Nauka » Matematyka » Obliczanie granic ciągów

Zadanie - obliczanie granicy ciągu

Obliczyć granicę $\lim_{n\to\infty}\frac{1+2+3+...+n}{n^2+n-1}$

Rozwiązanie zadania uproszczone

Obliczamy sumę ciągu arytmetycznego, który występuje w liczniku ułamka:
$a_1=1 \\ a_n=n \\ S_n=\frac{1+n}{2}\cdot n=\frac{n+n^2}{2}$
$\lim_{n\to\infty}\frac{1+2+3+...+n}{n^2+n-1}=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n+n^2}{2}}{n^2+n-1}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^2+n}{2n^2+2n-2}$
$\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n^2}{n^2}+\frac{n}{n^2}}{\frac{2n^2}{n^2}+\frac{2n}{n^2}-\frac{2}{n^2}}=\lim_{n\to\infty}\frac{1+\frac{1}{n}}{2+\frac{2}{n}-\frac{2}{n^2}}=\frac{1+0}{2+0-0}=\frac{1}{2}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

W liczniku mamy ciąg arytmetyczny. Aby się o tym przekonać znajdziemy różnicę dwóch kolejnych wyrazów ciągu. Ciąg 1+2+3+...+n można wyrazić za pomocą wzoru: a_n=n. Kolejny wyraz ciągu, to a_n+1=n+1. Obliczamy różnicę tych wyrazów:

$a_{n+1}-a_n=n+1-n=1=const$

Ponieważ różnica dwóch kolejnych wyrazów ciągu jest stała, oznacza to, że mamy do czynienia z ciągiem arytmetycznym. Możemy zatem obliczyć sumę n wyrazów, korzystając ze wzoru na sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego:

$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$

Obliczamy sumę naszego ciągu:

$a_1=1 \\ a_n=n \\ S_n=\frac{1+n}{2}\cdot n=\frac{n+n^2}{2}$

Możemy teraz przejść do obliczania granicy ciągu:

$\lim_{n\to\infty}\frac{1+2+3+...+n}{n^2+n-1}=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n+n^2}{2}}{n^2+n-1}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^2+n}{2n^2+2n-2}$

Dzielimy teraz licznik i mianownik przez n², występującą w mianowniku

$\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n^2}{n^2}+\frac{n}{n^2}}{\frac{2n^2}{n^2}+\frac{2n}{n^2}-\frac{2}{n^2}}=\lim_{n\to\infty}\frac{1+\frac{1}{n}}{2+\frac{2}{n}-\frac{2}{n^2}}=\frac{1+0}{2+0-0}=\frac{1}{2}$

Skorzystaliśmy tutaj z równości:

$\lim_{n\to\infty}a=a$ - granica ciągu stałego
$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$
$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}=0$

Odpowiedź

$\lim_{n\to\infty}\frac{1+2+3+...+n}{n^2+n-1}=\frac{1}{2}$

Zadania podobne

Zadanie - obliczanie granic ciągów
Obliczyć granicę $\lim_{n\to\infty}(\frac{-n^2-4n+1}{n^2+2}-5)$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - obliczanie granicy ciągu
Obliczyć granicę $\lim_{n\to\infty}(\frac{n^3+n^2+2n+3}{n+1}-n^2)$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - Obliczanie granicy niewłaściwej z definicji
Wykazać, że $\lim_{n\to\infty}\sqrt{n}=+\infty$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - obliczanie granicy niewłaściwej z definicji
Wykazać na podstawie definicji granicy niewłaściwej, że $\lim_{n\to\infty}(1+2n)=+\infty$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - obliczanie granicy niewłaściwej ciągu z definicji
Wykazać, że $\lim_{n\to\infty}\frac{1-n^2}{n}=-\infty$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - obliczanie granic niewłaściwych z definicji
Wykazać, że $\lim_{n\to\infty}5^n=\infty$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - Obliczanie granicy ciągu na podstawie definicji
Wykazać na podtawie definicji, że $\lim_{n\to\infty}\frac{2n+3}{n}=2$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 5, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Granica $\lim_{n\to \infty}{\frac{(pn^2+4n)^3}{5n^6-4}}=-\frac{8}{5}$ . Wynika stąd, że

A. p=-8
B. p=4
C. p=2
D. p=-2

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 6, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Oblicz granicę $\lim_{n\to \infty}(\frac{11n^3+6n+5}{6n^3+1}-\frac{2n^2+2n+1}{5n^2-4})$ .
W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 2, matura 2020 - poziom rozszerzony

Ciąg (a_n) jest określony wzorem $\frac{3n^2+7n-5}{11-5n+5n^2}$ dla każdej liczby naturalnej n ≥1. Granica tego ciągu jest równa

A. 3.

B. 1/5.

C. 3/5.

D. -5/11.

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.