Nauka » Matematyka » Obliczanie granic ciągów

Zadanie - Obliczanie granicy niewłaściwej z definicji

Wykazać, że $\lim_{n\to\infty}\sqrt{n}=+\infty$

Rozwiązanie zadania uproszczone

Musimy wykazać, że dla dowolnej liczby rzeczywistej M prawie wszystkie wyrazy tego ciągu są większe od tej liczby.
Zakładamy więc, że M jest dowolną liczbą rzeczywistą i badamy, dla jakiej wartości n₀
$a_n>M \\ \sqrt{n}>M$

Liczba n jest dodatnia, załóżmy natomiast, że M jest też dodatnie. Możemy wówczas napisać:

Zatem dla dowolnej liczby rzeczywistej M począwszy od n₀-tego (n₀>M²) wyrazu ciągu (a_n) prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od liczby M.
Jeżeli M jest liczbą ujemną, to ponieważ pierwiastek jest zawsze dodatni, wszystkie wyrazy ciągu są większe od liczby M.

Zgodnie z definicją granicą tego ciągu jest nieskończoność.

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Ciąg jest rozbieżny do nieskończoności. Zgodnie z definicją granicy niewłaściwej ciągu musimy wykazać, że dla dowolnej liczby rzeczywistej M prawie wszystkie wyrazy tego ciągu są większe od tej liczby.

Mamy ciąg $a_n=\sqrt{n}$ . Wypiszmy kilka pierwszych wyrazów tego ciągu:

$a_1=1 \\ a_2=\sqrt{2} \\ a_3=\sqrt{3} \\ a_4=2 \\ a_5=\sqrt{5} \\ ...$

Zakładamy więc, że M jest dowolną liczbą rzeczywistą i badamy, dla jakiej wartości n₀

$a_n>M \\ \sqrt{n}>M$

Liczba n jest dodatnia, załóżmy natomiast, że M jest też dodatnie. Możemy wówczas podnieść obie strony nierówności do kwadratu, otrzymamy:

Zatem dla dowolnej liczby rzeczywistej M począwszy od n₀-tego (n₀>M²) wyrazu ciągu (a_n) prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od liczby M.
Zauważamy, że jeżeli M jest liczbą ujemną, to ponieważ pierwiastek jest zawsze dodatni, wszystkie wyrazy ciągu są większe od liczby M.

Zgodnie z definicją granicą tego ciągu jest nieskończoność.

Aby lepiej zrozumieć to rozwiązanie, to zastosujemy kilka przykładów:
Niech np. M=-5. Spójrz teraz na wyrazy ciągu, jakie wypisaliśmy na początku. Widać, że wszystkie wyrazy ciągu są większe od -5.
Niech np. M=2. Zgodnie z naszymi wyliczeniami dla n₀>M²=4 prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od M. I rzeczywiście dopiero dla n₀=5 prawie wszystkie wyrazy ciągu, czyli wszystkie za wyjątkiem wyrazu 1,2,3,4-ego są większe od 2.

Zadania podobne

Zadanie - obliczanie granic ciągów
Obliczyć granicę $\lim_{n\to\infty}(\frac{-n^2-4n+1}{n^2+2}-5)$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - obliczanie granicy ciągu
Obliczyć granicę $\lim_{n\to\infty}(\frac{n^3+n^2+2n+3}{n+1}-n^2)$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - obliczanie granicy niewłaściwej z definicji
Wykazać na podstawie definicji granicy niewłaściwej, że $\lim_{n\to\infty}(1+2n)=+\infty$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - obliczanie granicy niewłaściwej ciągu z definicji
Wykazać, że $\lim_{n\to\infty}\frac{1-n^2}{n}=-\infty$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - obliczanie granic niewłaściwych z definicji
Wykazać, że $\lim_{n\to\infty}5^n=\infty$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - Obliczanie granicy ciągu na podstawie definicji
Wykazać na podtawie definicji, że $\lim_{n\to\infty}\frac{2n+3}{n}=2$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - obliczanie granicy ciągu
Obliczyć granicę $\lim_{n\to\infty}\frac{1+2+3+...+n}{n^2+n-1}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 5, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Granica $\lim_{n\to \infty}{\frac{(pn^2+4n)^3}{5n^6-4}}=-\frac{8}{5}$ . Wynika stąd, że

A. p=-8
B. p=4
C. p=2
D. p=-2

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 6, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Oblicz granicę $\lim_{n\to \infty}(\frac{11n^3+6n+5}{6n^3+1}-\frac{2n^2+2n+1}{5n^2-4})$ .
W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Pokaż rozwiązanie zadania