Nauka » Matematyka » Obliczanie granic ciągów

Zadanie - Obliczanie granicy niewłaściwej z definicji

Wykazać, że $\lim_{n\to\infty}\sqrt{n}=+\infty$

Rozwiązanie zadania uproszczone

Musimy wykazać, że dla dowolnej liczby rzeczywistej M prawie wszystkie wyrazy tego ciągu są większe od tej liczby.
Zakładamy więc, że M jest dowolną liczbą rzeczywistą i badamy, dla jakiej wartości n₀
$a_n>M \\ \sqrt{n}>M$

Liczba n jest dodatnia, załóżmy natomiast, że M jest też dodatnie. Możemy wówczas napisać:

Zatem dla dowolnej liczby rzeczywistej M począwszy od n₀-tego (n₀>M²) wyrazu ciągu (a_n) prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od liczby M.
Jeżeli M jest liczbą ujemną, to ponieważ pierwiastek jest zawsze dodatni, wszystkie wyrazy ciągu są większe od liczby M.

Zgodnie z definicją granicą tego ciągu jest nieskończoność.

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Ciąg jest rozbieżny do nieskończoności. Zgodnie z definicją granicy niewłaściwej ciągu musimy wykazać, że dla dowolnej liczby rzeczywistej M prawie wszystkie wyrazy tego ciągu są większe od tej liczby.

Mamy ciąg $a_n=\sqrt{n}$ . Wypiszmy kilka pierwszych wyrazów tego ciągu:

$a_1=1 \\ a_2=\sqrt{2} \\ a_3=\sqrt{3} \\ a_4=2 \\ a_5=\sqrt{5} \\ ...$

Zakładamy więc, że M jest dowolną liczbą rzeczywistą i badamy, dla jakiej wartości n₀

$a_n>M \\ \sqrt{n}>M$

Liczba n jest dodatnia, załóżmy natomiast, że M jest też dodatnie. Możemy wówczas podnieść obie strony nierówności do kwadratu, otrzymamy:

Zatem dla dowolnej liczby rzeczywistej M począwszy od n₀-tego (n₀>M²) wyrazu ciągu (a_n) prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od liczby M.
Zauważamy, że jeżeli M jest liczbą ujemną, to ponieważ pierwiastek jest zawsze dodatni, wszystkie wyrazy ciągu są większe od liczby M.

Zgodnie z definicją granicą tego ciągu jest nieskończoność.

Aby lepiej zrozumieć to rozwiązanie, to zastosujemy kilka przykładów:
Niech np. M=-5. Spójrz teraz na wyrazy ciągu, jakie wypisaliśmy na początku. Widać, że wszystkie wyrazy ciągu są większe od -5.
Niech np. M=2. Zgodnie z naszymi wyliczeniami dla n₀>M²=4 prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od M. I rzeczywiście dopiero dla n₀=5 prawie wszystkie wyrazy ciągu, czyli wszystkie za wyjątkiem wyrazu 1,2,3,4-ego są większe od 2.

Zadania podobne

Zadanie - obliczanie granic ciągów
Obliczyć granicę $\lim_{n\to\infty}(\frac{-n^2-4n+1}{n^2+2}-5)$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - obliczanie granicy ciągu
Obliczyć granicę $\lim_{n\to\infty}(\frac{n^3+n^2+2n+3}{n+1}-n^2)$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - obliczanie granicy niewłaściwej z definicji
Wykazać na podstawie definicji granicy niewłaściwej, że $\lim_{n\to\infty}(1+2n)=+\infty$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - obliczanie granicy niewłaściwej ciągu z definicji
Wykazać, że $\lim_{n\to\infty}\frac{1-n^2}{n}=-\infty$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - obliczanie granic niewłaściwych z definicji
Wykazać, że $\lim_{n\to\infty}5^n=\infty$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - Obliczanie granicy ciągu na podstawie definicji
Wykazać na podtawie definicji, że $\lim_{n\to\infty}\frac{2n+3}{n}=2$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - obliczanie granicy ciągu
Obliczyć granicę $\lim_{n\to\infty}\frac{1+2+3+...+n}{n^2+n-1}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 5, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Granica $\lim_{n\to \infty}{\frac{(pn^2+4n)^3}{5n^6-4}}=-\frac{8}{5}$ . Wynika stąd, że

A. p=-8
B. p=4
C. p=2
D. p=-2

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 6, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Oblicz granicę $\lim_{n\to \infty}(\frac{11n^3+6n+5}{6n^3+1}-\frac{2n^2+2n+1}{5n^2-4})$ .
W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.