Nauka » Matematyka » Obliczanie granic ciągów

Zadanie - obliczanie granic ciągów

Obliczyć granicę $\lim_{n\to\infty}(\frac{-n^2-4n+1}{n^2+2}-5)$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$\lim_{n\to\infty}(\frac{-n^2-4n+1}{n^2+2}-5)=\lim_{n\to\infty}\frac{-n^2-4n+1}{n^2+2}-\lim_{n\to\infty}5=$
$=\lim_{n\to\infty}\frac{-\frac{n^2}{n^2}-\frac{4n}{n^2}+\frac{1}{n^2}}{\frac{n^2}{n^2}+\frac{2}{n^2}}-\lim_{n\to\infty}5=\lim_{n\to\infty}\frac{-1-\frac{4}{n}+\frac{1}{n^2}}{1+\frac{2}{n^2}}-\lim_{n\to\infty}5= \\ =\frac{-1-0+0}{1+0}-5=-1-5=-6$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Ponieważ granica sumy jest równa sumie granic, możemy napisać:

$\lim_{n\to\infty}(\frac{-n^2-4n+1}{n^2+2}-5)=\lim_{n\to\infty}\frac{-n^2-4n+1}{n^2+2}-\lim_{n\to\infty}5=$

Aby obliczyć granicę pierwszego ciągu, dzielimy licznik i mianownik przez największą potęgę n, występującą w mianowniku i otrzymujemy:

$=\lim_{n\to\infty}\frac{-\frac{n^2}{n^2}-\frac{4n}{n^2}+\frac{1}{n^2}}{\frac{n^2}{n^2}+\frac{2}{n^2}}-\lim_{n\to\infty}5=\lim_{n\to\infty}\frac{-1-\frac{4}{n}+\frac{1}{n^2}}{1+\frac{2}{n^2}}-\lim_{n\to\infty}5= \\ =\frac{-1-0+0}{1+0}-5=-1-5=-6$

Skąd się wzięły te liczby?
Otóż w przypadku ciągu stałego mamy $\lim_{n\to\infty}(a)=a$ , więc:
$\lim_{n\to\infty}5=5$
$\lim_{n\to\infty}(-1)=-1$
$\lim_{n\to\infty}1=1$
Korzystając z granicy $\lim_{n\to\infty}\frac{k}{n}=0, \ k\in R$ oraz granicy iloczynu ciągów otrzymujemy:
$\lim_{n\to\infty}\frac{4}{n}=0$
$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}=\lim_{n\to\infty}(\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{n})=0\cdot 0=0$
$\lim_{n\to\infty}\frac{2}{n^2}=\lim_{n\to\infty}(\frac{2}{n}\cdot \frac{1}{n})=0\cdot 0=0$

Odpowiedź

$\lim_{n\to\infty}(\frac{-n^2-4n+1}{n^2+2}-5)=-6$

Zadania podobne

Zadanie - obliczanie granicy ciągu
Obliczyć granicę $\lim_{n\to\infty}(\frac{n^3+n^2+2n+3}{n+1}-n^2)$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - Obliczanie granicy niewłaściwej z definicji
Wykazać, że $\lim_{n\to\infty}\sqrt{n}=+\infty$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - obliczanie granicy niewłaściwej z definicji
Wykazać na podstawie definicji granicy niewłaściwej, że $\lim_{n\to\infty}(1+2n)=+\infty$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - obliczanie granicy niewłaściwej ciągu z definicji
Wykazać, że $\lim_{n\to\infty}\frac{1-n^2}{n}=-\infty$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - obliczanie granic niewłaściwych z definicji
Wykazać, że $\lim_{n\to\infty}5^n=\infty$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - Obliczanie granicy ciągu na podstawie definicji
Wykazać na podtawie definicji, że $\lim_{n\to\infty}\frac{2n+3}{n}=2$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - obliczanie granicy ciągu
Obliczyć granicę $\lim_{n\to\infty}\frac{1+2+3+...+n}{n^2+n-1}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 5, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Granica $\lim_{n\to \infty}{\frac{(pn^2+4n)^3}{5n^6-4}}=-\frac{8}{5}$ . Wynika stąd, że

A. p=-8
B. p=4
C. p=2
D. p=-2

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 6, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Oblicz granicę $\lim_{n\to \infty}(\frac{11n^3+6n+5}{6n^3+1}-\frac{2n^2+2n+1}{5n^2-4})$ .
W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Pokaż rozwiązanie zadania