Logo Media Nauka
Sklep naukowy

Zadanie - obliczanie granic ciągów

Obliczyć granicę \lim_{n\to\infty}(\frac{-n^2-4n+1}{n^2+2}-5)

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

\lim_{n\to\infty}(\frac{-n^2-4n+1}{n^2+2}-5)=\lim_{n\to\infty}\frac{-n^2-4n+1}{n^2+2}-\lim_{n\to\infty}5=
=\lim_{n\to\infty}\frac{-\frac{n^2}{n^2}-\frac{4n}{n^2}+\frac{1}{n^2}}{\frac{n^2}{n^2}+\frac{2}{n^2}}-\lim_{n\to\infty}5=\lim_{n\to\infty}\frac{-1-\frac{4}{n}+\frac{1}{n^2}}{1+\frac{2}{n^2}}-\lim_{n\to\infty}5= \\ =\frac{-1-0+0}{1+0}-5=-1-5=-6

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Ponieważ granica sumy jest równa sumie granic, możemy napisać:

\lim_{n\to\infty}(\frac{-n^2-4n+1}{n^2+2}-5)=\lim_{n\to\infty}\frac{-n^2-4n+1}{n^2+2}-\lim_{n\to\infty}5=

Aby obliczyć granicę pierwszego ciągu, dzielimy licznik i mianownik przez największą potęgę n, występującą w mianowniku i otrzymujemy:

=\lim_{n\to\infty}\frac{-\frac{n^2}{n^2}-\frac{4n}{n^2}+\frac{1}{n^2}}{\frac{n^2}{n^2}+\frac{2}{n^2}}-\lim_{n\to\infty}5=\lim_{n\to\infty}\frac{-1-\frac{4}{n}+\frac{1}{n^2}}{1+\frac{2}{n^2}}-\lim_{n\to\infty}5= \\ =\frac{-1-0+0}{1+0}-5=-1-5=-6

Skąd się wzięły te liczby?
Otóż w przypadku ciągu stałego mamy \lim_{n\to\infty}(a)=a, więc:
\lim_{n\to\infty}5=5
\lim_{n\to\infty}(-1)=-1
\lim_{n\to\infty}1=1
Korzystając z granicy \lim_{n\to\infty}\frac{k}{n}=0, \ k\in R oraz granicy iloczynu ciągów otrzymujemy:
\lim_{n\to\infty}\frac{4}{n}=0
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}=\lim_{n\to\infty}(\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{n})=0\cdot 0=0
\lim_{n\to\infty}\frac{2}{n^2}=\lim_{n\to\infty}(\frac{2}{n}\cdot \frac{1}{n})=0\cdot 0=0

ksiązki Odpowiedź

\lim_{n\to\infty}(\frac{-n^2-4n+1}{n^2+2}-5)=-6

© medianauka.pl, 2010-01-01, ZAD-478





Zadania podobne

kulkaZadanie - obliczanie granicy ciągu
Obliczyć granicę \lim_{n\to\infty}(\frac{n^3+n^2+2n+3}{n+1}-n^2)

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - Obliczanie granicy niewłaściwej z definicji
Wykazać, że \lim_{n\to\infty}\sqrt{n}=+\infty

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - obliczanie granicy niewłaściwej z definicji
Wykazać na podstawie definicji granicy niewłaściwej, że \lim_{n\to\infty}(1+2n)=+\infty

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - obliczanie granicy niewłaściwej ciągu z definicji
Wykazać, że \lim_{n\to\infty}\frac{1-n^2}{n}=-\infty

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - obliczanie granic niewłaściwych z definicji
Wykazać, że \lim_{n\to\infty}5^n=\infty

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - Obliczanie granicy ciągu na podstawie definicji
Wykazać na podtawie definicji, że \lim_{n\to\infty}\frac{2n+3}{n}=2

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - obliczanie granicy ciągu
Obliczyć granicę \lim_{n\to\infty}\frac{1+2+3+...+n}{n^2+n-1}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 5, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Granica \lim_{n\to \infty}{\frac{(pn^2+4n)^3}{5n^6-4}}=-\frac{8}{5}. Wynika stąd, że

A. p=-8
B. p=4
C. p=2
D. p=-2


Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 6, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Oblicz granicę \lim_{n\to \infty}(\frac{11n^3+6n+5}{6n^3+1}-\frac{2n^2+2n+1}{5n^2-4}).
W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
   


Pokaż rozwiązanie zadania



© Media Nauka 2008-2018 r.