Nauka » Matematyka » Obliczanie granic ciągów

Zadanie - obliczanie granic ciągów

Obliczyć granicę $\lim_{n\to\infty}(\frac{-n^2-4n+1}{n^2+2}-5)$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$\lim_{n\to\infty}(\frac{-n^2-4n+1}{n^2+2}-5)=\lim_{n\to\infty}\frac{-n^2-4n+1}{n^2+2}-\lim_{n\to\infty}5=$
$=\lim_{n\to\infty}\frac{-\frac{n^2}{n^2}-\frac{4n}{n^2}+\frac{1}{n^2}}{\frac{n^2}{n^2}+\frac{2}{n^2}}-\lim_{n\to\infty}5=\lim_{n\to\infty}\frac{-1-\frac{4}{n}+\frac{1}{n^2}}{1+\frac{2}{n^2}}-\lim_{n\to\infty}5= \\ =\frac{-1-0+0}{1+0}-5=-1-5=-6$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Ponieważ granica sumy jest równa sumie granic, możemy napisać:

$\lim_{n\to\infty}(\frac{-n^2-4n+1}{n^2+2}-5)=\lim_{n\to\infty}\frac{-n^2-4n+1}{n^2+2}-\lim_{n\to\infty}5=$

Aby obliczyć granicę pierwszego ciągu, dzielimy licznik i mianownik przez największą potęgę n, występującą w mianowniku i otrzymujemy:

$=\lim_{n\to\infty}\frac{-\frac{n^2}{n^2}-\frac{4n}{n^2}+\frac{1}{n^2}}{\frac{n^2}{n^2}+\frac{2}{n^2}}-\lim_{n\to\infty}5=\lim_{n\to\infty}\frac{-1-\frac{4}{n}+\frac{1}{n^2}}{1+\frac{2}{n^2}}-\lim_{n\to\infty}5= \\ =\frac{-1-0+0}{1+0}-5=-1-5=-6$

Skąd się wzięły te liczby?
Otóż w przypadku ciągu stałego mamy $\lim_{n\to\infty}(a)=a$ , więc:
$\lim_{n\to\infty}5=5$
$\lim_{n\to\infty}(-1)=-1$
$\lim_{n\to\infty}1=1$
Korzystając z granicy $\lim_{n\to\infty}\frac{k}{n}=0, \ k\in R$ oraz granicy iloczynu ciągów otrzymujemy:
$\lim_{n\to\infty}\frac{4}{n}=0$
$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}=\lim_{n\to\infty}(\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{n})=0\cdot 0=0$
$\lim_{n\to\infty}\frac{2}{n^2}=\lim_{n\to\infty}(\frac{2}{n}\cdot \frac{1}{n})=0\cdot 0=0$

Odpowiedź

$\lim_{n\to\infty}(\frac{-n^2-4n+1}{n^2+2}-5)=-6$

Zadania podobne

Zadanie - obliczanie granicy ciągu
Obliczyć granicę $\lim_{n\to\infty}(\frac{n^3+n^2+2n+3}{n+1}-n^2)$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - Obliczanie granicy niewłaściwej z definicji
Wykazać, że $\lim_{n\to\infty}\sqrt{n}=+\infty$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - obliczanie granicy niewłaściwej z definicji
Wykazać na podstawie definicji granicy niewłaściwej, że $\lim_{n\to\infty}(1+2n)=+\infty$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - obliczanie granicy niewłaściwej ciągu z definicji
Wykazać, że $\lim_{n\to\infty}\frac{1-n^2}{n}=-\infty$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - obliczanie granic niewłaściwych z definicji
Wykazać, że $\lim_{n\to\infty}5^n=\infty$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - Obliczanie granicy ciągu na podstawie definicji
Wykazać na podtawie definicji, że $\lim_{n\to\infty}\frac{2n+3}{n}=2$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - obliczanie granicy ciągu
Obliczyć granicę $\lim_{n\to\infty}\frac{1+2+3+...+n}{n^2+n-1}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 5, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Granica $\lim_{n\to \infty}{\frac{(pn^2+4n)^3}{5n^6-4}}=-\frac{8}{5}$ . Wynika stąd, że

A. p=-8
B. p=4
C. p=2
D. p=-2

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 6, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Oblicz granicę $\lim_{n\to \infty}(\frac{11n^3+6n+5}{6n^3+1}-\frac{2n^2+2n+1}{5n^2-4})$ .
W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.