logo

Zadanie - granica funkcji w punkcie


Wykazać, że funkcja f(x)=\frac{x^2-|x|}{2x} nie ma granicy w punkcie 0.

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

Niech:
a_n\neq 0, \ b_n\neq 0 \\ \lim_{n\to\infty}{a_n}=0, \ \lim_{n\to\infty}{a_n}=0

Przyjmujemy:

a_n=\frac{1}{n}\\ b_n=-\frac{1}{n}

Obliczamy granice:

\lim_{x\to 0}{f(x)}=\lim_{n\to\infty}{f(\frac{1}{n})}=\lim_{n\to\infty}{\frac{(\frac{1}{n})^2-|\frac{1}{n}|}{2\cdot \frac{1}{n}}=\lim_{n\to\infty}{\frac{(\frac{1}{n})^2-\frac{1}{n}}{2\cdot \frac{1}{n}}=
=\lim_{n\to\infty}{\frac{\cancel{\frac{1}{n}}(\frac{1}{n}-1)}{2\cdot \cancel{\frac{1}{n}}}=\lim_{n\to\infty}{(\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{n}-\frac{1}{2})}=-\frac{1}{2}
\lim_{x\to 0}{f(x)}=\lim_{n\to\infty}{f(-\frac{1}{n})}=\lim_{n\to\infty}{\frac{(-\frac{1}{n})^2-|-\frac{1}{n}|}{2\cdot (-\frac{1}{n})}=\lim_{n\to\infty}{\frac{\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n}}{-2\cdot \frac{1}{n}}=
=\lim_{n\to\infty}{\frac{\cancel{\frac{1}{n}}(\frac{1}{n}-1)}{-2\cdot \cancel{\frac{1}{n}}}=\lim_{n\to\infty}{(-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{n}+\frac{1}{2})}=\frac{1}{2}
\lim_{n\to\infty}{f(a_n)}\neq \lim_{n\to\infty}{f(b_n)}
Granica \lim_{x\to 0}{\frac{x^2-|x|}{2x}} w punkcie x=0 nie istnieje.

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Skorzystamy z definicji Heinego, w myśl której aby wykazać, że funkcja nie posiada granicy w punkcie x0, wystarczy wskazać dwa ciągi zbieżne do x0 o wyrazach różnych od x0 i wykazać, że odpowiadające im ciągi wartości funkcji są zbieżne do różnych granic.

Zakładamy więc:

a_n\neq 0, \ b_n\neq 0 \\ \lim_{n\to\infty}{a_n}=0, \ \lim_{n\to\infty}{a_n}=0

Należy wskazać dwa różne ciągi spełniające powyższe założenie. Spójrzmy na wykres funkcji:

Wykres funkcji

Wykres podpowiada jakie ciągi przyjąć do rozważań (pokazano je na rysunku). Mamy więc:

a_n=\frac{1}{n}\\ b_n=-\frac{1}{n}

Budujemy pierwszy ciąg wartości funkcji:

f(a_n)=f(\frac{1}{n})=\frac{(\frac{1}{n})^2-|\frac{1}{n}|}{2\cdot \frac{1}{n}}=

Ponieważ n jest liczbą naturalną więc \frac{1}{n}>0 i |\frac{1}{n}|=\frac{1}{n}. Możemy więc kontynuować obliczenia:

=\frac{(\frac{1}{n})^2-\frac{1}{n}}{2\cdot \frac{1}{n}}=\frac{\cancel{\frac{1}{n}}(\frac{1}{n}-1)}{2\cdot \cancel{\frac{1}{n}}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{n}-\frac{1}{2}

Budujemy drugi ciąg wartości funkcji:

f(b_n)=f(-\frac{1}{n})=\frac{(-\frac{1}{n})^2-|-\frac{1}{n}|}{2\cdot (-\frac{1}{n})}=

Ponieważ n jest liczbą naturalną więc -\frac{1}{n}<0 i |-\frac{1}{n}|=\frac{1}{n}. Możemy więc kontynuować obliczenia:

=\frac{\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n}}{-2\cdot \frac{1}{n}}=\frac{\cancel{\frac{1}{n}}(\frac{1}{n}-1)}{-2\cdot \cancel{\frac{1}{n}}}=-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{n}+\frac{1}{2}

Obliczamy granice ciągów wartości funkcji, najpierw dla pierwszego ciągu:

\lim_{n\to\infty}{f(a_n)}=\lim_{n\to\infty}{(\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{n}-\frac{1}{2})=\frac{1}{2}\cdot 0-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}

potem dla ciągu drugiego:

\lim_{n\to\infty}{f(b_n)}=\lim_{n\to\infty}{(-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{n}+\frac{1}{2})=-\frac{1}{2}\cdot 0+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}

Widać, że granice obu ciągów wartości funkcji są różne:

\lim_{n\to\infty}{f(a_n)}\neq \lim_{n\to\infty}{f(b_n)}

Oznacza to, że funkcja f(x) nie ma granicy w punkcie 0.


© medianauka.pl, 2010-05-05, ZAD-851

Zadania podobne

kulkaZadanie - granica funkcji w punkcie, definicja Heinego
Oblicz korzystając z definicji Heinego \lim_{x\to -3}{\frac{x^2-9}{x+3}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - granica funkcji w punkcie; definicja Heinego
Oblicz korzystając z definicji Heinego \lim_{x\to 5}{(x+\frac{x-1}{x+1})}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - granica funkcji, definicja Cauchy'ego
Wykazać na podstawie definicji Cauchy'ego, że \lim_{x\to -3}{(\frac{x^2-9}{x+3})}=-6

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - granica funkcji na podstawie definicji Cauchy'ego
Wykazać na podstawie definicji Cauchy'ego, że \lim_{x\to 2}{(5x-7)}=3

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - granica funkcji
Obliczyć granicę funkcji \lim_{x\to -1}{\frac{x-5}{1-x^3}}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - granica funkcji
Obliczyć granicę funkcji \lim_{x\to 0}{\frac{\sin{3x}}{x}}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - granica funkcji
Obliczyć granicę funkcji \lim_{x\to -1}{\frac{x^4-1}{x^2-1}}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - granica funkcji w punkcie
Obliczyć granicę funkcji \lim_{x\to 0}{\frac{\sin^2{4x}}{\sin^2{2x}}}

Pokaż rozwiązanie zadania






Polecamy w naszym sklepie

Nowoczesne kompendium matematyki
Kalkulatory maukowe
Czy kości grają rolę Boga? Matematyka niepewności
50 wielkich idei które powinieneś znać
Mapa świata Puzzle
Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© ® Media Nauka 2008-2021 r.