszy od zera, jeśli licznik jest ujemny.
30-\varepsilon (2n+7)<0\\{\varepsilon(2n+7)>30}\\2n\varepsilon{>}30-7\varepsilon\\n>\frac{30-7\varepsilon}{2\varepsilon}
Istniej więc takie n0, równe na przykład n_0=[\frac{30-7\varepsilon}{2\varepsilon}]+1, (zapis [ ] oznacza część całkowitą liczby), że dla każdego numeru wyrazu ciągu większego od n0 prawie wszystkie wyrazy ciągu spełniają badaną nierówność, więc zero jest granicą tego ciągu.
Zilustrujmy ten przykład animacją, żeby lepiej go zrozumieć.

Animacja

Animacja


Twierdzenia o granicach ciągów

Twierdzenie Twierdzenie

Prawdziwa jest następująca implikacja:
\lim_{n\to\infty}|a_n|=\infty \Rightarrow \lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_n}=0

Przykład Przykład

\lim_{n\to\infty}|2^n|=\lim_{n\to\infty}2^n=\infty \Rightarrow \lim_{n\to\infty}\frac{1}{2^n}=0
\lim_{n\to\infty}|n^4|=\lim_{n\to\infty}n^4=\infty \Rightarrow \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^4}=0

Twierdzenie Twierdzenie

Prawdziwa jest następująca implikacja:
\[(a_n>0)\wedge (\lim_{n\to\infty}a_n=0)] \Rightarrow \lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_n}=\infty

Przykład Przykład

\frac{1}{3n+(-1)^n}>0\quad i \quad \lim_{n\to\infty}\frac{1}{3n+(-1)^n}=0 \\ \Rightarrow \lim_{n\to\infty}[3n+(-1)^n]=+\infty

Twierdzenie o trzech ciągach

Poniższe twierdzenie jest wykorzystywanie często tam, gdzie zawodzą inne metody. Stosuje się je na przykład, gdy we wzorze na n-ty wyraz ciągu pojawia się pierwiastek. Obliczanie granicy ciągu z pierwiastkiem odbywa się więc z wykorzystaniem tego twierdzenia. Oto one:


TwierdzenieTwierdzenie o trzech ciągach

Jeżeli dane są ciągi (an), (bn), (cn), oraz

  • \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}c_n=g
  • istnieje takie n_0\in{N_+}, że dla każdego n\geq{n_0} prawdziwe są nierówności a_n\leq{b_n}\leq{c_n}

to ciąg bn jest zbieżny i \lim_{n\to\infty}b_n=g

Powyższe twierdzenie przeanalizujmy na przykładzie.

Przykład Przykład

Wiedząc, że \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{c}=1, gdzie c jest dowolną liczbą naturalną obliczymy granicę

\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{5^n+10^n}

Możemy zapisać, że:
\sqrt[n]{10^n}\leq{\sqrt[n]{5^n+10^n}}\leq{\sqrt[n]{10^n+10^n}}\\10\leq{\sqrt[n]{5^n+10^n}}\leq{10}\sqrt[n]{2}

Mamy więc spełniony warunek a_n\leq{b_n}\leq{c_n}
Pierwszy warunek o równości granic również jest spełniony, gdyż \lim_{n\to\infty}10=\lim_{n\to\infty}10\sqrt[n]{2}=10
Zatem na podstawie powyższego twierdzenia \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{5^n+10^n}=10.



© medianauka.pl, 2009-09-05, ART-313


Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zadania związane z tematem:
Obliczanie granic ciągów

zadanie-ikonka Zadanie - obliczanie granic ciągów
Obliczyć granicę \lim_{n\to\infty}(\frac{-n^2-4n+1}{n^2+2}-5)

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - obliczanie granicy ciągu
Obliczyć granicę \lim_{n\to\infty}(\frac{n^3+n^2+2n+3}{n+1}-n^2)

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - Obliczanie granicy niewłaściwej z definicji
Wykazać, że \lim_{n\to\infty}\sqrt{n}=+\infty

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - obliczanie granicy niewłaściwej z definicji
Wykazać na podstawie definicji granicy niewłaściwej, że \lim_{n\to\infty}(1+2n)=+\infty

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - obliczanie granicy niewłaściwej ciągu z definicji
Wykazać, że \lim_{n\to\infty}\frac{1-n^2}{n}=-\infty

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - obliczanie granic niewłaściwych z definicji
Wykazać, że \lim_{n\to\infty}5^n=\infty

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - Obliczanie granicy ciągu na podstawie definicji
Wykazać na podtawie definicji, że \lim_{n\to\infty}\frac{2n+3}{n}=2

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - obliczanie granicy ciągu
Obliczyć granicę \lim_{n\to\infty}\frac{1+2+3+...+n}{n^2+n-1}

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 5, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Granica \lim_{n\to \infty}{\frac{(pn^2+4n)^3}{5n^6-4}}=-\frac{8}{5}. Wynika stąd, że

A. p=-8
B. p=4
C. p=2
D. p=-2

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 6, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Oblicz granicę \lim_{n\to \infty}(\frac{11n^3+6n+5}{6n^3+1}-\frac{2n^2+2n+1}{5n^2-4}).
W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

   

Pokaż rozwiązanie zadania



Inne zagadnienia z tej lekcji

Otoczenie punktuOtoczenie punktu
Co to jest otoczenie punktu?
Granica ciąguGranica ciągu
Granica ciągu - definicja i omówienie właściwości granicy.



Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© Media Nauka 2008-2018 r.