Zadanie - obliczanie granicy niewłaściwej ciągu z definicji


Wykazać, że \lim_{n\to\infty}\frac{1-n^2}{n}=-\infty

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

Musimy wykazać, że dla dowolnej liczby rzeczywistej M prawie wszystkie wyrazy ciągu są mniejsze od tej liczby.


Zakładamy więc, że M jest dowolną liczbą rzeczywistą i badamy, dla jakiej wartości n0
a_n<M \\ \frac{1-n^2}{n}<M

\frac{1-n^2}{n}<M \\ \frac{1-n^2}{n}-M<0 \\ \frac{1-n^2}{n}-\frac{Mn}{n}<0 \\ \frac{1-n^2-Mn}{n}<0

1-n^2-Mn<0 \\ -n^2-Mn+1<0/\cdot (-1) \\ n^2+Mn-1>0

\Delta=M^2+4 \\ n_1=\frac{-M-\sqrt{M^2+4}}{2}<0 \\ n_2=\frac{-M+\sqrt{M^2+4}}{2}
Wykres pomocniczy
Interesują nas tylko dodatnie wartości n, więc otrzymujemy:
n>\frac{-M+\sqrt{M^2+4}}{2}


Zatem wykazaliśmy, że dla dowolnej liczby rzeczywistej M począwszy od n0-tego (n_0>\frac{-M+\sqrt{M^2+4}}{2}) wyrazu ciągu (an) prawie wszystkie wyrazy ciągu są mniejsze od liczby M.

Zgodnie z definicją granicą tego ciągu jest minus nieskończoność.

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Ciąg jest rozbieżny do minus nieskończoności. Zgodnie z definicją granicy niewłaściwej ciągu musimy wykazać, że dla dowolnej liczby rzeczywistej M prawie wszystkie wyrazy tego ciągu są mniejsze od tej liczby.

Mamy ciąg . Wypiszmy kilka pierwszych wyrazów tego ciągu:

a_1=\frac{1-1}{1}=0 \\ a_2=\frac{1-4}{2}=-1 \\ a_3=\frac{1-9}{3}=-\frac{8}{3}=-2\frac{2}{3} \\ a_4=\frac{1-16}{4}=-\frac{14}{4}=-3\frac{3}{4} \\ ...

Zakładamy więc, że M jest dowolną liczbą rzeczywistą i badamy, dla jakiej wartości n0

a_n<M \\ \frac{1-n^2}{n}<M

Otrzymaliśmy nierówność wymierną.

\frac{1-n^2}{n}<M \\ \frac{1-n^2}{n}-M<0 \\ \frac{1-n^2}{n}-\frac{Mn}{n}<0 \\ \frac{1-n^2-Mn}{n}<0

Ponieważ n jest liczbą naturalną, a więc dodatnią, to cały ułamek jest ujemny, gdy licznik jest ujemny. Możemy więc napisać:
1-n^2-Mn<0 \\ -n^2-Mn+1<0/\cdot (-1) \\ n^2+Mn-1>0

Otrzymaliśmy nierówność kwadratową. Obliczamy więc wyróżnik trójmianu i pierwiastki:

a=1\\ b=M \\ c=-1 \\ \Delta=b^2-4ac=M^2+4 \\ n_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-M-\sqrt{M^2+4}}{2}<0 \\ n_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-M+\sqrt{M^2+4}}{2}

Wykres pomocniczy

Interesują nas tylko dodatnie wartości n (nie ma ujemnych wyrazów ciągu, tylko 1,2,3, itd.), więc otrzymujemy:

n>\frac{-M+\sqrt{M^2+4}}{2}

Skąd wiadomo, że n1 jest ujemne? Wykażemy, że wyrażenie to jest ujemne dla każdej wartości M.

Zauważmy, że \sqrt{M^2+4}>\sqrt{M^2}=M

a także, że

\frac{-M-\sqrt{M^2+4}}{2}<0/\cdot 2 \\ -M-\sqrt{M^2+4}<0

Dla dodatnich wartości M nierówność jest prawdziwa, natomiast dla ujemnych, pierwszy składnik różnicy staje się liczbą dodatnią. Ponieważ pokazaliśmy wyżej, że M jest mniejsze od wyrażenia z pierwiastkiem, zatem, gdy od mniejszej liczby odejmiemy większą, otrzymamy liczbę ujemną.
Zatem n1 jest ujemne dla każdej wartości M.

Zatem wykazaliśmy, że dla dowolnej liczby rzeczywistej M począwszy od n0-tego (n_0>\frac{-M+\sqrt{M^2+4}}{2}) wyrazu ciągu (an) prawie wszystkie wyrazy ciągu są mniejsze od liczby M.

Zgodnie z definicją granicą tego ciągu jest minus nieskończoność.

Aby lepiej zrozumieć to rozwiązanie, przeanalizujmy przykład:
Niech np. M=-2. Zgodnie z naszymi wyliczeniami dla n_0>\frac{-M+\sqrt{M^2+4}}{2}=\frac{2+\sqrt{8}}{2}=\frac{2+2\sqrt{2}}{2}=1+\sqrt{2} prawie wszystkie wyrazy ciągu są mniejsze od M. I rzeczywiście, dopiero dla n0=3,4,5,... prawie wszystkie wyrazy ciągu, czyli wszystkie za wyjątkiem wyrazu 1,2-ego są mniejsze od -2.


© medianauka.pl, 2010-01-02, ZAD-482

Zadania podobne

kulkaZadanie - obliczanie granic ciągów
Obliczyć granicę \lim_{n\to\infty}(\frac{-n^2-4n+1}{n^2+2}-5)

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - obliczanie granicy ciągu
Obliczyć granicę \lim_{n\to\infty}(\frac{n^3+n^2+2n+3}{n+1}-n^2)

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - Obliczanie granicy niewłaściwej z definicji
Wykazać, że \lim_{n\to\infty}\sqrt{n}=+\infty

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - obliczanie granicy niewłaściwej z definicji
Wykazać na podstawie definicji granicy niewłaściwej, że \lim_{n\to\infty}(1+2n)=+\infty

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - obliczanie granic niewłaściwych z definicji
Wykazać, że \lim_{n\to\infty}5^n=\infty

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - Obliczanie granicy ciągu na podstawie definicji
Wykazać na podtawie definicji, że \lim_{n\to\infty}\frac{2n+3}{n}=2

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - obliczanie granicy ciągu
Obliczyć granicę \lim_{n\to\infty}\frac{1+2+3+...+n}{n^2+n-1}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 5, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Granica \lim_{n\to \infty}{\frac{(pn^2+4n)^3}{5n^6-4}}=-\frac{8}{5}. Wynika stąd, że

A. p=-8
B. p=4
C. p=2
D. p=-2


Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 6, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Oblicz granicę \lim_{n\to \infty}(\frac{11n^3+6n+5}{6n^3+1}-\frac{2n^2+2n+1}{5n^2-4}).
W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
   


Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 2, matura 2020 - poziom rozszerzony

Ciąg (an) jest określony wzorem \frac{3n^2+7n-5}{11-5n+5n^2} dla każdej liczby naturalnej n ≥1. Granica tego ciągu jest równa

A. 3.

B. 1/5.

C. 3/5.

D. -5/11.



Pokaż rozwiązanie zadania




Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
©® Media Nauka 2008-2023 r.