Logo Media Nauka
Sklep naukowy

Zadanie - granica funkcji w nieskończoności

Obliczyć \lim_{x\to -\infty}{(x^3-x^8+x^2-1)}

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

\lim_{x\to -\infty}{(x^3-x^8+x^2-1)}=\lim_{x\to -\infty}{[x^8(\frac{1}{x^5}-1+\frac{1}{x^6}-\frac{1}{x^8})]}=-\infty

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Obliczamy granicę funkcji w punkcie niewłaściwym (w minus nieskończoności). Mamy do czynienia z wielomianem, więc wyciągamy przed nawias niewiadomą w najwyższej potędze:

\lim_{x\to -\infty}{(x^3-x^8+x^2-1)}=\\ =\lim_{x\to -\infty}{[x^8(\frac{1}{x^5}-1+\frac{1}{x^6}-\frac{1}{x^8})]}=\\ =\lim_{x\to -\infty}{x^8}\cdot \lim_{x\to -\infty}{(\frac{1}{x^5}-1+\frac{1}{x^6}-\frac{1}{x^8})}=

Znana jest granica: \lim_{x\to -\infty}{\frac{a}{x^n}}=0, \ a\in R, \ n\in N, zatem granica wszystkich funkcji w liczniku i mianowniku w postaci \frac{a}{x^n} (zaznaczono na żółto) jest liczba zero. Mamy więc:

=(0-1+0-0) \cdot \lim_{x\to -\infty}{x^8}=-\lim_{x\to -\infty}{x^8}=-\infty

Ponieważ niewiadoma jest w parzystej potędze, stąd granicą funkcji f(x)=x8 w minus nieskończoności będzie liczba plus nieskończoność. Możemy to wykazać:

Niech dany będzie pewien ciąg argumentów funkcji określony w jej dziedzinie i \lim_{n\to\infty}{x_n}=-\inftyObliczamy granicę:
\lim_{x\to -\infty}{x^8}=\lim_{n\to +\infty}{x_n^8}=\lim_{n\to\infty}{x_n}\cdot \lim_{n\to\infty}{x_n}\cdot \\ \cdot \lim_{n\to\infty}{x_n}\cdot \lim_{n\to\infty}{x_n}\cdot \lim_{n\to\infty}{x_n}\cdot \lim_{n\to\infty}{x_n}\cdot \lim_{n\to\infty}{x_n}\cdot \lim_{n\to\infty}{x_n}=\\ =+\infty

ksiązki Odpowiedź

\lim_{x\to -\infty}{(x^3-x^8+x^2-1)}=-\infty

© medianauka.pl, 2010-05-12, ZAD-859





Zadania podobne

kulkaZadanie - granica funkcji w nieskończoności
Obliczyć:
a) \lim_{x\to -\infty}{\frac{2x^3-x^2+3x-1}{2-x^3}}
b) \lim_{x\to\infty}{\frac{3x^3+3x-1}{7-x^5}}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 5, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Granica \lim_{n\to \infty}{\frac{(pn^2+4n)^3}{5n^6-4}}=-\frac{8}{5}. Wynika stąd, że

A. p=-8
B. p=4
C. p=2
D. p=-2


Pokaż rozwiązanie zadania



© Media Nauka 2008-2018 r.