Zadanie - obliczanie granic niewłaściwych z definicji

Rozwiązanie zadania uproszczone
Musimy wykazać, że dla dowolnej liczby rzeczywistej M prawie wszystkie wyrazy ciągu 
Zakładamy, że M jest dowolną liczbą rzeczywistą i badamy, dla jakiej wartości n0

W przypadku, gdy liczba M jest ujemna, nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej n.
Gdy M jest dodatnie:

Zatem wykazaliśmy, że dla dowolnej liczby rzeczywistej M począwszy od n0-tego (

Zgodnie z definicją granicą tego ciągu jest nieskończoność.
Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami
Ciąg jest rozbieżny do nieskończoności. Zgodnie z definicją granicy niewłaściwej ciągu musimy wykazać, że dla dowolnej liczby rzeczywistej M prawie wszystkie wyrazy tego ciągu są większe od tej liczby.
Mamy ciąg . Wypiszmy kilka pierwszych wyrazów tego ciągu:
Zakładamy więc, że M jest dowolną liczbą rzeczywistą i badamy, dla jakiej wartości n0
Otrzymaliśmy nierówność wykładniczą.
W przypadku, gdy liczba M jest ujemna, nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej n.
Gdy M jest dodatnie, skorzystamy z własności logarytmów.

Należy liczbę M przedstawić jako potęgę o podstawie 5. Nasza nierówność przyjmuje postać:
Zatem wykazaliśmy, że dla dowolnej liczby rzeczywistej M począwszy od n0-tego () wyrazu ciągu (an) prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od liczby M.
Zgodnie z definicją granicą tego ciągu jest nieskończoność.
Aby lepiej zrozumieć to rozwiązanie, przeanalizujmy przykład:
Niech np. M=5. Zgodnie z naszymi wyliczeniami dla prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od M. I rzeczywiście, dopiero dla n0=2 (i większych) prawie wszystkie wyrazy ciągu, czyli wszystkie za wyjątkiem wyrazu 1-ego są większe od 5.
© medianauka.pl, 2010-01-02, ZAD-483
Zadania podobne

Obliczyć granicę

Pokaż rozwiązanie zadania

Obliczyć granicę

Pokaż rozwiązanie zadania

Wykazać, że

Pokaż rozwiązanie zadania

Wykazać na podstawie definicji granicy niewłaściwej, że

Pokaż rozwiązanie zadania

Wykazać, że

Pokaż rozwiązanie zadania

Wykazać na podtawie definicji, że

Pokaż rozwiązanie zadania

Obliczyć granicę

Pokaż rozwiązanie zadania

Granica

A. p=-8
B. p=4
C. p=2
D. p=-2
Pokaż rozwiązanie zadania

Oblicz granicę

W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
Pokaż rozwiązanie zadania

Ciąg (an) jest określony wzorem dla każdej liczby naturalnej n ≥1.
Granica tego ciągu jest równa
A. 3.
B. 1/5.
C. 3/5.
D. -5/11.
Pokaż rozwiązanie zadania