Zadanie - obliczanie granic niewłaściwych z definicji


Wykazać, że \lim_{n\to\infty}5^n=\infty

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

Musimy wykazać, że dla dowolnej liczby rzeczywistej M prawie wszystkie wyrazy ciągu a_n=5^n są większe od tej liczby.
Zakładamy, że M jest dowolną liczbą rzeczywistą i badamy, dla jakiej wartości n0
a_n>M \\ 5^n>M

W przypadku, gdy liczba M jest ujemna, nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej n.
Gdy M jest dodatnie:
5^n>5^{\log_{5}{M}} \\ n>\log_{5}{M}
Zatem wykazaliśmy, że dla dowolnej liczby rzeczywistej M począwszy od n0-tego (n>\log_{5}{M}) wyrazu ciągu (an) prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od liczby M.

Zgodnie z definicją granicą tego ciągu jest nieskończoność.

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Ciąg jest rozbieżny do nieskończoności. Zgodnie z definicją granicy niewłaściwej ciągu musimy wykazać, że dla dowolnej liczby rzeczywistej M prawie wszystkie wyrazy tego ciągu są większe od tej liczby.

Mamy ciąg a_n=5^n. Wypiszmy kilka pierwszych wyrazów tego ciągu:

a_1=5^1=5 \\ a_2=5^2=25 \\ a_3=5^3=125 \\ ...

Zakładamy więc, że M jest dowolną liczbą rzeczywistą i badamy, dla jakiej wartości n0

a_n>M \\ 5^n>M

Otrzymaliśmy nierówność wykładniczą.
W przypadku, gdy liczba M jest ujemna, nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej n.
Gdy M jest dodatnie, skorzystamy z własności logarytmów.

a=b^{\log_{b}{a}}

Należy liczbę M przedstawić jako potęgę o podstawie 5. Nasza nierówność przyjmuje postać:

5^n>5^{\log_{5}{M}} \\ n>\log_{5}{M}

Zatem wykazaliśmy, że dla dowolnej liczby rzeczywistej M począwszy od n0-tego (n>\log_{5}{M}) wyrazu ciągu (an) prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od liczby M.

Zgodnie z definicją granicą tego ciągu jest nieskończoność.

Aby lepiej zrozumieć to rozwiązanie, przeanalizujmy przykład:
Niech np. M=5. Zgodnie z naszymi wyliczeniami dla n_0>\log_{5}{5}, \ n_0>1 prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od M. I rzeczywiście, dopiero dla n0=2 (i większych) prawie wszystkie wyrazy ciągu, czyli wszystkie za wyjątkiem wyrazu 1-ego są większe od 5.


© medianauka.pl, 2010-01-02, ZAD-483


Zadania podobne

kulkaZadanie - obliczanie granic ciągów
Obliczyć granicę \lim_{n\to\infty}(\frac{-n^2-4n+1}{n^2+2}-5)

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - obliczanie granicy ciągu
Obliczyć granicę \lim_{n\to\infty}(\frac{n^3+n^2+2n+3}{n+1}-n^2)

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - Obliczanie granicy niewłaściwej z definicji
Wykazać, że \lim_{n\to\infty}\sqrt{n}=+\infty

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - obliczanie granicy niewłaściwej z definicji
Wykazać na podstawie definicji granicy niewłaściwej, że \lim_{n\to\infty}(1+2n)=+\infty

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - obliczanie granicy niewłaściwej ciągu z definicji
Wykazać, że \lim_{n\to\infty}\frac{1-n^2}{n}=-\infty

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - Obliczanie granicy ciągu na podstawie definicji
Wykazać na podtawie definicji, że \lim_{n\to\infty}\frac{2n+3}{n}=2

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - obliczanie granicy ciągu
Obliczyć granicę \lim_{n\to\infty}\frac{1+2+3+...+n}{n^2+n-1}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 5, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Granica \lim_{n\to \infty}{\frac{(pn^2+4n)^3}{5n^6-4}}=-\frac{8}{5}. Wynika stąd, że

A. p=-8
B. p=4
C. p=2
D. p=-2


Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 6, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Oblicz granicę \lim_{n\to \infty}(\frac{11n^3+6n+5}{6n^3+1}-\frac{2n^2+2n+1}{5n^2-4}).
W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
   


Pokaż rozwiązanie zadania



Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© Media Nauka 2008-2018 r.