Logo Media Nauka
Sklep naukowy

Granica funkcji w punkcie

Teoria Będziemy się posługiwać dwoma definicjami pojęcia granicy funkcji. Obie są równoważne. Pojęcie granicy funkcji nie jest łatwe, dlatego warto wcześniej przypomnieć sobie pojęcie granicy ciągu liczbowego.

Definicja Heinego

Definicja Definicja

Funkcja f(x) ma w punkcie x0 granicę g, jeżeli dla każdego ciągu (xn) o wyrazach należących do sąsiedztwa punktu x0 i zbieżnego do x0 ciąg (f(xn)) jest zbieżny do g.

Granicę funkcji f(x) w punkcie x0 będziemy oznaczać następująco: \lim_{x\to x_0} f(x)=g, czytamy przy tym "granicą funkcji f(x) przy x dążącym do x0 jest g".

Posługujemy się następującym nazewnictwem: (xn) - ciąg argumentów funkcji, (f(xn)) - ciąg wartości funkcji. Aby lepiej zrozumieć te pojęcia przeanalizujmy poniższy przykład:

Przykład Przykład

Dana jest funkcja y=2x+1.
Weźmy dla przykładu dowolny ciąg: a_n=\frac{1}{n}
W prosty sposób możemy utworzyć ciąg argumentów funkcji:
x_n=\frac{1}{n}
oraz ciąg wartości funkcji:
y_n=2x_n+1=2\cdot \frac{1}{n}+1=\frac{2}{n}+1

Teoria Zatem aby obliczyć granicę funkcji w punkcie należy wziąć dowolny ciąg (xn) zbieżny do x0 o wyrazach różnych od x0, a następnie budujemy ciąg wartości funkcji yn i badamy jego zbieżność.

Animacja

Animacja




Przykład Przykład

Obliczymy granicę funkcji: y=\frac{1-x}{2}w punkcie x0=2.

Bierzemy dowolny ciąg xn zbieżny do 2 o wyrazach różnych od 2, czyli \lim_{n\to\infty}x_n=2,\quad{}x_n\neq{2} (takich ciągów jest nieskończenie wiele, nie musimy przy tym znać wzoru na n-ty wyraz ciągu)
Tworzymy ciąg wartości funkcji: y_n=f(x_n)=\frac{1-x_n}{2} i obliczamy jego granicę (zauważ, że obliczamy granicę ciągu, czyli przy n dążącym do nieskończoności!). Granica funkcji f(x) w punkcie 2 będzie więc równa granicy ciągu:
\lim_{x\to x_0} \frac{1-x}{2}=\lim_{n\to \infty}\frac{1-x_n}{2}=\frac{1-\lim_{n\to \infty}{x_n}}{2}=\frac{1-2}{2}=-\frac{1}{2}


Teoria Nie zawsze funkcja posiada granicę w punkcie. Aby wykazać, że dana funkcja nie ma granicy w punkcie x0, należy wskazać dwa różne ciągi argumentów zbieżnych do x0 tak, aby odpowiadające im ciągi wartości funkcji były zbieżne do różnych granic lub aby co najmniej jeden z nich był rozbieżny. Przeanalizujmy to na przykładzie:

Przykład Przykład

Obliczymy granicę funkcji: y=\frac{2x}{x+1} w punkcie x0=-1.

Bierzemy dowolne dwa ciągi xn zbieżne do -1 o wyrazach różnych od -1:
x_n=\frac{1}{n}-1
x'_n=-\frac{1}{n}-1

Oba ciągi mają tę samą granicę:

\lim_{n\to\infty} x_n=\lim_{n\to\infty} x'_n=-1

Tworzymy ciąg wartości funkcji:
y_n=f(x_n)=\frac{2(\frac{1}{n}-1)}{1+(\frac{1}{n}-1)}=\frac{\frac{2}{n}-2}{1+\frac{1}{n}-1}=\frac{\frac{2-2n}{n}}{\frac{1}{n}}=\frac{2-2n}{n}\cdot \frac{n}{1}=2-2n
i obliczamy jego granicę:
\lim_{x\to -1} \frac{2x}{1+x}=\lim_{n\to \infty}(2-2n)=-\infty
Tworzymy podobny ciąg wartości funkcji dla drugiego przypadku:
y'_n=f(x'_n)=\frac{2(-\frac{1}{n}-1)}{1+(-\frac{1}{n}-1)}=\frac{-\frac{2}{n}-2}{1-\frac{1}{n}-1}=\frac{\frac{-2-2n}{n}}{-\frac{1}{n}}=\frac{-2-2n}{n}\cdot \frac{-n}{1}=2+2n
i obliczamy jego granicę:
\lim_{x\to -1} \frac{2x}{1+x}=\lim_{n\to \infty}(2+2n)=+\infty
Otrzymaliśmy dwie różne granice. Nie istnieje więc granica tej funkcji w punkcie -1.

Definicja Cauchy'ego

Definicja Definicja

Mówimy, że funkcja f(x) ma w punkcie x0 granicę g (oznaczamy ją następująco:\lim_{x\to x_0} f(x)=g), jeżeli dla każdego \varepsilon >0 istnieje takie sąsiedztwo S punktu x0, że dla każdego x\in S spełniona jest nierówność: |f(x)-g|<\varepsilon.


Animacja

Animacja




Przeanalizujmy przykład. Rozwiążemy zadanie, które rozwiązane zostało przy okazji omawiania definicji Heinego.

Przykład Przykład

Wykazać, że \lim_{x\to 2}\frac{1-x}{2}=-\frac{1}{2}.

Obliczamy f(x)-g=\frac{1-x}{2}-(-\frac{1}{2})=\frac{2-x}{2}
Nierówność z definicji Cauchy'ego jest spełniona:
|f(x)-g|<\varepsilon \\ |\frac{2-x}{2}|<\varepsilon \\ -\varepsilon < \frac{2-x}{2}<\varepsilon\\-2\varepsilon < 2-x<2\varepsilon\\-2\varepsilon <x-2<2\varepsilon\\ |x-2|<2\varepsilon
gdy x należy do sąsiedztwa S(2,2ε).


© medianauka.pl, 2010-05-04, ART-846






Inne zagadnienia z tej lekcji


Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.


zadanie-ikonka Zadanie - granica funkcji w punkcie, definicja Heinego
Oblicz korzystając z definicji Heinego \lim_{x\to -3}{\frac{x^2-9}{x+3}

zadanie-ikonka Zadanie - granica funkcji w punkcie; definicja Heinego
Oblicz korzystając z definicji Heinego \lim_{x\to 5}{(x+\frac{x-1}{x+1})}

zadanie-ikonka Zadanie - granica funkcji, definicja Cauchy'ego
Wykazać na podstawie definicji Cauchy'ego, że \lim_{x\to -3}{(\frac{x^2-9}{x+3})}=-6

zadanie-ikonka Zadanie - granica funkcji na podstawie definicji Cauchy'ego
Wykazać na podstawie definicji Cauchy'ego, że \lim_{x\to 2}{(5x-7)}=3

zadanie-ikonka Zadanie - granica funkcji w punkcie
Wykazać, że funkcja f(x)=\frac{x^2-|x|}{2x} nie ma granicy w punkcie 0.




Polecamy koszyk



© Media Nauka 2008-2017 r.