Logo Media Nauka

Zadanie - obliczanie granicy ciągu


Obliczyć granicę \lim_{n\to\infty}\frac{1+2+3+...+n}{n^2+n-1}

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

Obliczamy sumę ciągu arytmetycznego, który występuje w liczniku ułamka:
a_1=1 \\ a_n=n \\ S_n=\frac{1+n}{2}\cdot n=\frac{n+n^2}{2}
\lim_{n\to\infty}\frac{1+2+3+...+n}{n^2+n-1}=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n+n^2}{2}}{n^2+n-1}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^2+n}{2n^2+2n-2}
\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n^2}{n^2}+\frac{n}{n^2}}{\frac{2n^2}{n^2}+\frac{2n}{n^2}-\frac{2}{n^2}}=\lim_{n\to\infty}\frac{1+\frac{1}{n}}{2+\frac{2}{n}-\frac{2}{n^2}}=\frac{1+0}{2+0-0}=\frac{1}{2}

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

W liczniku mamy ciąg arytmetyczny. Aby się o tym przekonać znajdziemy różnicę dwóch kolejnych wyrazów ciągu. Ciąg 1+2+3+...+n można wyrazić za pomocą wzoru: an=n. Kolejny wyraz ciągu, to an+1=n+1. Obliczamy różnicę tych wyrazów:

a_{n+1}-a_n=n+1-n=1=const

Ponieważ różnica dwóch kolejnych wyrazów ciągu jest stała, oznacza to, że mamy do czynienia z ciągiem arytmetycznym. Możemy zatem obliczyć sumę n wyrazów, korzystając ze wzoru na sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego:

S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n

Obliczamy sumę naszego ciągu:

a_1=1 \\ a_n=n \\ S_n=\frac{1+n}{2}\cdot n=\frac{n+n^2}{2}

Możemy teraz przejść do obliczania granicy ciągu:

\lim_{n\to\infty}\frac{1+2+3+...+n}{n^2+n-1}=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n+n^2}{2}}{n^2+n-1}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^2+n}{2n^2+2n-2}

Dzielimy teraz licznik i mianownik przez n2, występującą w mianowniku

\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n^2}{n^2}+\frac{n}{n^2}}{\frac{2n^2}{n^2}+\frac{2n}{n^2}-\frac{2}{n^2}}=\lim_{n\to\infty}\frac{1+\frac{1}{n}}{2+\frac{2}{n}-\frac{2}{n^2}}=\frac{1+0}{2+0-0}=\frac{1}{2}

Skorzystaliśmy tutaj z równości:

\lim_{n\to\infty}a=a - granica ciągu stałego
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}=0

ksiązki Odpowiedź

\lim_{n\to\infty}\frac{1+2+3+...+n}{n^2+n-1}=\frac{1}{2}

© medianauka.pl, 2010-01-03, ZAD-485

Zadania podobne

kulkaZadanie - obliczanie granic ciągów
Obliczyć granicę \lim_{n\to\infty}(\frac{-n^2-4n+1}{n^2+2}-5)

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - obliczanie granicy ciągu
Obliczyć granicę \lim_{n\to\infty}(\frac{n^3+n^2+2n+3}{n+1}-n^2)

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - Obliczanie granicy niewłaściwej z definicji
Wykazać, że \lim_{n\to\infty}\sqrt{n}=+\infty

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - obliczanie granicy niewłaściwej z definicji
Wykazać na podstawie definicji granicy niewłaściwej, że \lim_{n\to\infty}(1+2n)=+\infty

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - obliczanie granicy niewłaściwej ciągu z definicji
Wykazać, że \lim_{n\to\infty}\frac{1-n^2}{n}=-\infty

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - obliczanie granic niewłaściwych z definicji
Wykazać, że \lim_{n\to\infty}5^n=\infty

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - Obliczanie granicy ciągu na podstawie definicji
Wykazać na podtawie definicji, że \lim_{n\to\infty}\frac{2n+3}{n}=2

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 5, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Granica \lim_{n\to \infty}{\frac{(pn^2+4n)^3}{5n^6-4}}=-\frac{8}{5}. Wynika stąd, że

A. p=-8
B. p=4
C. p=2
D. p=-2


Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 6, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Oblicz granicę \lim_{n\to \infty}(\frac{11n^3+6n+5}{6n^3+1}-\frac{2n^2+2n+1}{5n^2-4}).
W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
   


Pokaż rozwiązanie zadania



Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© Media Nauka 2008-2019 r.