Nauka » Matematyka » Obliczanie granic ciągów

Zadanie - obliczanie granicy ciągu

Obliczyć granicę $\lim_{n\to\infty}(\frac{n^3+n^2+2n+3}{n+1}-n^2)$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$\lim_{n\to\infty}(\frac{n^3+2n^2+2n+3}{n+1}-n^2)=\\ =\lim_{n\to\infty}[\frac{n^3+2n^2+2n+3}{n+1}-\frac{n^2(n+1)}{n+1}]= \\ = \lim_{n\to\infty}\frac{n^3+n^2+2n+3-n^2(n+1)}{n+1}=\\ =\lim_{n\to\infty}\frac{\cancel{n^3}+\cancel{n^2}+2n+3-\cancel{n^3}-\cancel{n^2})}{n+1}= \\ =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+3}{n+1}$
$=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{2n}{n}+\frac{3}{n}}{\frac{n}{n}+\frac{1}{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{2+\frac{3}{n}}{1+\frac{1}{n}}=\frac{2+0}{1+0}=2$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Aby obliczyć daną granicę obliczamy najpierw różnicę ciągów, sprowadzając je do wspólnego mianownika:

Otrzymaliśmy ciąg w prostej postaci. Aby obliczyć jego granicę, dzielimy licznik i mianownik przez największą potęgę n, występującą w mianowniku. W ten sposób łatwo wyznaczymy granicę tego ciągu.

$=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{2n}{n}+\frac{3}{n}}{\frac{n}{n}+\frac{1}{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{2+\frac{3}{n}}{1+\frac{1}{n}}=\frac{2+0}{1+0}=2$

Wyjaśnimy jeszcze poszczególne kroki:

Otóż w przypadku ciągu stałego mamy $\lim_{n\to\infty}(a)=a$ , zatem:
$\lim_{n\to\infty}2=2$
$\lim_{n\to\infty}1=1$
Korzystając z granicy $\lim_{n\to\infty}\frac{k}{n}=0, \ k\in R$ mamy:
$\lim_{n\to\infty}\frac{3}{n}=0$
$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$

Odpowiedź

$\lim_{n\to\infty}(\frac{n^3+n^2+2n+3}{n+1}-n^2)=2$

Zadania podobne

Zadanie - obliczanie granic ciągów
Obliczyć granicę $\lim_{n\to\infty}(\frac{-n^2-4n+1}{n^2+2}-5)$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - Obliczanie granicy niewłaściwej z definicji
Wykazać, że $\lim_{n\to\infty}\sqrt{n}=+\infty$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - obliczanie granicy niewłaściwej z definicji
Wykazać na podstawie definicji granicy niewłaściwej, że $\lim_{n\to\infty}(1+2n)=+\infty$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - obliczanie granicy niewłaściwej ciągu z definicji
Wykazać, że $\lim_{n\to\infty}\frac{1-n^2}{n}=-\infty$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - obliczanie granic niewłaściwych z definicji
Wykazać, że $\lim_{n\to\infty}5^n=\infty$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - Obliczanie granicy ciągu na podstawie definicji
Wykazać na podtawie definicji, że $\lim_{n\to\infty}\frac{2n+3}{n}=2$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - obliczanie granicy ciągu
Obliczyć granicę $\lim_{n\to\infty}\frac{1+2+3+...+n}{n^2+n-1}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 5, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Granica $\lim_{n\to \infty}{\frac{(pn^2+4n)^3}{5n^6-4}}=-\frac{8}{5}$ . Wynika stąd, że

A. p=-8
B. p=4
C. p=2
D. p=-2

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 6, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Oblicz granicę $\lim_{n\to \infty}(\frac{11n^3+6n+5}{6n^3+1}-\frac{2n^2+2n+1}{5n^2-4})$ .
W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.