Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie - granica funkcji w punkcie


Wykazać, że funkcja f(x)=\frac{x^2-|x|}{2x} nie ma granicy w punkcie 0.


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

Niech:
a_n\neq 0, \ b_n\neq 0 \\ \lim_{n\to\infty}{a_n}=0, \ \lim_{n\to\infty}{a_n}=0

Przyjmujemy:

a_n=\frac{1}{n}\\ b_n=-\frac{1}{n}

Obliczamy granice:

\lim_{x\to 0}{f(x)}=\lim_{n\to\infty}{f(\frac{1}{n})}=\lim_{n\to\infty}{\frac{(\frac{1}{n})^2-|\frac{1}{n}|}{2\cdot \frac{1}{n}}=\lim_{n\to\infty}{\frac{(\frac{1}{n})^2-\frac{1}{n}}{2\cdot \frac{1}{n}}=
=\lim_{n\to\infty}{\frac{\cancel{\frac{1}{n}}(\frac{1}{n}-1)}{2\cdot \cancel{\frac{1}{n}}}=\lim_{n\to\infty}{(\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{n}-\frac{1}{2})}=-\frac{1}{2}
\lim_{x\to 0}{f(x)}=\lim_{n\to\infty}{f(-\frac{1}{n})}=\lim_{n\to\infty}{\frac{(-\frac{1}{n})^2-|-\frac{1}{n}|}{2\cdot (-\frac{1}{n})}=\lim_{n\to\infty}{\frac{\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n}}{-2\cdot \frac{1}{n}}=
=\lim_{n\to\infty}{\frac{\cancel{\frac{1}{n}}(\frac{1}{n}-1)}{-2\cdot \cancel{\frac{1}{n}}}=\lim_{n\to\infty}{(-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{n}+\frac{1}{2})}=\frac{1}{2}
\lim_{n\to\infty}{f(a_n)}\neq \lim_{n\to\infty}{f(b_n)}
Granica \lim_{x\to 0}{\frac{x^2-|x|}{2x}} w punkcie x=0 nie istnieje.

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Skorzystamy z definicji Heinego, w myśl której aby wykazać, że funkcja nie posiada granicy w punkcie x0, wystarczy wskazać dwa ciągi zbieżne do x0 o wyrazach różnych od x0 i wykazać, że odpowiadające im ciągi wartości funkcji są zbieżne do różnych granic.

Zakładamy więc:

a_n\neq 0, \ b_n\neq 0 \\ \lim_{n\to\infty}{a_n}=0, \ \lim_{n\to\infty}{a_n}=0

Należy wskazać dwa różne ciągi spełniające powyższe założenie. Spójrzmy na wykres funkcji:

Wykres funkcji

Wykres podpowiada jakie ciągi przyjąć do rozważań (pokazano je na rysunku). Mamy więc:

a_n=\frac{1}{n}\\ b_n=-\frac{1}{n}

Budujemy pierwszy ciąg wartości funkcji:

f(a_n)=f(\frac{1}{n})=\frac{(\frac{1}{n})^2-|\frac{1}{n}|}{2\cdot \frac{1}{n}}=

Ponieważ n jest liczbą naturalną więc \frac{1}{n}>0 i |\frac{1}{n}|=\frac{1}{n}. Możemy więc kontynuować obliczenia:

=\frac{(\frac{1}{n})^2-\frac{1}{n}}{2\cdot \frac{1}{n}}=\frac{\cancel{\frac{1}{n}}(\frac{1}{n}-1)}{2\cdot \cancel{\frac{1}{n}}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{n}-\frac{1}{2}

Budujemy drugi ciąg wartości funkcji:

f(b_n)=f(-\frac{1}{n})=\frac{(-\frac{1}{n})^2-|-\frac{1}{n}|}{2\cdot (-\frac{1}{n})}=

Ponieważ n jest liczbą naturalną więc -\frac{1}{n}<0 i |-\frac{1}{n}|=\frac{1}{n}. Możemy więc kontynuować obliczenia:

=\frac{\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n}}{-2\cdot \frac{1}{n}}=\frac{\cancel{\frac{1}{n}}(\frac{1}{n}-1)}{-2\cdot \cancel{\frac{1}{n}}}=-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{n}+\frac{1}{2}

Obliczamy granice ciągów wartości funkcji, najpierw dla pierwszego ciągu:

\lim_{n\to\infty}{f(a_n)}=\lim_{n\to\infty}{(\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{n}-\frac{1}{2})=\frac{1}{2}\cdot 0-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}

potem dla ciągu drugiego:

\lim_{n\to\infty}{f(b_n)}=\lim_{n\to\infty}{(-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{n}+\frac{1}{2})=-\frac{1}{2}\cdot 0+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}

Widać, że granice obu ciągów wartości funkcji są różne:

\lim_{n\to\infty}{f(a_n)}\neq \lim_{n\to\infty}{f(b_n)}

Oznacza to, że funkcja f(x) nie ma granicy w punkcie 0.


© medianauka.pl, 2010-05-05, ZAD-851





Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.