Strona główna » Matematyka » Obliczanie granicy ciągu na podstawie definicji

Zadanie - Obliczanie granicy niewłaściwej z definicji

Wykazać, że $\lim_{n\to\infty}\sqrt{n}=+\infty$

Rozwiązanie zadania uproszczone

Musimy wykazać, że dla dowolnej liczby rzeczywistej M prawie wszystkie wyrazy tego ciągu są większe od tej liczby.
Zakładamy więc, że M jest dowolną liczbą rzeczywistą i badamy, dla jakiej wartości n₀
$a_n>M \\ \sqrt{n}>M$

Liczba n jest dodatnia, załóżmy natomiast, że M jest też dodatnie. Możemy wówczas napisać:

Zatem dla dowolnej liczby rzeczywistej M począwszy od n₀-tego (n₀>M²) wyrazu ciągu (a_n) prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od liczby M.
Jeżeli M jest liczbą ujemną, to ponieważ pierwiastek jest zawsze dodatni, wszystkie wyrazy ciągu są większe od liczby M.

Zgodnie z definicją granicą tego ciągu jest nieskończoność.

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Ciąg jest rozbieżny do nieskończoności. Zgodnie z definicją granicy niewłaściwej ciągu musimy wykazać, że dla dowolnej liczby rzeczywistej M prawie wszystkie wyrazy tego ciągu są większe od tej liczby.

Mamy ciąg $a_n=\sqrt{n}$ . Wypiszmy kilka pierwszych wyrazów tego ciągu:

$a_1=1 \\ a_2=\sqrt{2} \\ a_3=\sqrt{3} \\ a_4=2 \\ a_5=\sqrt{5} \\ ...$

Zakładamy więc, że M jest dowolną liczbą rzeczywistą i badamy, dla jakiej wartości n₀

$a_n>M \\ \sqrt{n}>M$

Liczba n jest dodatnia, załóżmy natomiast, że M jest też dodatnie. Możemy wówczas podnieść obie strony nierówności do kwadratu, otrzymamy:

Zatem dla dowolnej liczby rzeczywistej M począwszy od n₀-tego (n₀>M²) wyrazu ciągu (a_n) prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od liczby M.
Zauważamy, że jeżeli M jest liczbą ujemną, to ponieważ pierwiastek jest zawsze dodatni, wszystkie wyrazy ciągu są większe od liczby M.

Zgodnie z definicją granicą tego ciągu jest nieskończoność.

Aby lepiej zrozumieć to rozwiązanie, to zastosujemy kilka przykładów:
Niech np. M=-5. Spójrz teraz na wyrazy ciągu, jakie wypisaliśmy na początku. Widać, że wszystkie wyrazy ciągu są większe od -5.
Niech np. M=2. Zgodnie z naszymi wyliczeniami dla n₀>M²=4 prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od M. I rzeczywiście dopiero dla n₀=5 prawie wszystkie wyrazy ciągu, czyli wszystkie za wyjątkiem wyrazu 1,2,3,4-ego są większe od 2.