Logo Media Nauka
Sklep naukowy

zadanie

Zadanie - obliczanie granicy niewłaściwej z definicji


Wykazać na podstawie definicji granicy niewłaściwej, że \lim_{n\to\infty}(1+2n)=+\infty


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

Wykażemy, że dla dowolnej liczby rzeczywistej M prawie wszystkie wyrazy tego ciągu są większe od tej liczby.
Zakładamy, że M jest dowolną liczbą rzeczywistą i badamy, dla jakiej wartości n0
a_n>M \\ 1+2n>M
2n>M-1/:2 \\ n>\frac{M-1}{2}
Zatem dla dowolnej liczby rzeczywistej M począwszy od n0-tego (n0>(M-1)/2) wyrazu ciągu (an) prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od liczby M.

Zgodnie z definicją granicą tego ciągu jest nieskończoność.

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Z warunków zadania wiemy, że dany ciąg jest rozbieżny do nieskończoności. W oparciu o definicję granicy niewłaściwej ciągu musimy wykazać, że dla dowolnej liczby rzeczywistej M prawie wszystkie wyrazy tego ciągu są większe od tej liczby.

Dany jest ciąg a_n=1+2n. Dla zilustrowania go wypiszemy kilka pierwszych wyrazów tego ciągu:

a_1=3 \\ a_2=5 \\ a_3=7 \\ a_4=9 \\ a_5=11 \\ ...

Zakładamy więc, że M jest dowolną liczbą rzeczywistą i badamy, dla jakiej wartości n0

a_n>M \\ 1+2n>M
2n>M-1/:2 \\ n>\frac{M-1}{2}

Zatem dla dowolnej liczby rzeczywistej M począwszy od n0-tego (n0>(M-1)/22) wyrazu ciągu (an) prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od liczby M.

Zgodnie z definicją granicą tego ciągu jest nieskończoność.

Jeżeli nadal nie jest dla ciebie jasny sposób rozumowania przeanalizuj poniższy przykład:

Niech dla przykładu M=4. Zgodnie z naszymi wyliczeniami dla n0>(M-1)/2=3/2 prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od M. I rzeczywiście dopiero dla n0=2 prawie wszystkie wyrazy ciągu, czyli wszystkie za wyjątkiem wyrazu 1-ego są większe od 4.


© medianauka.pl, 2010-01-02, ZAD-481





Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.