Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie - obliczanie granicy ciągu


Obliczyć granicę \lim_{n\to\infty}\frac{1+2+3+...+n}{n^2+n-1}


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

Obliczamy sumę ciągu arytmetycznego, który występuje w liczniku ułamka:
a_1=1 \\ a_n=n \\ S_n=\frac{1+n}{2}\cdot n=\frac{n+n^2}{2}
\lim_{n\to\infty}\frac{1+2+3+...+n}{n^2+n-1}=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n+n^2}{2}}{n^2+n-1}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^2+n}{2n^2+2n-2}
\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n^2}{n^2}+\frac{n}{n^2}}{\frac{2n^2}{n^2}+\frac{2n}{n^2}-\frac{2}{n^2}}=\lim_{n\to\infty}\frac{1+\frac{1}{n}}{2+\frac{2}{n}-\frac{2}{n^2}}=\frac{1+0}{2+0-0}=\frac{1}{2}

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

W liczniku mamy ciąg arytmetyczny. Aby się o tym przekonać znajdziemy różnicę dwóch kolejnych wyrazów ciągu. Ciąg 1+2+3+...+n można wyrazić za pomocą wzoru: an=n. Kolejny wyraz ciągu, to an+1=n+1. Obliczamy różnicę tych wyrazów:

a_{n+1}-a_n=n+1-n=1=const

Ponieważ różnica dwóch kolejnych wyrazów ciągu jest stała, oznacza to, że mamy do czynienia z ciągiem arytmetycznym. Możemy zatem obliczyć sumę n wyrazów, korzystając ze wzoru na sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego:

S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n

Obliczamy sumę naszego ciągu:

a_1=1 \\ a_n=n \\ S_n=\frac{1+n}{2}\cdot n=\frac{n+n^2}{2}

Możemy teraz przejść do obliczania granicy ciągu:

\lim_{n\to\infty}\frac{1+2+3+...+n}{n^2+n-1}=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n+n^2}{2}}{n^2+n-1}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^2+n}{2n^2+2n-2}

Dzielimy teraz licznik i mianownik przez n2, występującą w mianowniku

\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n^2}{n^2}+\frac{n}{n^2}}{\frac{2n^2}{n^2}+\frac{2n}{n^2}-\frac{2}{n^2}}=\lim_{n\to\infty}\frac{1+\frac{1}{n}}{2+\frac{2}{n}-\frac{2}{n^2}}=\frac{1+0}{2+0-0}=\frac{1}{2}

Skorzystaliśmy tutaj z równości:

\lim_{n\to\infty}a=a - granica ciągu stałego
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}=0

ksiązki Odpowiedź

\lim_{n\to\infty}\frac{1+2+3+...+n}{n^2+n-1}=\frac{1}{2}

© medianauka.pl, 2010-01-03, ZAD-485


Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.