Zadanie - obliczanie granicy niewłaściwej ciągu z definicji


Wykazać, że \lim_{n\to\infty}\frac{1-n^2}{n}=-\infty

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

Musimy wykazać, że dla dowolnej liczby rzeczywistej M prawie wszystkie wyrazy ciągu są mniejsze od tej liczby.


Zakładamy więc, że M jest dowolną liczbą rzeczywistą i badamy, dla jakiej wartości n0
a_n<M \\ \frac{1-n^2}{n}<M

\frac{1-n^2}{n}<M \\ \frac{1-n^2}{n}-M<0 \\ \frac{1-n^2}{n}-\frac{Mn}{n}<0 \\ \frac{1-n^2-Mn}{n}<0

1-n^2-Mn<0 \\ -n^2-Mn+1<0/\cdot (-1) \\ n^2+Mn-1>0

\Delta=M^2+4 \\ n_1=\frac{-M-\sqrt{M^2+4}}{2}<0 \\ n_2=\frac{-M+\sqrt{M^2+4}}{2}
Wykres pomocniczy
Interesują nas tylko dodatnie wartości n, więc otrzymujemy:
n>\frac{-M+\sqrt{M^2+4}}{2}


Zatem wykazaliśmy, że dla dowolnej liczby rzeczywistej M począwszy od n0-tego (n_0>\frac{-M+\sqrt{M^2+4}}{2}) wyrazu ciągu (an) prawie wszystkie wyrazy ciągu są mniejsze od liczby M.

Zgodnie z definicją granicą tego ciągu jest minus nieskończoność.

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Ciąg jest rozbieżny do minus nieskończoności. Zgodnie z definicją granicy niewłaściwej ciągu musimy wykazać, że dla dowolnej liczby rzeczywistej M prawie wszystkie wyrazy tego ciągu są mniejsze od tej liczby.

Mamy ciąg . Wypiszmy kilka pierwszych wyrazów tego ciągu:

a_1=\frac{1-1}{1}=0 \\ a_2=\frac{1-4}{2}=-1 \\ a_3=\frac{1-9}{3}=-\frac{8}{3}=-2\frac{2}{3} \\ a_4=\frac{1-16}{4}=-\frac{14}{4}=-3\frac{3}{4} \\ ...

Zakładamy więc, że M jest dowolną liczbą rzeczywistą i badamy, dla jakiej wartości n0

a_n<M \\ \frac{1-n^2}{n}<M

Otrzymaliśmy nierówność wymierną.

\frac{1-n^2}{n}<M \\ \frac{1-n^2}{n}-M<0 \\ \frac{1-n^2}{n}-\frac{Mn}{n}<0 \\ \frac{1-n^2-Mn}{n}<0

Ponieważ n jest liczbą naturalną, a więc dodatnią, to cały ułamek jest ujemny, gdy licznik jest ujemny. Możemy więc napisać:
1-n^2-Mn<0 \\ -n^2-Mn+1<0/\cdot (-1) \\ n^2+Mn-1>0

Otrzymaliśmy nierówność kwadratową. Obliczamy więc wyróżnik trójmianu i pierwiastki:

a=1\\ b=M \\ c=-1 \\ \Delta=b^2-4ac=M^2+4 \\ n_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-M-\sqrt{M^2+4}}{2}<0 \\ n_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-M+\sqrt{M^2+4}}{2}

Wykres pomocniczy

Interesują nas tylko dodatnie wartości n (nie ma ujemnych wyrazów ciągu, tylko 1,2,3, itd.), więc otrzymujemy:

n>\frac{-M+\sqrt{M^2+4}}{2}

Skąd wiadomo, że n1 jest ujemne? Wykażemy, że wyrażenie to jest ujemne dla każdej wartości M.

Zauważmy, że \sqrt{M^2+4}>\sqrt{M^2}=M

a także, że

\frac{-M-\sqrt{M^2+4}}{2}<0/\cdot 2 \\ -M-\sqrt{M^2+4}<0

Dla dodatnich wartości M nierówność jest prawdziwa, natomiast dla ujemnych, pierwszy składnik różnicy staje się liczbą dodatnią. Ponieważ pokazaliśmy wyżej, że M jest mniejsze od wyrażenia z pierwiastkiem, zatem, gdy od mniejszej liczby odejmiemy większą, otrzymamy liczbę ujemną.
Zatem n1 jest ujemne dla każdej wartości M.

Zatem wykazaliśmy, że dla dowolnej liczby rzeczywistej M począwszy od n0-tego (n_0>\frac{-M+\sqrt{M^2+4}}{2}) wyrazu ciągu (an) prawie wszystkie wyrazy ciągu są mniejsze od liczby M.

Zgodnie z definicją granicą tego ciągu jest minus nieskończoność.

Aby lepiej zrozumieć to rozwiązanie, przeanalizujmy przykład:
Niech np. M=-2. Zgodnie z naszymi wyliczeniami dla n_0>\frac{-M+\sqrt{M^2+4}}{2}=\frac{2+\sqrt{8}}{2}=\frac{2+2\sqrt{2}}{2}=1+\sqrt{2} prawie wszystkie wyrazy ciągu są mniejsze od M. I rzeczywiście, dopiero dla n0=3,4,5,... prawie wszystkie wyrazy ciągu, czyli wszystkie za wyjątkiem wyrazu 1,2-ego są mniejsze od -2.


© medianauka.pl, 2010-01-02, ZAD-482


Zadania podobne

kulkaZadanie - obliczanie granic ciągów
Obliczyć granicę \lim_{n\to\infty}(\frac{-n^2-4n+1}{n^2+2}-5)

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - obliczanie granicy ciągu
Obliczyć granicę \lim_{n\to\infty}(\frac{n^3+n^2+2n+3}{n+1}-n^2)

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - Obliczanie granicy niewłaściwej z definicji
Wykazać, że \lim_{n\to\infty}\sqrt{n}=+\infty

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - obliczanie granicy niewłaściwej z definicji
Wykazać na podstawie definicji granicy niewłaściwej, że \lim_{n\to\infty}(1+2n)=+\infty

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - obliczanie granic niewłaściwych z definicji
Wykazać, że \lim_{n\to\infty}5^n=\infty

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - Obliczanie granicy ciągu na podstawie definicji
Wykazać na podtawie definicji, że \lim_{n\to\infty}\frac{2n+3}{n}=2

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - obliczanie granicy ciągu
Obliczyć granicę \lim_{n\to\infty}\frac{1+2+3+...+n}{n^2+n-1}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 5, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Granica \lim_{n\to \infty}{\frac{(pn^2+4n)^3}{5n^6-4}}=-\frac{8}{5}. Wynika stąd, że

A. p=-8
B. p=4
C. p=2
D. p=-2


Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 6, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Oblicz granicę \lim_{n\to \infty}(\frac{11n^3+6n+5}{6n^3+1}-\frac{2n^2+2n+1}{5n^2-4}).
W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
   


Pokaż rozwiązanie zadania



Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© Media Nauka 2008-2018 r.