Zadanie maturalne nr 5, matura 2016 (poziom rozszerzony)

Rozwiązanie zadania

Przy obliczaniu granic w nieskończoności z funkcji wymiernej stosujemy następującą metodę rachunkową: wyłączamy przed nawias, w liczniku i mianowniku, zmienną w najwyższej potędze, w której występuje w mianowniku (u nas \(n^6\)).

W liczniku mamy sześcian sumy. Interesuje nas jednak tylko pierwszy czynnik, z najwyższą potęgą (kolejne potęgi \(n\) są niższe), resztę oznaczymy jako wyrażenie \(A\).

\(\displaystyle\lim_{n\to \infty}{\frac{(pn^2+4n)^3}{5n^6-4}}=\lim_{n\to \infty}{\frac{p^3n^6+A}{5n^6-4}}=\)

\(=\displaystyle\lim_{n\to \infty}{\frac{n^6(p^3+\frac{A}{n^6})}{n^6(5-\frac{4}{n^6})}}=\lim_{n\to \infty}{\frac{p^3+\frac{A}{n^6}}{5-\frac{4}{n^6}}}=\frac{p^3+0}{5-0}=\frac{p^3}{5}\)

Mamy więc:

\(\frac{p^3}{5}=-\frac{8}{5}\)

\(p^3=-8\)

\(p=-2\)

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2016-11-01, ZAD-3275

Zadania podobne

Obliczyć granicę \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}(\frac{-n^2-4n+1}{n^2+2}-5)\).

Obliczyć granicę \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}(\frac{n^3+n^2+2n+3}{n+1}-n^2)\).

Wykazać, że \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt{n}=+\infty\).

Wykazać na podstawie definicji granicy niewłaściwej, że \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}(1+2n)=+\infty\).

Wykazać, że \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1-n^2}{n}=-\infty\).

Wykazać, że \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}5^n=\infty\).

Wykazać na podstawie definicji, że \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{2n+3}{n}=2\).

Obliczyć granicę \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1+2+3+...+n}{n^2+n-1}\).

Oblicz granicę \(\displaystyle\lim_{n\to \infty}(\frac{11n^3+6n+5}{6n^3+1}-\frac{2n^2+2n+1}{5n^2-4})\). W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(\frac{3n^2+7n-5}{11-5n+5n^2}\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\). Granica tego ciągu jest równa

A. \(3\).

B. \(\frac{1}{5}\).

C. \(\frac{3}{5}\).

D. \(-\frac{5}{11}\).

Oblicz granicę

.

W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po
przecinku skończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Ciąg \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\) wzorem \(a_n=\frac{(7p-1)n^3+5pn-3}{(p+1)n^3+n^2+p}\), gdzie \(p\) jest liczbą rzeczywistą dodatnią. Oblicz wartość \(p\), dla której granica ciągu \(a_n\) jest równa \(\frac{4}{3}\). W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.