Strona główna » Matematyka » Obliczanie granicy ciągu na podstawie definicji

Zadanie - obliczanie granicy niewłaściwej z definicji

Wykazać na podstawie definicji granicy niewłaściwej, że $\lim_{n\to\infty}(1+2n)=+\infty$

Rozwiązanie zadania uproszczone

Wykażemy, że dla dowolnej liczby rzeczywistej M prawie wszystkie wyrazy tego ciągu są większe od tej liczby.
Zakładamy, że M jest dowolną liczbą rzeczywistą i badamy, dla jakiej wartości n₀
$a_n>M \\ 1+2n>M$
$2n>M-1/:2 \\ n>\frac{M-1}{2}$
Zatem dla dowolnej liczby rzeczywistej M począwszy od n₀-tego (n₀>(M-1)/2) wyrazu ciągu (a_n) prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od liczby M.

Zgodnie z definicją granicą tego ciągu jest nieskończoność.

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Z warunków zadania wiemy, że dany ciąg jest rozbieżny do nieskończoności. W oparciu o definicję granicy niewłaściwej ciągu musimy wykazać, że dla dowolnej liczby rzeczywistej M prawie wszystkie wyrazy tego ciągu są większe od tej liczby.

Dany jest ciąg . Dla zilustrowania go wypiszemy kilka pierwszych wyrazów tego ciągu:

$a_1=3 \\ a_2=5 \\ a_3=7 \\ a_4=9 \\ a_5=11 \\ ...$

Zakładamy więc, że M jest dowolną liczbą rzeczywistą i badamy, dla jakiej wartości n₀

$a_n>M \\ 1+2n>M$
$2n>M-1/:2 \\ n>\frac{M-1}{2}$

Zatem dla dowolnej liczby rzeczywistej M począwszy od n₀-tego (n₀>(M-1)/2²) wyrazu ciągu (a_n) prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od liczby M.

Zgodnie z definicją granicą tego ciągu jest nieskończoność.

Jeżeli nadal nie jest dla ciebie jasny sposób rozumowania przeanalizuj poniższy przykład:

Niech dla przykładu M=4. Zgodnie z naszymi wyliczeniami dla n₀>(M-1)/2=3/2 prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od M. I rzeczywiście dopiero dla n₀=2 prawie wszystkie wyrazy ciągu, czyli wszystkie za wyjątkiem wyrazu 1-ego są większe od 4.