Granica funkcji w punkcie

Będziemy się posługiwać dwoma definicjami pojęcia granicy funkcji. Obie są równoważne. Pojęcie granicy funkcji nie jest łatwe, dlatego warto wcześniej przypomnieć sobie pojęcie granicy ciągu liczbowego.

Definicja Heinego

Definicja

Funkcja f(x) ma w punkcie x₀ granicę g, jeżeli dla każdego ciągu (x_n) o wyrazach należących do sąsiedztwa punktu x₀ i zbieżnego do x₀ ciąg (f(x_n)) jest zbieżny do g.

Granicę funkcji f(x) w punkcie x₀ będziemy oznaczać następująco: $\lim_{x\to x_0} f(x)=g$ , czytamy przy tym "granicą funkcji f(x) przy x dążącym do x₀ jest g".

Posługujemy się następującym nazewnictwem: (x_n) - ciąg argumentów funkcji, (f(x_n)) - ciąg wartości funkcji. Aby lepiej zrozumieć te pojęcia przeanalizujmy poniższy przykład:

Przykład

Dana jest funkcja y=2x+1.
Weźmy dla przykładu dowolny ciąg: $a_n=\frac{1}{n}$
W prosty sposób możemy utworzyć ciąg argumentów funkcji:
$x_n=\frac{1}{n}$
oraz ciąg wartości funkcji:
$y_n=2x_n+1=2\cdot \frac{1}{n}+1=\frac{2}{n}+1$

Zatem aby obliczyć granicę funkcji w punkcie należy wziąć dowolny ciąg (x_n) zbieżny do x₀ o wyrazach różnych od x₀, a następnie budujemy ciąg wartości funkcji y_n i badamy jego zbieżność.

Animacja

Przykład

Obliczymy granicę funkcji: $y=\frac{1-x}{2}$ w punkcie x₀=2.

Bierzemy dowolny ciąg x_n zbieżny do 2 o wyrazach różnych od 2, czyli $\lim_{n\to\infty}x_n=2,\quad{}x_n\neq{2}$ (takich ciągów jest nieskończenie wiele, nie musimy przy tym znać wzoru na n-ty wyraz ciągu)
Tworzymy ciąg wartości funkcji: $y_n=f(x_n)=\frac{1-x_n}{2}$ i obliczamy jego granicę (zauważ, że obliczamy granicę ciągu, czyli przy n dążącym do nieskończoności!). Granica funkcji f(x) w punkcie 2 będzie więc równa granicy ciągu:
$\lim_{x\to x_0} \frac{1-x}{2}=\lim_{n\to \infty}\frac{1-x_n}{2}=\frac{1-\lim_{n\to \infty}{x_n}}{2}=\frac{1-2}{2}=-\frac{1}{2}$

Nie zawsze funkcja posiada granicę w punkcie. Aby wykazać, że dana funkcja nie ma granicy w punkcie x₀, należy wskazać dwa różne ciągi argumentów zbieżnych do x₀ tak, aby odpowiadające im ciągi wartości funkcji były zbieżne do różnych granic lub aby co najmniej jeden z nich był rozbieżny. Przeanalizujmy to na przykładzie:

Przykład

Obliczymy granicę funkcji: $y=\frac{2x}{x+1}$ w punkcie x₀=-1.

Bierzemy dowolne dwa ciągi x_n zbieżne do -1 o wyrazach różnych od -1:
$x_n=\frac{1}{n}-1$
$x'_n=-\frac{1}{n}-1$

Oba ciągi mają tę samą granicę:

$\lim_{n\to\infty} x_n=\lim_{n\to\infty} x'_n=-1$

Tworzymy ciąg wartości funkcji:
$y_n=f(x_n)=\frac{2(\frac{1}{n}-1)}{1+(\frac{1}{n}-1)}=\frac{\frac{2}{n}-2}{1+\frac{1}{n}-1}=\frac{\frac{2-2n}{n}}{\frac{1}{n}}=\frac{2-2n}{n}\cdot \frac{n}{1}=2-2n$
i obliczamy jego granicę:
$\lim_{x\to -1} \frac{2x}{1+x}=\lim_{n\to \infty}(2-2n)=-\infty$
Tworzymy podobny ciąg wartości funkcji dla drugiego przypadku:
$y'_n=f(x'_n)=\frac{2(-\frac{1}{n}-1)}{1+(-\frac{1}{n}-1)}=\frac{-\frac{2}{n}-2}{1-\frac{1}{n}-1}=\frac{\frac{-2-2n}{n}}{-\frac{1}{n}}=\frac{-2-2n}{n}\cdot \frac{-n}{1}=2+2n$
i obliczamy jego granicę:
$\lim_{x\to -1} \frac{2x}{1+x}=\lim_{n\to \infty}(2+2n)=+\infty$
Otrzymaliśmy dwie różne granice. Nie istnieje więc granica tej funkcji w punkcie -1.

Definicja Cauchy'ego

Definicja

Mówimy, że funkcja f(x) ma w punkcie x₀ granicę g (oznaczamy ją następująco: $\lim_{x\to x_0} f(x)=g$ ), jeżeli dla każdego $\varepsilon >0$ istnieje takie sąsiedztwo S punktu x₀, że dla każdego $x\in$ S spełniona jest nierówność: $|f(x)-g|<\varepsilon$ .

Animacja

Przeanalizujmy przykład. Rozwiążemy zadanie, które rozwiązane zostało przy okazji omawiania definicji Heinego.

Przykład

Wykazać, że $\lim_{x\to 2}\frac{1-x}{2}=-\frac{1}{2}$ .

Obliczamy $f(x)-g=\frac{1-x}{2}-(-\frac{1}{2})=\frac{2-x}{2}$
Nierówność z definicji Cauchy'ego jest spełniona:
$|f(x)-g|<\varepsilon \\ |\frac{2-x}{2}|<\varepsilon \\ -\varepsilon < \frac{2-x}{2}<\varepsilon\\-2\varepsilon < 2-x<2\varepsilon\\-2\varepsilon <x-2<2\varepsilon\\ |x-2|<2\varepsilon$
gdy x należy do sąsiedztwa S(2,2ε).