Granica funkcji w nieskończoności

Definicja

Niech f(x) oznacza funkcję, która jest określona w przedziale $(a;\infty)$ .
Funkcja f(x) ma w nieskończoności granicę g (używamy zapisu $\lim_{x\to \infty}{f(x)}=g$ ) jeżeli dla każdego ciągu argumentów (x_n) o wyrazach należących do przedziału $(a;\infty)$ rozbieżnego do nieskończoności, ciąg wartości (f(x_n)) jest zbieżny do g.

Definicja

Niech f(x) oznacza funkcję, która jest określona w przedziale $(-\infty;a)$ .
Funkcja f(x) ma w minus nieskończoności granicę g (używamy zapisu $\lim_{x\to -\infty}{f(x)}=g$ ) jeżeli dla każdego ciągu argumentów (x_n) o wyrazach należących do przedziału $(-\infty;a)$ rozbieżnego do minus nieskończoności, ciąg wartości (f(x_n)) jest zbieżny do g.

Przykład

Obliczyć: $\lim_{x\to \infty}{\frac{x-2}{x}}$
Niech $x_n\neq 0, \lim_{n\to\infty}{x_n}=\infty$
$\lim_{x\to \infty}{\frac{x-2}{x}}=\lim_{n\to\infty}{\frac{x_n-2}{x_n}=\lim_{n\to\infty}{\frac{1-\frac{2}{x_n}}{1}=\frac{1-0}{1}=1$

Przy obliczaniu granic w nieskończoności stosujemy następujące metody rachunkowe:

w przypadku, gdy obliczamy granicę wielomianu wyłączamy przed nawias zmienną w najwyższej potędze,
w przypadku, gdy obliczamy granicę funkcji wymiernej wyłączamy przed nawias, w liczniku i mianowniku, zmienną w najwyższej potędze, w której występuje w mianowniku.

Warto tutaj pamiętać, że:
$\lim_{x\to\infty}{\frac{a}{x^n}}=0, \ a\in R, \ n\in N$
$\lim_{x\to-\infty}{\frac{a}{x^n}}=0, \ a\in R, \ n\in N$

Przykłady

Przykład

Obliczyć: $\lim_{x\to \infty}{(x^3-2x^2+1)}$
$\lim_{x\to \infty}{(x^3-2x^2+1)}=\lim_{x\to \infty}{[x^3(1-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^3})]}=\infty$

Przykład

Obliczyć: $\lim_{x\to \infty}{\frac{x^2-2x+1}{x^2-1}}$
$\lim_{x\to \infty}{\frac{x^2-2x+1}{x^2-1}}=\lim_{x\to \infty}{\frac{x^2(1-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2})}{x^2(1-\frac{1}{x^2})}}=\lim_{x\to \infty}{\frac{1-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}}{1-\frac{1}{x^2}}}=\frac{1-0+0}{1-0}=1$