Granica funkcji

Teoria Będziemy się posługiwać dwoma definicjami pojęcia granicy funkcji. Obie są równoważne. Pojęcie granicy funkcji nie jest łatwe, dlatego warto wcześniej przypomnieć sobie pojęcie granicy ciągu liczbowego. Także obliczanie granic nie jest łatwe. Pomogą w tym wzory, które omawiamy i ilustrujemy przykładami na końcu artykułu. Granice funkcji wykorzystuje się na przykład w analizie przebiegu zmienności funkcji.

Definicja Heinego

Definicja Definicja

Funkcja f(x) ma w punkcie x0 granicę g, jeżeli dla każdego ciągu (xn) o wyrazach należących do sąsiedztwa punktu x0 i zbieżnego do x0 ciąg (f(xn)) jest zbieżny do g.

Granicę funkcji f(x) w punkcie x0 będziemy oznaczać następująco: \lim_{x\to x_0} f(x)=g, czytamy przy tym "granicą funkcji f(x) przy x dążącym do x0 jest g".

Posługujemy się następującym nazewnictwem: (xn) - ciąg argumentów funkcji, (f(xn)) - ciąg wartości funkcji. Aby lepiej zrozumieć te pojęcia przeanalizujmy poniższy przykład:

Przykład Przykład

Dana jest funkcja y=2x+1.
Weźmy dla przykładu dowolny ciąg: a_n=\frac{1}{n}
W prosty sposób możemy utworzyć ciąg argumentów funkcji:
x_n=\frac{1}{n}
oraz ciąg wartości funkcji:
y_n=2x_n+1=2\cdot \frac{1}{n}+1=\frac{2}{n}+1

Teoria Zatem aby obliczyć granicę funkcji w punkcie należy wziąć dowolny ciąg (xn) zbieżny do x0 o wyrazach różnych od x0, a następnie budujemy ciąg wartości funkcji yn i badamy jego zbieżność.

Animacja

Animacja


definicja Heinego - granica

Przykład Przykład

Obliczymy granicę funkcji: y=\frac{1-x}{2}w punkcie x0=2.

Bierzemy dowolny ciąg xn zbieżny do 2 o wyrazach różnych od 2, czyli \lim_{n\to\infty}x_n=2,\quad{}x_n\neq{2} (takich ciągów jest nieskończenie wiele, nie musimy przy tym znać wzoru na n-ty wyraz ciągu)
Tworzymy ciąg wartości funkcji: y_n=f(x_n)=\frac{1-x_n}{2} i obliczamy jego granicę (zauważ, że obliczamy granicę ciągu, czyli przy n dążącym do nieskończoności!). Granica funkcji f(x) w punkcie 2 będzie więc równa granicy ciągu:
\lim_{x\to x_0} \frac{1-x}{2}=\lim_{n\to \infty}\frac{1-x_n}{2}=\frac{1-\lim_{n\to \infty}{x_n}}{2}=\frac{1-2}{2}=-\frac{1}{2}


Teoria Nie zawsze funkcja posiada granicę w punkcie. Aby wykazać, że dana funkcja nie ma granicy w punkcie x0, należy wskazać dwa różne ciągi argumentów zbieżnych do x0 tak, aby odpowiadające im ciągi wartości funkcji były zbieżne do różnych granic lub aby co najmniej jeden z nich był rozbieżny. Przeanalizujmy to na przykładzie:

Przykład Przykład

Obliczymy granicę funkcji: y=\frac{2x}{x+1} w punkcie x0=-1.

Bierzemy dowolne dwa ciągi xn zbieżne do -1 o wyrazach różnych od -1:
x_n=\frac{1}{n}-1
x'_n=-\frac{1}{n}-1

Oba ciągi mają tę samą granicę:

\lim_{n\to\infty} x_n=\lim_{n\to\infty} x'_n=-1

Tworzymy ciąg wartości funkcji:
y_n=f(x_n)=\frac{2(\frac{1}{n}-1)}{1+(\frac{1}{n}-1)}=\frac{\frac{2}{n}-2}{1+\frac{1}{n}-1}=\frac{\frac{2-2n}{n}}{\frac{1}{n}}=\frac{2-2n}{n}\cdot \frac{n}{1}=2-2n
i obliczamy jego granicę:
\lim_{x\to -1} \frac{2x}{1+x}=\lim_{n\to \infty}(2-2n)=-\infty
Tworzymy podobny ciąg wartości funkcji dla drugiego przypadku:
y'_n=f(x'_n)=\frac{2(-\frac{1}{n}-1)}{1+(-\frac{1}{n}-1)}=\frac{-\frac{2}{n}-2}{1-\frac{1}{n}-1}=\frac{\frac{-2-2n}{n}}{-\frac{1}{n}}=\frac{-2-2n}{n}\cdot \frac{-n}{1}=2+2n
i obliczamy jego granicę:
\lim_{x\to -1} \frac{2x}{1+x}=\lim_{n\to \infty}(2+2n)=+\infty
Otrzymaliśmy dwie różne granice. Nie istnieje więc granica tej funkcji w punkcie -1.

Definicja Cauchy'ego

Definicja Definicja

Mówimy, że funkcja f(x) ma w punkcie x0 granicę g (oznaczamy ją następująco:\lim_{x\to x_0} f(x)=g), jeżeli dla każdego \varepsilon >0 istnieje takie sąsiedztwo S punktu x0, że dla każdego x\in S spełniona jest nierówność: |f(x)-g|<\varepsilon.


Animacja

Animacja




Przeanalizujmy przykład. Rozwiążemy zadanie, które rozwiązane zostało przy okazji omawiania definicji Heinego.

Przykład Przykład

Wykazać, że \lim_{x\to 2}\frac{1-x}{2}=-\frac{1}{2}.

Obliczamy f(x)-g=\frac{1-x}{2}-(-\frac{1}{2})=\frac{2-x}{2}
Nierówność z definicji Cauchy'ego jest spełniona:
|f(x)-g|<\varepsilon \\ |\frac{2-x}{2}|<\varepsilon \\ -\varepsilon < \frac{2-x}{2}<\varepsilon\\-2\varepsilon < 2-x<2\varepsilon\\-2\varepsilon <x-2<2\varepsilon\\ |x-2|<2\varepsilon
gdy x należy do sąsiedztwa S(2,2ε).

Wzory

Teoria Przy obliczaniu granic w praktyce posługujemy się podstawowymi równościami, które zostały wymienione niżej:

\lim_{x\to a}{c}=c


Przykład Przykład

\lim_{x\to 5}{2}=2\\{\lim_{x\to -1}{(-5)}=-5}\\{\lim_{x\to 0}{0}=0}

\lim_{x\to a}{x}=a

Przykład Przykład

\lim_{x\to 5}{x}=5\\ \lim_{x\to -1}{x}=-1\\ \lim_{x\to 0}{x}=0

\lim_{x\to a}{\sqrt[n]{x}=\sqrt[n]{a}, \ a> 0, \ n\in N

Przykład Przykład

\lim_{x\to 5}{\sqrt[3]{x}}=\sqrt[3]{5} \\ \lim_{x\to 9}{\sqrt{x}=\sqrt{9}=3

\lim_{x\to a}{\sin{x}}=\sin{a}

Przykład Przykład

\lim_{x\to 0}{\sin{x}}=\sin{0}=0 \\ \lim_{x\to \frac{\pi}{2}}{\sin{x}}=\sin{\frac{\pi}{2}}=1

\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{x}}{x}}=1

Przykład Przykład

\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{x}}{x}}=1

Stosujemy także kilka wzorów rachunku granic. Oto one:

Twierdzenie Twierdzenie

Jeżeli funkcja f(x) oraz g(x) mają w punkcie x0 granice
\lim_{x\to x_0}{f(x)}=a, \ \lim_{x\to x_0}{g(x)}=b
to:

\lim_{x\to x_0}{[f(x)+g(x)]=a+b} \\ \lim_{x\to x_0}{[f(x)-g(x)]=a-b} \\ \lim_{x\to x_0}{[f(x)\cdot g(x)]=a\cdot b} \\ \lim_{x\to x_0}{[f(x):g(x)]=a:b (b\neq 0)}

Dodatkowo na podstawie powyższych zależności można wywnioskować, że:

\lim_{x\to x_0}{c\cdot f(x)}=c\cdot \lim_{x\to x_0}{f(x)}

Oto kilka przykładów obliczania granic funkcji w punkcie z wykorzystaniem powyższych twierdzeń i wzorów:

Przykład Przykład

\lim_{x\to 0}{(x+\sin{x})}=0+\sin{0}=0 \\ \lim_{x\to -1}{(1-x)}=\lim_{x\to -1}{1}-\lim_{x\to -1}{x}=1-(-1)=2 \\ \lim_{x\to \pi}{(x\sin{x})}=\lim_{x\to \pi}{x}\cdot \lim_{x\to \pi}{\sin{x}}=\pi \cdot \sin{\pi}=0\\ \lim_{x\to 1}{\frac{1}{x}}=\frac{\lim_{x\to 1}{1}}{\lim_{x\to 1}{x}}=1



© medianauka.pl, 2010-05-04, ART-846


Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zadania związane z tematem:
Granica funkcji

zadanie-ikonka Zadanie - granica funkcji w punkcie, definicja Heinego
Oblicz korzystając z definicji Heinego \lim_{x\to -3}{\frac{x^2-9}{x+3}

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - granica funkcji w punkcie; definicja Heinego
Oblicz korzystając z definicji Heinego \lim_{x\to 5}{(x+\frac{x-1}{x+1})}

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - granica funkcji, definicja Cauchy'ego
Wykazać na podstawie definicji Cauchy'ego, że \lim_{x\to -3}{(\frac{x^2-9}{x+3})}=-6

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - granica funkcji na podstawie definicji Cauchy'ego
Wykazać na podstawie definicji Cauchy'ego, że \lim_{x\to 2}{(5x-7)}=3

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - granica funkcji w punkcie
Wykazać, że funkcja f(x)=\frac{x^2-|x|}{2x} nie ma granicy w punkcie 0.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - granica funkcji
Obliczyć granicę funkcji \lim_{x\to -1}{\frac{x-5}{1-x^3}}

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - granica funkcji
Obliczyć granicę funkcji \lim_{x\to 0}{\frac{\sin{3x}}{x}}

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - granica funkcji
Obliczyć granicę funkcji \lim_{x\to -1}{\frac{x^4-1}{x^2-1}}

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - granica funkcji w punkcie
Obliczyć granicę funkcji \lim_{x\to 0}{\frac{\sin^2{4x}}{\sin^2{2x}}}

Pokaż rozwiązanie zadania



Inne zagadnienia z tej lekcji

Sąsiedztwo punktuSąsiedztwo punktu
Co to jest sąsiedztwo punktu?
Granica niewłaściwa funkcjiGranica niewłaściwa funkcji
Co to jest granica niewłaściwa funkcji i jak ją obliczamy?
Granica funkcji w nieskończonościGranica funkcji w nieskończoności
Definicja granicy funkcji w nieskończoności oraz sposoby obliczania granic wielomianów i funkcji wymiernych
Granica lewostronna i prawostronna funkcjiGranica lewostronna i prawostronna funkcji
Omówienie granic lewostronnych i prawostronnych funkcji wraz z przykładami



Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© Media Nauka 2008-2018 r.