Nauka » Matematyka » Obliczanie granic ciągów

Zadanie - obliczanie granicy niewłaściwej z definicji

Wykazać na podstawie definicji granicy niewłaściwej, że $\lim_{n\to\infty}(1+2n)=+\infty$

Rozwiązanie zadania uproszczone

Wykażemy, że dla dowolnej liczby rzeczywistej M prawie wszystkie wyrazy tego ciągu są większe od tej liczby.
Zakładamy, że M jest dowolną liczbą rzeczywistą i badamy, dla jakiej wartości n₀
$a_n>M \\ 1+2n>M$
$2n>M-1/:2 \\ n>\frac{M-1}{2}$
Zatem dla dowolnej liczby rzeczywistej M począwszy od n₀-tego (n₀>(M-1)/2) wyrazu ciągu (a_n) prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od liczby M.

Zgodnie z definicją granicą tego ciągu jest nieskończoność.

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Z warunków zadania wiemy, że dany ciąg jest rozbieżny do nieskończoności. W oparciu o definicję granicy niewłaściwej ciągu musimy wykazać, że dla dowolnej liczby rzeczywistej M prawie wszystkie wyrazy tego ciągu są większe od tej liczby.

Dany jest ciąg . Dla zilustrowania go wypiszemy kilka pierwszych wyrazów tego ciągu:

$a_1=3 \\ a_2=5 \\ a_3=7 \\ a_4=9 \\ a_5=11 \\ ...$

Zakładamy więc, że M jest dowolną liczbą rzeczywistą i badamy, dla jakiej wartości n₀

$a_n>M \\ 1+2n>M$
$2n>M-1/:2 \\ n>\frac{M-1}{2}$

Zatem dla dowolnej liczby rzeczywistej M począwszy od n₀-tego (n₀>(M-1)/2²) wyrazu ciągu (a_n) prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od liczby M.

Zgodnie z definicją granicą tego ciągu jest nieskończoność.

Jeżeli nadal nie jest dla ciebie jasny sposób rozumowania przeanalizuj poniższy przykład:

Niech dla przykładu M=4. Zgodnie z naszymi wyliczeniami dla n₀>(M-1)/2=3/2 prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od M. I rzeczywiście dopiero dla n₀=2 prawie wszystkie wyrazy ciągu, czyli wszystkie za wyjątkiem wyrazu 1-ego są większe od 4.

Zadania podobne

Zadanie - obliczanie granic ciągów
Obliczyć granicę $\lim_{n\to\infty}(\frac{-n^2-4n+1}{n^2+2}-5)$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - obliczanie granicy ciągu
Obliczyć granicę $\lim_{n\to\infty}(\frac{n^3+n^2+2n+3}{n+1}-n^2)$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - Obliczanie granicy niewłaściwej z definicji
Wykazać, że $\lim_{n\to\infty}\sqrt{n}=+\infty$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - obliczanie granicy niewłaściwej ciągu z definicji
Wykazać, że $\lim_{n\to\infty}\frac{1-n^2}{n}=-\infty$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - obliczanie granic niewłaściwych z definicji
Wykazać, że $\lim_{n\to\infty}5^n=\infty$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - Obliczanie granicy ciągu na podstawie definicji
Wykazać na podtawie definicji, że $\lim_{n\to\infty}\frac{2n+3}{n}=2$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - obliczanie granicy ciągu
Obliczyć granicę $\lim_{n\to\infty}\frac{1+2+3+...+n}{n^2+n-1}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 5, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Granica $\lim_{n\to \infty}{\frac{(pn^2+4n)^3}{5n^6-4}}=-\frac{8}{5}$ . Wynika stąd, że

A. p=-8
B. p=4
C. p=2
D. p=-2

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 6, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Oblicz granicę $\lim_{n\to \infty}(\frac{11n^3+6n+5}{6n^3+1}-\frac{2n^2+2n+1}{5n^2-4})$ .
W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.