Logo Media Nauka

Zadanie - obliczanie granicy ciągu

Obliczyć granicę \lim_{n\to\infty}\frac{1+2+3+...+n}{n^2+n-1}

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

Obliczamy sumę ciągu arytmetycznego, który występuje w liczniku ułamka:
a_1=1 \\ a_n=n \\ S_n=\frac{1+n}{2}\cdot n=\frac{n+n^2}{2}
\lim_{n\to\infty}\frac{1+2+3+...+n}{n^2+n-1}=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n+n^2}{2}}{n^2+n-1}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^2+n}{2n^2+2n-2}
\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n^2}{n^2}+\frac{n}{n^2}}{\frac{2n^2}{n^2}+\frac{2n}{n^2}-\frac{2}{n^2}}=\lim_{n\to\infty}\frac{1+\frac{1}{n}}{2+\frac{2}{n}-\frac{2}{n^2}}=\frac{1+0}{2+0-0}=\frac{1}{2}

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

W liczniku mamy ciąg arytmetyczny. Aby się o tym przekonać znajdziemy różnicę dwóch kolejnych wyrazów ciągu. Ciąg 1+2+3+...+n można wyrazić za pomocą wzoru: an=n. Kolejny wyraz ciągu, to an+1=n+1. Obliczamy różnicę tych wyrazów:

a_{n+1}-a_n=n+1-n=1=const

Ponieważ różnica dwóch kolejnych wyrazów ciągu jest stała, oznacza to, że mamy do czynienia z ciągiem arytmetycznym. Możemy zatem obliczyć sumę n wyrazów, korzystając ze wzoru na sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego:

S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n

Obliczamy sumę naszego ciągu:

a_1=1 \\ a_n=n \\ S_n=\frac{1+n}{2}\cdot n=\frac{n+n^2}{2}

Możemy teraz przejść do obliczania granicy ciągu:

\lim_{n\to\infty}\frac{1+2+3+...+n}{n^2+n-1}=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n+n^2}{2}}{n^2+n-1}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^2+n}{2n^2+2n-2}

Dzielimy teraz licznik i mianownik przez n2, występującą w mianowniku

\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n^2}{n^2}+\frac{n}{n^2}}{\frac{2n^2}{n^2}+\frac{2n}{n^2}-\frac{2}{n^2}}=\lim_{n\to\infty}\frac{1+\frac{1}{n}}{2+\frac{2}{n}-\frac{2}{n^2}}=\frac{1+0}{2+0-0}=\frac{1}{2}

Skorzystaliśmy tutaj z równości:

\lim_{n\to\infty}a=a - granica ciągu stałego
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}=0

ksiązki Odpowiedź

\lim_{n\to\infty}\frac{1+2+3+...+n}{n^2+n-1}=\frac{1}{2}

© medianauka.pl, 2010-01-03, ZAD-485



Zadania podobne

kulkaZadanie - obliczanie granic ciągów
Obliczyć granicę \lim_{n\to\infty}(\frac{-n^2-4n+1}{n^2+2}-5)

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - obliczanie granicy ciągu
Obliczyć granicę \lim_{n\to\infty}(\frac{n^3+n^2+2n+3}{n+1}-n^2)

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - Obliczanie granicy niewłaściwej z definicji
Wykazać, że \lim_{n\to\infty}\sqrt{n}=+\infty

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - obliczanie granicy niewłaściwej z definicji
Wykazać na podstawie definicji granicy niewłaściwej, że \lim_{n\to\infty}(1+2n)=+\infty

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - obliczanie granicy niewłaściwej ciągu z definicji
Wykazać, że \lim_{n\to\infty}\frac{1-n^2}{n}=-\infty

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - obliczanie granic niewłaściwych z definicji
Wykazać, że \lim_{n\to\infty}5^n=\infty

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - Obliczanie granicy ciągu na podstawie definicji
Wykazać na podtawie definicji, że \lim_{n\to\infty}\frac{2n+3}{n}=2

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 5, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Granica \lim_{n\to \infty}{\frac{(pn^2+4n)^3}{5n^6-4}}=-\frac{8}{5}. Wynika stąd, że

A. p=-8
B. p=4
C. p=2
D. p=-2


Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 6, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Oblicz granicę \lim_{n\to \infty}(\frac{11n^3+6n+5}{6n^3+1}-\frac{2n^2+2n+1}{5n^2-4}).
W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
   


Pokaż rozwiązanie zadania



© Media Nauka 2008-2018 r.