Zadanie - obliczanie granicy niewłaściwej ciągu z definicji

Rozwiązanie zadania uproszczone
Musimy wykazać, że dla dowolnej liczby rzeczywistej M prawie wszystkie wyrazy ciągu są mniejsze od tej liczby.
Zakładamy więc, że M jest dowolną liczbą rzeczywistą i badamy, dla jakiej wartości n0





Interesują nas tylko dodatnie wartości n, więc otrzymujemy:

Zatem wykazaliśmy, że dla dowolnej liczby rzeczywistej M począwszy od n0-tego (

Zgodnie z definicją granicą tego ciągu jest minus nieskończoność.
Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami
Ciąg jest rozbieżny do minus nieskończoności. Zgodnie z definicją granicy niewłaściwej ciągu musimy wykazać, że dla dowolnej liczby rzeczywistej M prawie wszystkie wyrazy tego ciągu są mniejsze od tej liczby.
Mamy ciąg . Wypiszmy kilka pierwszych wyrazów tego ciągu:
Zakładamy więc, że M jest dowolną liczbą rzeczywistą i badamy, dla jakiej wartości n0
Otrzymaliśmy nierówność wymierną.
Ponieważ n jest liczbą naturalną, a więc dodatnią, to cały ułamek jest ujemny, gdy licznik jest ujemny. Możemy więc napisać:
Otrzymaliśmy nierówność kwadratową. Obliczamy więc wyróżnik trójmianu i pierwiastki:

Interesują nas tylko dodatnie wartości n (nie ma ujemnych wyrazów ciągu, tylko 1,2,3, itd.), więc otrzymujemy:
Skąd wiadomo, że n1 jest ujemne? Wykażemy, że wyrażenie to jest ujemne dla każdej wartości M.
Zauważmy, że
a także, że
Dla dodatnich wartości M nierówność jest prawdziwa, natomiast dla ujemnych, pierwszy składnik różnicy staje się liczbą dodatnią. Ponieważ pokazaliśmy wyżej, że M jest mniejsze od wyrażenia z pierwiastkiem, zatem, gdy od mniejszej liczby odejmiemy większą, otrzymamy liczbę ujemną.
Zatem n1 jest ujemne dla każdej wartości M.
Zatem wykazaliśmy, że dla dowolnej liczby rzeczywistej M począwszy od n0-tego () wyrazu ciągu (an) prawie wszystkie wyrazy ciągu są mniejsze od liczby M.
Zgodnie z definicją granicą tego ciągu jest minus nieskończoność.
Aby lepiej zrozumieć to rozwiązanie, przeanalizujmy przykład:
Niech np. M=-2. Zgodnie z naszymi wyliczeniami dla prawie wszystkie wyrazy ciągu są mniejsze od M. I rzeczywiście, dopiero dla n0=3,4,5,... prawie wszystkie wyrazy ciągu, czyli wszystkie za wyjątkiem wyrazu 1,2-ego są mniejsze od -2.
© medianauka.pl, 2010-01-02, ZAD-482
Zadania podobne

Obliczyć granicę

Pokaż rozwiązanie zadania

Obliczyć granicę

Pokaż rozwiązanie zadania

Wykazać, że

Pokaż rozwiązanie zadania

Wykazać na podstawie definicji granicy niewłaściwej, że

Pokaż rozwiązanie zadania

Wykazać, że

Pokaż rozwiązanie zadania

Wykazać na podtawie definicji, że

Pokaż rozwiązanie zadania

Obliczyć granicę

Pokaż rozwiązanie zadania

Granica

A. p=-8
B. p=4
C. p=2
D. p=-2
Pokaż rozwiązanie zadania

Oblicz granicę

W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
Pokaż rozwiązanie zadania

Ciąg (an) jest określony wzorem dla każdej liczby naturalnej n ≥1.
Granica tego ciągu jest równa
A. 3.
B. 1/5.
C. 3/5.
D. -5/11.
Pokaż rozwiązanie zadania