Zadanie maturalne nr 5, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Treść zadania:
Granica \(\displaystyle\lim_{n\to \infty}{\frac{(pn^2+4n)^3}{5n^6-4}}=-\frac{8}{5}\). Wynika stąd, że
A. \(p=-8\)
B. \(p=4\)
C. \(p=2\)
D. \(p=-2\)
Rozwiązanie zadania
Przy obliczaniu granic w nieskończoności z funkcji wymiernej stosujemy następującą metodę rachunkową: wyłączamy przed nawias, w liczniku i mianowniku, zmienną w najwyższej potędze, w której występuje w mianowniku (u nas \(n^6\)).
W liczniku mamy sześcian sumy. Interesuje nas jednak tylko pierwszy czynnik, z najwyższą potęgą (kolejne potęgi \(n\) są niższe), resztę oznaczymy jako wyrażenie \(A\).
\(\displaystyle\lim_{n\to \infty}{\frac{(pn^2+4n)^3}{5n^6-4}}=\lim_{n\to \infty}{\frac{p^3n^6+A}{5n^6-4}}=\)
\(=\displaystyle\lim_{n\to \infty}{\frac{n^6(p^3+\frac{A}{n^6})}{n^6(5-\frac{4}{n^6})}}=\lim_{n\to \infty}{\frac{p^3+\frac{A}{n^6}}{5-\frac{4}{n^6}}}=\frac{p^3+0}{5-0}=\frac{p^3}{5}\)
Mamy więc:
\(\frac{p^3}{5}=-\frac{8}{5}\)
\(p^3=-8\)
\(p=-2\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2016-11-01, ZAD-3275
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Obliczyć granicę \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}(\frac{-n^2-4n+1}{n^2+2}-5)\).
Zadanie nr 2.
Obliczyć granicę \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}(\frac{n^3+n^2+2n+3}{n+1}-n^2)\).
Zadanie nr 3.
Wykazać, że \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt{n}=+\infty\).
Zadanie nr 4.
Wykazać na podstawie definicji granicy niewłaściwej, że \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}(1+2n)=+\infty\).
Zadanie nr 5.
Wykazać, że \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1-n^2}{n}=-\infty\).
Zadanie nr 7.
Wykazać na podstawie definicji, że \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{2n+3}{n}=2\).
Zadanie nr 8.
Obliczyć granicę \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1+2+3+...+n}{n^2+n-1}\).
Zadanie nr 9 — maturalne.
Oblicz granicę \(\displaystyle\lim_{n\to \infty}(\frac{11n^3+6n+5}{6n^3+1}-\frac{2n^2+2n+1}{5n^2-4})\). W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
Zadanie nr 10 — maturalne.
Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(\frac{3n^2+7n-5}{11-5n+5n^2}\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\). Granica tego ciągu jest równa
A. \(3\).
B. \(\frac{1}{5}\).
C. \(\frac{3}{5}\).
D. \(-\frac{5}{11}\).
Zadanie nr 11 — maturalne.
Oblicz granicę
.
W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po
przecinku skończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
Zadanie nr 12 — maturalne.
Ciąg \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\) wzorem \(a_n=\frac{(7p-1)n^3+5pn-3}{(p+1)n^3+n^2+p}\), gdzie \(p\) jest liczbą rzeczywistą dodatnią. Oblicz wartość \(p\), dla której granica ciągu \(a_n\) jest równa \(\frac{4}{3}\). W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.