Strona główna » Matematyka » Właściwości i obliczanie granic ciągów

Zadanie - obliczanie granicy ciągu

Obliczyć granicę $\lim_{n\to\infty}(\frac{n^3+n^2+2n+3}{n+1}-n^2)$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$\lim_{n\to\infty}(\frac{n^3+2n^2+2n+3}{n+1}-n^2)=\\ =\lim_{n\to\infty}[\frac{n^3+2n^2+2n+3}{n+1}-\frac{n^2(n+1)}{n+1}]= \\ = \lim_{n\to\infty}\frac{n^3+n^2+2n+3-n^2(n+1)}{n+1}=\\ =\lim_{n\to\infty}\frac{\cancel{n^3}+\cancel{n^2}+2n+3-\cancel{n^3}-\cancel{n^2})}{n+1}= \\ =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+3}{n+1}$
$=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{2n}{n}+\frac{3}{n}}{\frac{n}{n}+\frac{1}{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{2+\frac{3}{n}}{1+\frac{1}{n}}=\frac{2+0}{1+0}=2$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Aby obliczyć daną granicę obliczamy najpierw różnicę ciągów, sprowadzając je do wspólnego mianownika:

Otrzymaliśmy ciąg w prostej postaci. Aby obliczyć jego granicę, dzielimy licznik i mianownik przez największą potęgę n, występującą w mianowniku. W ten sposób łatwo wyznaczymy granicę tego ciągu.

$=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{2n}{n}+\frac{3}{n}}{\frac{n}{n}+\frac{1}{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{2+\frac{3}{n}}{1+\frac{1}{n}}=\frac{2+0}{1+0}=2$

Wyjaśnimy jeszcze poszczególne kroki:

Otóż w przypadku ciągu stałego mamy $\lim_{n\to\infty}(a)=a$ , zatem:
$\lim_{n\to\infty}2=2$
$\lim_{n\to\infty}1=1$
Korzystając z granicy $\lim_{n\to\infty}\frac{k}{n}=0, \ k\in R$ mamy:
$\lim_{n\to\infty}\frac{3}{n}=0$
$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$