Obliczanie granic ciągów
Przy obliczaniu granic ciągów korzysta się z wielu właściwości, które zostaną niżej opisane, ale i w oparciu o wiedzę na temat zbieżności elementarnych ciągów. Poniższa tablica zawiera kilka takich ciągów.
Granice ciągów - podstawowe wzory
Poniższa tabela zawiera podstawowe wzory przydatne przy obliczaniu granic ciągów.
Ciąg | Granica | Przykład |
---|---|---|
![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() |
Ciąg geometryczny:![]() | ![]() | Dla a1 = 4 i q = 1/2 otrzymujemy ciąg ![]() |
![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() |
Ciąg stały:![]() | ![]() | ![]() |
Twierdzenie
Twierdzenie o działaniach arytmetycznych na granicach ciągów.
Niech oraz
Prawdziwe są następujące równości:

Przykład
Jeżeli choć jeden z ciągów z powyższego twierdzenia jest rozbieżny do nieskończoności, to bez dodatkowej analizy nie można nic jednoznacznie stwierdzić o zbieżności ciągu na podstawie twierdzenia o zbieżności sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów.
Obliczanie typowych granic
Poniższy przykład jest dość często występującą granicą w zadaniach. W takim przypadku dzielimy każdy wyraz licznika i mianownika przez największą potęgę zmiennej n występującej w mianowniku.
Przykład
Przykład
Obliczanie granicy ciągu na podstawie definicji
Obliczanie wartości granic ciągów na podstawie definicji zostanie przedstawiona na przykładach.
Przykład
Obliczyć granicę ciągu .
Jeżeli od razu nie widzimy zbieżności/rozbieżności ciągu, warto narysować sobie szkic wykresu tego ciągu.

Widzimy, że ciąg jest rozbieżny do nieskończoności. Zgodnie z definicją granicy niewłaściwej ciągu musimy wykazać, że dla każdej liczby rzeczywistej M prawie wszystkie wyrazy tego ciągu są większe od M.
Zakładamy więc, że M jest dowolną liczbą rzeczywistą i badamy, dla jakiej wartości n0
Zauważamy, że
Ponieważ n jest liczbą naturalną, to przybliżenie wykluczy z prawie wszystkich wyrazów ciągu co najwyżej jeden element, więc możemy powiedzieć, że dla dowolnej liczby rzeczywistej M począwszy od n0-tego wyrazu ciągu() prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od liczby M.
Zgodnie z definicją granicą tego ciągu jest nieskończoność.
Przykład
Wykazać, że
Zgodnie z definicją granicy ciągu musimy wykazać, że zero jest granicą ciągu (an) przy n dążącym do nieskończoności jeżeli dla każdego epsilon istnieje taka liczba n0, że dla każdego n > n0 spełniona jest nierówność , czyli
Ponieważ wartość wyrażenia pod wartością bezwzględną jest zawsze dodatnia, możemy opuścić wartość bezwzględną i zapisać:
Rozwiązujemy nierówność
Powyższy ułamek jest mniejszy od zera, jeśli licznik jest ujemny.
Istniej więc takie n0, równe na przykład , (zapis [ ] oznacza część całkowitą liczby), że dla każdego numeru wyrazu ciągu większego od n0 prawie wszystkie wyrazy ciągu spełniają badaną nierówność, więc zero jest granicą tego ciągu.
Zilustrujmy ten przykład animacją, żeby lepiej go zrozumieć.

Animacja
Twierdzenia o granicach ciągów
Twierdzenie
Prawdziwa jest następująca implikacja:
Przykład
Twierdzenie
Prawdziwa jest następująca implikacja:
Przykład
Twierdzenie o trzech ciągach
Poniższe twierdzenie jest wykorzystywanie często tam, gdzie zawodzą inne metody. Stosuje się je na przykład, gdy we wzorze na n-ty wyraz ciągu pojawia się pierwiastek. Obliczanie granicy ciągu z pierwiastkiem odbywa się więc z wykorzystaniem tego twierdzenia. Oto one:
Twierdzenie o trzech ciągach
Jeżeli dane są ciągi (an), (bn), (cn), oraz
- istnieje takie
, że dla każdego
prawdziwe są nierówności
to ciąg bn jest zbieżny i
Powyższe twierdzenie przeanalizujmy na przykładzie.
Przykład
Wiedząc, że , gdzie c jest dowolną liczbą naturalną obliczymy granicę
Możemy zapisać, że:
Mamy więc spełniony warunek
Pierwszy warunek o równości granic również jest spełniony, gdyż
Zatem na podstawie powyższego twierdzenia .
Zadania z rozwiązaniami
Zadanie nr 9 — maturalne.
Granica
A. p=-8
B. p=4
C. p=2
D. p=-2
Zadanie nr 10 — maturalne.
Oblicz granicę
W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
Inne zagadnienia z tej lekcji
© medianauka.pl, 2009-09-05, ART-313