Strona główna » Matematyka » Granica funkcji w punkcie niewłaściwym

Zadanie - granica funkcji w nieskończoności

Obliczyć $\lim_{x\to -\infty}{(x^3-x^8+x^2-1)}$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$\lim_{x\to -\infty}{(x^3-x^8+x^2-1)}=\lim_{x\to -\infty}{[x^8(\frac{1}{x^5}-1+\frac{1}{x^6}-\frac{1}{x^8})]}=-\infty$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Obliczamy granicę funkcji w punkcie niewłaściwym (w minus nieskończoności). Mamy do czynienia z wielomianem, więc wyciągamy przed nawias niewiadomą w najwyższej potędze:

$\lim_{x\to -\infty}{(x^3-x^8+x^2-1)}=\\ =\lim_{x\to -\infty}{[x^8(\frac{1}{x^5}-1+\frac{1}{x^6}-\frac{1}{x^8})]}=\\ =\lim_{x\to -\infty}{x^8}\cdot \lim_{x\to -\infty}{(\frac{1}{x^5}-1+\frac{1}{x^6}-\frac{1}{x^8})}=$

Znana jest granica: $\lim_{x\to -\infty}{\frac{a}{x^n}}=0, \ a\in R, \ n\in N$ , zatem granica wszystkich funkcji w liczniku i mianowniku w postaci $\frac{a}{x^n}$ (zaznaczono na żółto) jest liczba zero. Mamy więc:

$=(0-1+0-0) \cdot \lim_{x\to -\infty}{x^8}=-\lim_{x\to -\infty}{x^8}=-\infty$

Ponieważ niewiadoma jest w parzystej potędze, stąd granicą funkcji f(x)=x⁸ w minus nieskończoności będzie liczba plus nieskończoność. Możemy to wykazać:

Niech dany będzie pewien ciąg argumentów funkcji określony w jej dziedzinie i $\lim_{n\to\infty}{x_n}=-\infty$ Obliczamy granicę:
$\lim_{x\to -\infty}{x^8}=\lim_{n\to +\infty}{x_n^8}=\lim_{n\to\infty}{x_n}\cdot \lim_{n\to\infty}{x_n}\cdot \\ \cdot \lim_{n\to\infty}{x_n}\cdot \lim_{n\to\infty}{x_n}\cdot \lim_{n\to\infty}{x_n}\cdot \lim_{n\to\infty}{x_n}\cdot \lim_{n\to\infty}{x_n}\cdot \lim_{n\to\infty}{x_n}=\\ =+\infty$

Odpowiedź

$\lim_{x\to -\infty}{(x^3-x^8+x^2-1)}=-\infty$

Zadania podobne

Zadanie - granica funkcji w nieskończoności
Obliczyć:
a) $\lim_{x\to -\infty}{\frac{2x^3-x^2+3x-1}{2-x^3}}$
b) $\lim_{x\to\infty}{\frac{3x^3+3x-1}{7-x^5}}$