Logo Media Nauka

Zadanie - obliczanie granic niewłaściwych z definicji

Wykazać, że \lim_{n\to\infty}5^n=\infty

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

Musimy wykazać, że dla dowolnej liczby rzeczywistej M prawie wszystkie wyrazy ciągu a_n=5^n są większe od tej liczby.
Zakładamy, że M jest dowolną liczbą rzeczywistą i badamy, dla jakiej wartości n0
a_n>M \\ 5^n>M

W przypadku, gdy liczba M jest ujemna, nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej n.
Gdy M jest dodatnie:
5^n>5^{\log_{5}{M}} \\ n>\log_{5}{M}
Zatem wykazaliśmy, że dla dowolnej liczby rzeczywistej M począwszy od n0-tego (n>\log_{5}{M}) wyrazu ciągu (an) prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od liczby M.

Zgodnie z definicją granicą tego ciągu jest nieskończoność.

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Ciąg jest rozbieżny do nieskończoności. Zgodnie z definicją granicy niewłaściwej ciągu musimy wykazać, że dla dowolnej liczby rzeczywistej M prawie wszystkie wyrazy tego ciągu są większe od tej liczby.

Mamy ciąg a_n=5^n. Wypiszmy kilka pierwszych wyrazów tego ciągu:

a_1=5^1=5 \\ a_2=5^2=25 \\ a_3=5^3=125 \\ ...

Zakładamy więc, że M jest dowolną liczbą rzeczywistą i badamy, dla jakiej wartości n0

a_n>M \\ 5^n>M

Otrzymaliśmy nierówność wykładniczą.
W przypadku, gdy liczba M jest ujemna, nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej n.
Gdy M jest dodatnie, skorzystamy z własności logarytmów.

a=b^{\log_{b}{a}}

Należy liczbę M przedstawić jako potęgę o podstawie 5. Nasza nierówność przyjmuje postać:

5^n>5^{\log_{5}{M}} \\ n>\log_{5}{M}

Zatem wykazaliśmy, że dla dowolnej liczby rzeczywistej M począwszy od n0-tego (n>\log_{5}{M}) wyrazu ciągu (an) prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od liczby M.

Zgodnie z definicją granicą tego ciągu jest nieskończoność.

Aby lepiej zrozumieć to rozwiązanie, przeanalizujmy przykład:
Niech np. M=5. Zgodnie z naszymi wyliczeniami dla n_0>\log_{5}{5}, \ n_0>1 prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od M. I rzeczywiście, dopiero dla n0=2 (i większych) prawie wszystkie wyrazy ciągu, czyli wszystkie za wyjątkiem wyrazu 1-ego są większe od 5.


© medianauka.pl, 2010-01-02, ZAD-483



Zadania podobne

kulkaZadanie - obliczanie granic ciągów
Obliczyć granicę \lim_{n\to\infty}(\frac{-n^2-4n+1}{n^2+2}-5)

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - obliczanie granicy ciągu
Obliczyć granicę \lim_{n\to\infty}(\frac{n^3+n^2+2n+3}{n+1}-n^2)

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - Obliczanie granicy niewłaściwej z definicji
Wykazać, że \lim_{n\to\infty}\sqrt{n}=+\infty

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - obliczanie granicy niewłaściwej z definicji
Wykazać na podstawie definicji granicy niewłaściwej, że \lim_{n\to\infty}(1+2n)=+\infty

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - obliczanie granicy niewłaściwej ciągu z definicji
Wykazać, że \lim_{n\to\infty}\frac{1-n^2}{n}=-\infty

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - Obliczanie granicy ciągu na podstawie definicji
Wykazać na podtawie definicji, że \lim_{n\to\infty}\frac{2n+3}{n}=2

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - obliczanie granicy ciągu
Obliczyć granicę \lim_{n\to\infty}\frac{1+2+3+...+n}{n^2+n-1}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 5, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Granica \lim_{n\to \infty}{\frac{(pn^2+4n)^3}{5n^6-4}}=-\frac{8}{5}. Wynika stąd, że

A. p=-8
B. p=4
C. p=2
D. p=-2


Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 6, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Oblicz granicę \lim_{n\to \infty}(\frac{11n^3+6n+5}{6n^3+1}-\frac{2n^2+2n+1}{5n^2-4}).
W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
   


Pokaż rozwiązanie zadania



© Media Nauka 2008-2018 r.