Zadanie - granica funkcji w nieskończoności

Treść zadania:

Obliczyć \(\displaystyle\lim_{x\to -\infty}{(x^3-x^8+x^2-1)}\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

Obliczamy granicę funkcji w punkcie niewłaściwym (w minus nieskończoności). Mamy do czynienia z wielomianem, więc wyciągamy przed nawias niewiadomą w najwyższej potędze:

\(\displaystyle\lim_{x\to -\infty}{(x^3-x^8+x^2-1)}=\)

\(=\displaystyle\lim_{x\to -\infty}{[x^8(\frac{1}{x^5}-1+\frac{1}{x^6}-\frac{1}{x^8})]}=\)

\(=\displaystyle\lim_{x\to -\infty}{x^8}\cdot \lim_{x\to -\infty}{(\frac{1}{x^5}-1+\frac{1}{x^6}-\frac{1}{x^8})}=\)

Znana jest granica: \(\displaystyle\lim_{x\to -\infty}{\frac{a}{x^n}}=0, \ a\in \mathbb{R}, \ n\in \mathbb{N}\), zatem granica wszystkich funkcji w liczniku i mianowniku w postaci \(\frac{a}{x^n}\) jest liczba zero. Mamy więc:

\(=(0-1+0-0) \cdot \displaystyle\lim_{x\to -\infty}{x^8}=-\lim_{x\to -\infty}{x^8}=-\infty\)

Ponieważ niewiadoma jest w parzystej potędze, stąd granicą funkcji \(f(x)=x^8\) w minus nieskończoności będzie liczba plus nieskończoność. Możemy to wykazać:

Niech dany będzie pewien ciąg argumentów funkcji określony w jej dziedzinie i \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}{x_n}=-\infty\). Obliczamy granicę:

\(\displaystyle\lim_{x\to -\infty}{x^8}=\lim_{n\to +\infty}{x_n^8}=\lim_{n\to\infty}{x_n}\cdot \lim_{n\to\infty}{x_n}\cdot\)

\( \cdot \displaystyle\lim_{n\to\infty}{x_n}\cdot \lim_{n\to\infty}{x_n}\cdot \lim_{n\to\infty}{x_n}\cdot \lim_{n\to\infty}{x_n}\cdot \lim_{n\to\infty}{x_n}\cdot \lim_{n\to\infty}{x_n}=\\ =+\infty\)

ksiązki Odpowiedź

\(\displaystyle\lim_{x\to -\infty}{(x^3-x^8+x^2-1)}=-\infty\)

© medianauka.pl, 2010-05-12, ZAD-859

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Obliczyć:

a) \(\displaystyle\lim_{x\to -\infty}{\frac{2x^3-x^2+3x-1}{2-x^3}}\)

b) \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}{\frac{3x^3+3x-1}{7-x^5}}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 2 — maturalne.

Granica \(\displaystyle\lim_{n\to \infty}{\frac{(pn^2+4n)^3}{5n^6-4}}=-\frac{8}{5}\). Wynika stąd, że

A. \(p=-8\)

B. \(p=4\)

C. \(p=2\)

D. \(p=-2\)

Pokaż rozwiązanie zadania.




©® Media Nauka 2008-2023 r.