Nauka » Matematyka » Obliczanie granic ciągów

Zadanie - obliczanie granic niewłaściwych z definicji

Wykazać, że $\lim_{n\to\infty}5^n=\infty$

Rozwiązanie zadania uproszczone

Musimy wykazać, że dla dowolnej liczby rzeczywistej M prawie wszystkie wyrazy ciągu

są większe od tej liczby.
Zakładamy, że M jest dowolną liczbą rzeczywistą i badamy, dla jakiej wartości n₀
$a_n>M \\ 5^n>M$

W przypadku, gdy liczba M jest ujemna, nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej n.
Gdy M jest dodatnie:
$5^n>5^{\log_{5}{M}} \\ n>\log_{5}{M}$
Zatem wykazaliśmy, że dla dowolnej liczby rzeczywistej M począwszy od n₀-tego ( $n>\log_{5}{M}$ ) wyrazu ciągu (a_n) prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od liczby M.

Zgodnie z definicją granicą tego ciągu jest nieskończoność.

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Ciąg jest rozbieżny do nieskończoności. Zgodnie z definicją granicy niewłaściwej ciągu musimy wykazać, że dla dowolnej liczby rzeczywistej M prawie wszystkie wyrazy tego ciągu są większe od tej liczby.

Mamy ciąg . Wypiszmy kilka pierwszych wyrazów tego ciągu:

$a_1=5^1=5 \\ a_2=5^2=25 \\ a_3=5^3=125 \\ ...$

Zakładamy więc, że M jest dowolną liczbą rzeczywistą i badamy, dla jakiej wartości n₀

$a_n>M \\ 5^n>M$

Otrzymaliśmy nierówność wykładniczą.
W przypadku, gdy liczba M jest ujemna, nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej n.
Gdy M jest dodatnie, skorzystamy z własności logarytmów.

$a=b^{\log_{b}{a}}$

Należy liczbę M przedstawić jako potęgę o podstawie 5. Nasza nierówność przyjmuje postać:

$5^n>5^{\log_{5}{M}} \\ n>\log_{5}{M}$

Zatem wykazaliśmy, że dla dowolnej liczby rzeczywistej M począwszy od n₀-tego ( $n>\log_{5}{M}$ ) wyrazu ciągu (a_n) prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od liczby M.

Zgodnie z definicją granicą tego ciągu jest nieskończoność.

Aby lepiej zrozumieć to rozwiązanie, przeanalizujmy przykład:
Niech np. M=5. Zgodnie z naszymi wyliczeniami dla $n_0>\log_{5}{5}, \ n_0>1$ prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od M. I rzeczywiście, dopiero dla n₀=2 (i większych) prawie wszystkie wyrazy ciągu, czyli wszystkie za wyjątkiem wyrazu 1-ego są większe od 5.

Zadania podobne

Zadanie - obliczanie granic ciągów
Obliczyć granicę $\lim_{n\to\infty}(\frac{-n^2-4n+1}{n^2+2}-5)$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - obliczanie granicy ciągu
Obliczyć granicę $\lim_{n\to\infty}(\frac{n^3+n^2+2n+3}{n+1}-n^2)$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - Obliczanie granicy niewłaściwej z definicji
Wykazać, że $\lim_{n\to\infty}\sqrt{n}=+\infty$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - obliczanie granicy niewłaściwej z definicji
Wykazać na podstawie definicji granicy niewłaściwej, że $\lim_{n\to\infty}(1+2n)=+\infty$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - obliczanie granicy niewłaściwej ciągu z definicji
Wykazać, że $\lim_{n\to\infty}\frac{1-n^2}{n}=-\infty$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - Obliczanie granicy ciągu na podstawie definicji
Wykazać na podtawie definicji, że $\lim_{n\to\infty}\frac{2n+3}{n}=2$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - obliczanie granicy ciągu
Obliczyć granicę $\lim_{n\to\infty}\frac{1+2+3+...+n}{n^2+n-1}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 5, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Granica $\lim_{n\to \infty}{\frac{(pn^2+4n)^3}{5n^6-4}}=-\frac{8}{5}$ . Wynika stąd, że

A. p=-8
B. p=4
C. p=2
D. p=-2

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 6, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Oblicz granicę $\lim_{n\to \infty}(\frac{11n^3+6n+5}{6n^3+1}-\frac{2n^2+2n+1}{5n^2-4})$ .
W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 2, matura 2020 - poziom rozszerzony

Ciąg (a_n) jest określony wzorem $\frac{3n^2+7n-5}{11-5n+5n^2}$ dla każdej liczby naturalnej n ≥1. Granica tego ciągu jest równa

A. 3.

B. 1/5.

C. 3/5.

D. -5/11.

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.