Nauka » Matematyka » Obliczanie granic ciągów

Zadanie - obliczanie granicy niewłaściwej ciągu z definicji

Wykazać, że $\lim_{n\to\infty}\frac{1-n^2}{n}=-\infty$

Rozwiązanie zadania uproszczone

Musimy wykazać, że dla dowolnej liczby rzeczywistej M prawie wszystkie wyrazy ciągu są mniejsze od tej liczby.

Zakładamy więc, że M jest dowolną liczbą rzeczywistą i badamy, dla jakiej wartości n₀
$a_n<M \\ \frac{1-n^2}{n}<M$

$\frac{1-n^2}{n}<M \\ \frac{1-n^2}{n}-M<0 \\ \frac{1-n^2}{n}-\frac{Mn}{n}<0 \\ \frac{1-n^2-Mn}{n}<0$

$1-n^2-Mn<0 \\ -n^2-Mn+1<0/\cdot (-1) \\ n^2+Mn-1>0$

$\Delta=M^2+4 \\ n_1=\frac{-M-\sqrt{M^2+4}}{2}<0 \\ n_2=\frac{-M+\sqrt{M^2+4}}{2}$
Wykres pomocniczy

Interesują nas tylko dodatnie wartości n, więc otrzymujemy:
$n>\frac{-M+\sqrt{M^2+4}}{2}$

Zatem wykazaliśmy, że dla dowolnej liczby rzeczywistej M począwszy od n₀-tego ( $n_0>\frac{-M+\sqrt{M^2+4}}{2}$ ) wyrazu ciągu (a_n) prawie wszystkie wyrazy ciągu są mniejsze od liczby M.

Zgodnie z definicją granicą tego ciągu jest minus nieskończoność.

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Ciąg jest rozbieżny do minus nieskończoności. Zgodnie z definicją granicy niewłaściwej ciągu musimy wykazać, że dla dowolnej liczby rzeczywistej M prawie wszystkie wyrazy tego ciągu są mniejsze od tej liczby.

Mamy ciąg . Wypiszmy kilka pierwszych wyrazów tego ciągu:

$a_1=\frac{1-1}{1}=0 \\ a_2=\frac{1-4}{2}=-1 \\ a_3=\frac{1-9}{3}=-\frac{8}{3}=-2\frac{2}{3} \\ a_4=\frac{1-16}{4}=-\frac{14}{4}=-3\frac{3}{4} \\ ...$

Zakładamy więc, że M jest dowolną liczbą rzeczywistą i badamy, dla jakiej wartości n₀

$a_n<M \\ \frac{1-n^2}{n}<M$

Otrzymaliśmy nierówność wymierną.

$\frac{1-n^2}{n}<M \\ \frac{1-n^2}{n}-M<0 \\ \frac{1-n^2}{n}-\frac{Mn}{n}<0 \\ \frac{1-n^2-Mn}{n}<0$

Ponieważ n jest liczbą naturalną, a więc dodatnią, to cały ułamek jest ujemny, gdy licznik jest ujemny. Możemy więc napisać:
$1-n^2-Mn<0 \\ -n^2-Mn+1<0/\cdot (-1) \\ n^2+Mn-1>0$

Otrzymaliśmy nierówność kwadratową. Obliczamy więc wyróżnik trójmianu i pierwiastki:

$a=1\\ b=M \\ c=-1 \\ \Delta=b^2-4ac=M^2+4 \\ n_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-M-\sqrt{M^2+4}}{2}<0 \\ n_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-M+\sqrt{M^2+4}}{2}$

Interesują nas tylko dodatnie wartości n (nie ma ujemnych wyrazów ciągu, tylko 1,2,3, itd.), więc otrzymujemy:

$n>\frac{-M+\sqrt{M^2+4}}{2}$

Skąd wiadomo, że n₁ jest ujemne? Wykażemy, że wyrażenie to jest ujemne dla każdej wartości M.

Zauważmy, że $\sqrt{M^2+4}>\sqrt{M^2}=M$

a także, że

$\frac{-M-\sqrt{M^2+4}}{2}<0/\cdot 2 \\ -M-\sqrt{M^2+4}<0$

Dla dodatnich wartości M nierówność jest prawdziwa, natomiast dla ujemnych, pierwszy składnik różnicy staje się liczbą dodatnią. Ponieważ pokazaliśmy wyżej, że M jest mniejsze od wyrażenia z pierwiastkiem, zatem, gdy od mniejszej liczby odejmiemy większą, otrzymamy liczbę ujemną.
Zatem n₁ jest ujemne dla każdej wartości M.

Zatem wykazaliśmy, że dla dowolnej liczby rzeczywistej M począwszy od n₀-tego ( $n_0>\frac{-M+\sqrt{M^2+4}}{2}$ ) wyrazu ciągu (a_n) prawie wszystkie wyrazy ciągu są mniejsze od liczby M.

Zgodnie z definicją granicą tego ciągu jest minus nieskończoność.

Aby lepiej zrozumieć to rozwiązanie, przeanalizujmy przykład:
Niech np. M=-2. Zgodnie z naszymi wyliczeniami dla $n_0>\frac{-M+\sqrt{M^2+4}}{2}=\frac{2+\sqrt{8}}{2}=\frac{2+2\sqrt{2}}{2}=1+\sqrt{2}$ prawie wszystkie wyrazy ciągu są mniejsze od M. I rzeczywiście, dopiero dla n₀=3,4,5,... prawie wszystkie wyrazy ciągu, czyli wszystkie za wyjątkiem wyrazu 1,2-ego są mniejsze od -2.

Zadania podobne

Zadanie - obliczanie granic ciągów
Obliczyć granicę $\lim_{n\to\infty}(\frac{-n^2-4n+1}{n^2+2}-5)$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - obliczanie granicy ciągu
Obliczyć granicę $\lim_{n\to\infty}(\frac{n^3+n^2+2n+3}{n+1}-n^2)$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - Obliczanie granicy niewłaściwej z definicji
Wykazać, że $\lim_{n\to\infty}\sqrt{n}=+\infty$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - obliczanie granicy niewłaściwej z definicji
Wykazać na podstawie definicji granicy niewłaściwej, że $\lim_{n\to\infty}(1+2n)=+\infty$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - obliczanie granic niewłaściwych z definicji
Wykazać, że $\lim_{n\to\infty}5^n=\infty$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - Obliczanie granicy ciągu na podstawie definicji
Wykazać na podtawie definicji, że $\lim_{n\to\infty}\frac{2n+3}{n}=2$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - obliczanie granicy ciągu
Obliczyć granicę $\lim_{n\to\infty}\frac{1+2+3+...+n}{n^2+n-1}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 5, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Granica $\lim_{n\to \infty}{\frac{(pn^2+4n)^3}{5n^6-4}}=-\frac{8}{5}$ . Wynika stąd, że

A. p=-8
B. p=4
C. p=2
D. p=-2

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 6, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Oblicz granicę $\lim_{n\to \infty}(\frac{11n^3+6n+5}{6n^3+1}-\frac{2n^2+2n+1}{5n^2-4})$ .
W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 2, matura 2020 - poziom rozszerzony

Ciąg (a_n) jest określony wzorem $\frac{3n^2+7n-5}{11-5n+5n^2}$ dla każdej liczby naturalnej n ≥1. Granica tego ciągu jest równa

A. 3.

B. 1/5.

C. 3/5.

D. -5/11.

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.