Logo Media Nauka
Sklep naukowy

zadanie

Zadanie - obliczanie granic ciągów


Obliczyć granicę \lim_{n\to\infty}(\frac{-n^2-4n+1}{n^2+2}-5)


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

\lim_{n\to\infty}(\frac{-n^2-4n+1}{n^2+2}-5)=\lim_{n\to\infty}\frac{-n^2-4n+1}{n^2+2}-\lim_{n\to\infty}5=
=\lim_{n\to\infty}\frac{-\frac{n^2}{n^2}-\frac{4n}{n^2}+\frac{1}{n^2}}{\frac{n^2}{n^2}+\frac{2}{n^2}}-\lim_{n\to\infty}5=\lim_{n\to\infty}\frac{-1-\frac{4}{n}+\frac{1}{n^2}}{1+\frac{2}{n^2}}-\lim_{n\to\infty}5= \\ =\frac{-1-0+0}{1+0}-5=-1-5=-6

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Ponieważ granica sumy jest równa sumie granic, możemy napisać:

\lim_{n\to\infty}(\frac{-n^2-4n+1}{n^2+2}-5)=\lim_{n\to\infty}\frac{-n^2-4n+1}{n^2+2}-\lim_{n\to\infty}5=

Aby obliczyć granicę pierwszego ciągu, dzielimy licznik i mianownik przez największą potęgę n, występującą w mianowniku i otrzymujemy:

=\lim_{n\to\infty}\frac{-\frac{n^2}{n^2}-\frac{4n}{n^2}+\frac{1}{n^2}}{\frac{n^2}{n^2}+\frac{2}{n^2}}-\lim_{n\to\infty}5=\lim_{n\to\infty}\frac{-1-\frac{4}{n}+\frac{1}{n^2}}{1+\frac{2}{n^2}}-\lim_{n\to\infty}5= \\ =\frac{-1-0+0}{1+0}-5=-1-5=-6

Skąd się wzięły te liczby?
Otóż w przypadku ciągu stałego mamy \lim_{n\to\infty}(a)=a, więc:
\lim_{n\to\infty}5=5
\lim_{n\to\infty}(-1)=-1
\lim_{n\to\infty}1=1
Korzystając z granicy \lim_{n\to\infty}\frac{k}{n}=0, \ k\in R oraz granicy iloczynu ciągów otrzymujemy:
\lim_{n\to\infty}\frac{4}{n}=0
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}=\lim_{n\to\infty}(\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{n})=0\cdot 0=0
\lim_{n\to\infty}\frac{2}{n^2}=\lim_{n\to\infty}(\frac{2}{n}\cdot \frac{1}{n})=0\cdot 0=0

ksiązki Odpowiedź

\lim_{n\to\infty}(\frac{-n^2-4n+1}{n^2+2}-5)=-6

© medianauka.pl, 2010-01-01, ZAD-478





Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.