Granica funkcji
Będziemy się posługiwać dwoma definicjami pojęcia granicy funkcji. Obie są równoważne. Pojęcie granicy funkcji nie jest łatwe, dlatego warto wcześniej przypomnieć sobie pojęcie granicy ciągu liczbowego. Także obliczanie granic nie jest łatwe. Pomogą w tym wzory, które omawiamy i ilustrujemy przykładami na końcu artykułu. Granice funkcji wykorzystuje się na przykład w analizie przebiegu zmienności funkcji.
Definicja Heinego
Definicja
Funkcja f(x) ma w punkcie x0 granicę g, jeżeli dla każdego ciągu (xn) o wyrazach należących do sąsiedztwa punktu x0 i zbieżnego do x0 ciąg (f(xn)) jest zbieżny do g.
Granicę funkcji f(x) w punkcie x0 będziemy oznaczać następująco:
, czytamy przy tym "granicą funkcji f(x) przy x dążącym do x0 jest g".
Posługujemy się następującym nazewnictwem: (xn) - ciąg argumentów funkcji, (f(xn)) - ciąg wartości funkcji. Aby lepiej zrozumieć te pojęcia przeanalizujmy poniższy przykład:
Przykład
Dana jest funkcja y=2x+1.
Weźmy dla przykładu dowolny ciąg:
W prosty sposób możemy utworzyć ciąg argumentów funkcji:
oraz ciąg wartości funkcji:
Zatem aby obliczyć granicę funkcji w punkcie należy wziąć dowolny ciąg (xn) zbieżny do x0 o wyrazach różnych od x0, a następnie budujemy ciąg wartości funkcji yn i badamy jego zbieżność.

Animacja

Przykład
Obliczymy granicę funkcji: w punkcie x0=2.
Bierzemy dowolny ciąg xn zbieżny do 2 o wyrazach różnych od 2, czyli (takich ciągów jest nieskończenie wiele, nie musimy przy tym znać wzoru na n-ty wyraz ciągu)
Tworzymy ciąg wartości funkcji: i obliczamy jego granicę (zauważ, że obliczamy granicę ciągu, czyli przy n dążącym do nieskończoności!). Granica funkcji f(x) w punkcie 2 będzie więc równa granicy ciągu:
Nie zawsze funkcja posiada granicę w punkcie. Aby wykazać, że dana funkcja nie ma granicy w punkcie x0, należy wskazać dwa różne ciągi argumentów zbieżnych do x0 tak, aby odpowiadające im ciągi wartości funkcji były zbieżne do różnych granic lub aby co najmniej jeden z nich był rozbieżny. Przeanalizujmy to na przykładzie:
Przykład
Obliczymy granicę funkcji: w punkcie x0=-1.
Bierzemy dowolne dwa ciągi xn zbieżne do -1 o wyrazach różnych od -1:
Oba ciągi mają tę samą granicę:
Tworzymy ciąg wartości funkcji:
i obliczamy jego granicę:
Tworzymy podobny ciąg wartości funkcji dla drugiego przypadku:
i obliczamy jego granicę:
Otrzymaliśmy dwie różne granice. Nie istnieje więc granica tej funkcji w punkcie -1.
Definicja Cauchy'ego
Definicja
Mówimy, że funkcja f(x) ma w punkcie x0 granicę g (oznaczamy ją następująco:), jeżeli dla każdego
istnieje takie sąsiedztwo S punktu x0, że dla każdego
S spełniona jest nierówność:
.

Animacja
Przeanalizujmy przykład. Rozwiążemy zadanie, które rozwiązane zostało przy okazji omawiania definicji Heinego.
Przykład
Wykazać, że .
Obliczamy
Nierówność z definicji Cauchy'ego jest spełniona:
gdy x należy do sąsiedztwa S(2,2ε).
Wzory
Przy obliczaniu granic w praktyce posługujemy się podstawowymi równościami, które zostały wymienione niżej:

Przykład

Przykład
![\lim_{x\to a}{\sqrt[n]{x}=\sqrt[n]{a}, \ a> 0, \ n\in N](matematyka/wzory/870/5.gif)
Przykład

Przykład

Przykład
Stosujemy także kilka wzorów rachunku granic. Oto one:
Twierdzenie
Jeżeli funkcja f(x) oraz g(x) mają w punkcie x0 granice
to:
![\lim_{x\to x_0}{[f(x)+g(x)]=a+b} \\ \lim_{x\to x_0}{[f(x)-g(x)]=a-b} \\ \lim_{x\to x_0}{[f(x)\cdot g(x)]=a\cdot b} \\ \lim_{x\to x_0}{[f(x):g(x)]=a:b (b\neq 0)}](matematyka/wzory/870/12.gif)
Dodatkowo na podstawie powyższych zależności można wywnioskować, że:

Oto kilka przykładów obliczania granic funkcji w punkcie z wykorzystaniem powyższych twierdzeń i wzorów:
Przykład
© medianauka.pl, 2010-05-04, ART-846
Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Granica funkcji
Zadanie - granica funkcji w punkcie, definicja Heinego
Oblicz korzystając z definicji Heinego
Zadanie - granica funkcji w punkcie; definicja Heinego
Oblicz korzystając z definicji Heinego
Zadanie - granica funkcji, definicja Cauchy'ego
Wykazać na podstawie definicji Cauchy'ego, że
Zadanie - granica funkcji na podstawie definicji Cauchy'ego
Wykazać na podstawie definicji Cauchy'ego, że
Zadanie - granica funkcji w punkcie
Wykazać, że funkcja nie ma granicy w punkcie 0.
Zadanie - granica funkcji
Obliczyć granicę funkcji
Zadanie - granica funkcji
Obliczyć granicę funkcji
Zadanie - granica funkcji
Obliczyć granicę funkcji
Zadanie - granica funkcji w punkcie
Obliczyć granicę funkcji
Inne zagadnienia z tej lekcji

Co to jest sąsiedztwo punktu?

Co to jest granica niewłaściwa funkcji i jak ją obliczamy?

Definicja granicy funkcji w nieskończoności oraz sposoby obliczania granic wielomianów i funkcji wymiernych

Omówienie granic lewostronnych i prawostronnych funkcji wraz z przykładami

Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.