Nauka » Matematyka » Obliczanie granic ciągów

Zadanie - obliczanie granicy ciągu

Obliczyć granicę $\lim_{n\to\infty}(\frac{n^3+n^2+2n+3}{n+1}-n^2)$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$\lim_{n\to\infty}(\frac{n^3+2n^2+2n+3}{n+1}-n^2)=\\ =\lim_{n\to\infty}[\frac{n^3+2n^2+2n+3}{n+1}-\frac{n^2(n+1)}{n+1}]= \\ = \lim_{n\to\infty}\frac{n^3+n^2+2n+3-n^2(n+1)}{n+1}=\\ =\lim_{n\to\infty}\frac{\cancel{n^3}+\cancel{n^2}+2n+3-\cancel{n^3}-\cancel{n^2})}{n+1}= \\ =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+3}{n+1}$
$=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{2n}{n}+\frac{3}{n}}{\frac{n}{n}+\frac{1}{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{2+\frac{3}{n}}{1+\frac{1}{n}}=\frac{2+0}{1+0}=2$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Aby obliczyć daną granicę obliczamy najpierw różnicę ciągów, sprowadzając je do wspólnego mianownika:

Otrzymaliśmy ciąg w prostej postaci. Aby obliczyć jego granicę, dzielimy licznik i mianownik przez największą potęgę n, występującą w mianowniku. W ten sposób łatwo wyznaczymy granicę tego ciągu.

$=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{2n}{n}+\frac{3}{n}}{\frac{n}{n}+\frac{1}{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{2+\frac{3}{n}}{1+\frac{1}{n}}=\frac{2+0}{1+0}=2$

Wyjaśnimy jeszcze poszczególne kroki:

Otóż w przypadku ciągu stałego mamy $\lim_{n\to\infty}(a)=a$ , zatem:
$\lim_{n\to\infty}2=2$
$\lim_{n\to\infty}1=1$
Korzystając z granicy $\lim_{n\to\infty}\frac{k}{n}=0, \ k\in R$ mamy:
$\lim_{n\to\infty}\frac{3}{n}=0$
$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$

Odpowiedź

$\lim_{n\to\infty}(\frac{n^3+n^2+2n+3}{n+1}-n^2)=2$

Zadania podobne

Zadanie - obliczanie granic ciągów
Obliczyć granicę $\lim_{n\to\infty}(\frac{-n^2-4n+1}{n^2+2}-5)$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - Obliczanie granicy niewłaściwej z definicji
Wykazać, że $\lim_{n\to\infty}\sqrt{n}=+\infty$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - obliczanie granicy niewłaściwej z definicji
Wykazać na podstawie definicji granicy niewłaściwej, że $\lim_{n\to\infty}(1+2n)=+\infty$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - obliczanie granicy niewłaściwej ciągu z definicji
Wykazać, że $\lim_{n\to\infty}\frac{1-n^2}{n}=-\infty$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - obliczanie granic niewłaściwych z definicji
Wykazać, że $\lim_{n\to\infty}5^n=\infty$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - Obliczanie granicy ciągu na podstawie definicji
Wykazać na podtawie definicji, że $\lim_{n\to\infty}\frac{2n+3}{n}=2$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - obliczanie granicy ciągu
Obliczyć granicę $\lim_{n\to\infty}\frac{1+2+3+...+n}{n^2+n-1}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 5, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Granica $\lim_{n\to \infty}{\frac{(pn^2+4n)^3}{5n^6-4}}=-\frac{8}{5}$ . Wynika stąd, że

A. p=-8
B. p=4
C. p=2
D. p=-2

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 6, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Oblicz granicę $\lim_{n\to \infty}(\frac{11n^3+6n+5}{6n^3+1}-\frac{2n^2+2n+1}{5n^2-4})$ .
W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Pokaż rozwiązanie zadania