Zadanie - Obliczanie granicy niewłaściwej z definicji

Rozwiązanie zadania uproszczone
Musimy wykazać, że dla dowolnej liczby rzeczywistej M prawie wszystkie wyrazy tego ciągu są większe od tej liczby.Zakładamy więc, że M jest dowolną liczbą rzeczywistą i badamy, dla jakiej wartości n0

Liczba n jest dodatnia, załóżmy natomiast, że M jest też dodatnie. Możemy wówczas napisać:

Zatem dla dowolnej liczby rzeczywistej M począwszy od n0-tego (n0>M2) wyrazu ciągu (an) prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od liczby M.
Jeżeli M jest liczbą ujemną, to ponieważ pierwiastek jest zawsze dodatni, wszystkie wyrazy ciągu są większe od liczby M.
Zgodnie z definicją granicą tego ciągu jest nieskończoność.
Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami
Ciąg jest rozbieżny do nieskończoności. Zgodnie z definicją granicy niewłaściwej ciągu musimy wykazać, że dla dowolnej liczby rzeczywistej M prawie wszystkie wyrazy tego ciągu są większe od tej liczby.
Mamy ciąg . Wypiszmy kilka pierwszych wyrazów tego ciągu:
Zakładamy więc, że M jest dowolną liczbą rzeczywistą i badamy, dla jakiej wartości n0
Liczba n jest dodatnia, załóżmy natomiast, że M jest też dodatnie. Możemy wówczas podnieść obie strony nierówności do kwadratu, otrzymamy:
Zatem dla dowolnej liczby rzeczywistej M począwszy od n0-tego (n0>M2) wyrazu ciągu (an) prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od liczby M.
Zauważamy, że jeżeli M jest liczbą ujemną, to ponieważ pierwiastek jest zawsze dodatni, wszystkie wyrazy ciągu są większe od liczby M.
Zgodnie z definicją granicą tego ciągu jest nieskończoność.
Aby lepiej zrozumieć to rozwiązanie, to zastosujemy kilka przykładów:
Niech np. M=-5. Spójrz teraz na wyrazy ciągu, jakie wypisaliśmy na początku. Widać, że wszystkie wyrazy ciągu są większe od -5.
Niech np. M=2. Zgodnie z naszymi wyliczeniami dla n0>M2=4 prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od M. I rzeczywiście dopiero dla n0=5 prawie wszystkie wyrazy ciągu, czyli wszystkie za wyjątkiem wyrazu 1,2,3,4-ego są większe od 2.
© medianauka.pl, 2010-01-02, ZAD-480
Zadania podobne

Obliczyć granicę

Pokaż rozwiązanie zadania

Obliczyć granicę

Pokaż rozwiązanie zadania

Wykazać na podstawie definicji granicy niewłaściwej, że

Pokaż rozwiązanie zadania

Wykazać, że

Pokaż rozwiązanie zadania

Wykazać, że

Pokaż rozwiązanie zadania

Wykazać na podtawie definicji, że

Pokaż rozwiązanie zadania

Obliczyć granicę

Pokaż rozwiązanie zadania

Granica

A. p=-8
B. p=4
C. p=2
D. p=-2
Pokaż rozwiązanie zadania

Oblicz granicę

W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
Pokaż rozwiązanie zadania