Zadanie - obliczanie granicy niewłaściwej z definicji

Rozwiązanie zadania

Z warunków zadania wiemy, że dany ciąg jest rozbieżny do nieskończoności. W oparciu o definicję granicy niewłaściwej ciągu musimy wykazać, że dla dowolnej liczby rzeczywistej \(M\) prawie wszystkie wyrazy tego ciągu są większe od tej liczby.

Dany jest ciąg \(a_n=1+2n\). Dla zilustrowania go wypiszemy kilka pierwszych wyrazów tego ciągu:

\(a_1=3\)

\(a_2=5\)

\(a_3=7\)

\(a_4=9\)

\(a_5=11\)

\(...\)

Zakładamy więc, że \(M\) jest dowolną liczbą rzeczywistą i badamy, dla jakiej wartości \(n_0\):

\(a_n>M\)

\(1+2n>M\)

\(2n>M-1/:2\)

\(n>\frac{M-1}{2}\)

Zatem dla dowolnej liczby rzeczywistej \(M\) począwszy od \(n_0\)-tego (\(n_0>(M-1)/2^2\)) wyrazu ciągu \((a_n)\) prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od liczby \(M\).

Zgodnie z definicją granicą tego ciągu jest nieskończoność.

Jeżeli nadal nie jest dla ciebie jasny sposób rozumowania przeanalizuj poniższy przykład:

Niech dla przykładu \(M=4\). Zgodnie z naszymi wyliczeniami dla \(n_0>\frac{(M-1)}{2}=\frac{3}{2}\) prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od \(M\). I rzeczywiście dopiero dla \(n_0=2\) prawie wszystkie wyrazy ciągu, czyli wszystkie za wyjątkiem wyrazu \(1\)-ego są większe od \(4\).

© medianauka.pl, 2010-01-02, ZAD-481

Zadania podobne

Obliczyć granicę \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}(\frac{-n^2-4n+1}{n^2+2}-5)\).

Obliczyć granicę \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}(\frac{n^3+n^2+2n+3}{n+1}-n^2)\).

Wykazać, że \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt{n}=+\infty\).

Wykazać, że \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1-n^2}{n}=-\infty\).

Wykazać, że \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}5^n=\infty\).

Wykazać na podstawie definicji, że \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{2n+3}{n}=2\).

Obliczyć granicę \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1+2+3+...+n}{n^2+n-1}\).

Granica \(\displaystyle\lim_{n\to \infty}{\frac{(pn^2+4n)^3}{5n^6-4}}=-\frac{8}{5}\). Wynika stąd, że

A. \(p=-8\)

B. \(p=4\)

C. \(p=2\)

D. \(p=-2\)

Oblicz granicę \(\displaystyle\lim_{n\to \infty}(\frac{11n^3+6n+5}{6n^3+1}-\frac{2n^2+2n+1}{5n^2-4})\). W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(\frac{3n^2+7n-5}{11-5n+5n^2}\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\). Granica tego ciągu jest równa

A. \(3\).

B. \(\frac{1}{5}\).

C. \(\frac{3}{5}\).

D. \(-\frac{5}{11}\).

Oblicz granicę

.

W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po
przecinku skończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Ciąg \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\) wzorem \(a_n=\frac{(7p-1)n^3+5pn-3}{(p+1)n^3+n^2+p}\), gdzie \(p\) jest liczbą rzeczywistą dodatnią. Oblicz wartość \(p\), dla której granica ciągu \(a_n\) jest równa \(\frac{4}{3}\). W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.