Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie - obliczanie granic niewłaściwych z definicji


Wykazać, że \lim_{n\to\infty}5^n=\infty


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

Musimy wykazać, że dla dowolnej liczby rzeczywistej M prawie wszystkie wyrazy ciągu a_n=5^n są większe od tej liczby.
Zakładamy, że M jest dowolną liczbą rzeczywistą i badamy, dla jakiej wartości n0
a_n>M \\ 5^n>M

W przypadku, gdy liczba M jest ujemna, nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej n.
Gdy M jest dodatnie:
5^n>5^{\log_{5}{M}} \\ n>\log_{5}{M}
Zatem wykazaliśmy, że dla dowolnej liczby rzeczywistej M począwszy od n0-tego (n>\log_{5}{M}) wyrazu ciągu (an) prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od liczby M.

Zgodnie z definicją granicą tego ciągu jest nieskończoność.

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Ciąg jest rozbieżny do nieskończoności. Zgodnie z definicją granicy niewłaściwej ciągu musimy wykazać, że dla dowolnej liczby rzeczywistej M prawie wszystkie wyrazy tego ciągu są większe od tej liczby.

Mamy ciąg a_n=5^n. Wypiszmy kilka pierwszych wyrazów tego ciągu:

a_1=5^1=5 \\ a_2=5^2=25 \\ a_3=5^3=125 \\ ...

Zakładamy więc, że M jest dowolną liczbą rzeczywistą i badamy, dla jakiej wartości n0

a_n>M \\ 5^n>M

Otrzymaliśmy nierówność wykładniczą.
W przypadku, gdy liczba M jest ujemna, nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej n.
Gdy M jest dodatnie, skorzystamy z własności logarytmów.

a=b^{\log_{b}{a}}

Należy liczbę M przedstawić jako potęgę o podstawie 5. Nasza nierówność przyjmuje postać:

5^n>5^{\log_{5}{M}} \\ n>\log_{5}{M}

Zatem wykazaliśmy, że dla dowolnej liczby rzeczywistej M począwszy od n0-tego (n>\log_{5}{M}) wyrazu ciągu (an) prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od liczby M.

Zgodnie z definicją granicą tego ciągu jest nieskończoność.

Aby lepiej zrozumieć to rozwiązanie, przeanalizujmy przykład:
Niech np. M=5. Zgodnie z naszymi wyliczeniami dla n_0>\log_{5}{5}, \ n_0>1 prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od M. I rzeczywiście, dopiero dla n0=2 (i większych) prawie wszystkie wyrazy ciągu, czyli wszystkie za wyjątkiem wyrazu 1-ego są większe od 5.


© medianauka.pl, 2010-01-02, ZAD-483





Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.