Strona główna » Matematyka » Właściwości i obliczanie granic ciągów

Zadanie - obliczanie granic ciągów

Obliczyć granicę $\lim_{n\to\infty}(\frac{-n^2-4n+1}{n^2+2}-5)$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$\lim_{n\to\infty}(\frac{-n^2-4n+1}{n^2+2}-5)=\lim_{n\to\infty}\frac{-n^2-4n+1}{n^2+2}-\lim_{n\to\infty}5=$
$=\lim_{n\to\infty}\frac{-\frac{n^2}{n^2}-\frac{4n}{n^2}+\frac{1}{n^2}}{\frac{n^2}{n^2}+\frac{2}{n^2}}-\lim_{n\to\infty}5=\lim_{n\to\infty}\frac{-1-\frac{4}{n}+\frac{1}{n^2}}{1+\frac{2}{n^2}}-\lim_{n\to\infty}5= \\ =\frac{-1-0+0}{1+0}-5=-1-5=-6$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Ponieważ granica sumy jest równa sumie granic, możemy napisać:

$\lim_{n\to\infty}(\frac{-n^2-4n+1}{n^2+2}-5)=\lim_{n\to\infty}\frac{-n^2-4n+1}{n^2+2}-\lim_{n\to\infty}5=$

Aby obliczyć granicę pierwszego ciągu, dzielimy licznik i mianownik przez największą potęgę n, występującą w mianowniku i otrzymujemy:

$=\lim_{n\to\infty}\frac{-\frac{n^2}{n^2}-\frac{4n}{n^2}+\frac{1}{n^2}}{\frac{n^2}{n^2}+\frac{2}{n^2}}-\lim_{n\to\infty}5=\lim_{n\to\infty}\frac{-1-\frac{4}{n}+\frac{1}{n^2}}{1+\frac{2}{n^2}}-\lim_{n\to\infty}5= \\ =\frac{-1-0+0}{1+0}-5=-1-5=-6$

Skąd się wzięły te liczby?
Otóż w przypadku ciągu stałego mamy $\lim_{n\to\infty}(a)=a$ , więc:
$\lim_{n\to\infty}5=5$
$\lim_{n\to\infty}(-1)=-1$
$\lim_{n\to\infty}1=1$
Korzystając z granicy $\lim_{n\to\infty}\frac{k}{n}=0, \ k\in R$ oraz granicy iloczynu ciągów otrzymujemy:
$\lim_{n\to\infty}\frac{4}{n}=0$
$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}=\lim_{n\to\infty}(\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{n})=0\cdot 0=0$
$\lim_{n\to\infty}\frac{2}{n^2}=\lim_{n\to\infty}(\frac{2}{n}\cdot \frac{1}{n})=0\cdot 0=0$