Zadanie - granica funkcji w punkcie

Rozwiązanie zadania uproszczone
Niech:
Przyjmujemy:

Obliczamy granice:





Granica

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami
Skorzystamy z definicji Heinego, w myśl której aby wykazać, że funkcja nie posiada granicy w punkcie x0, wystarczy wskazać dwa ciągi zbieżne do x0 o wyrazach różnych od x0 i wykazać, że odpowiadające im ciągi wartości funkcji są zbieżne do różnych granic.
Zakładamy więc:

Należy wskazać dwa różne ciągi spełniające powyższe założenie. Spójrzmy na wykres funkcji:

Wykres podpowiada jakie ciągi przyjąć do rozważań (pokazano je na rysunku). Mamy więc:

Budujemy pierwszy ciąg wartości funkcji:

Ponieważ n jest liczbą naturalną więc i
. Możemy więc kontynuować obliczenia:

Budujemy drugi ciąg wartości funkcji:

Ponieważ n jest liczbą naturalną więc i
. Możemy więc kontynuować obliczenia:

Obliczamy granice ciągów wartości funkcji, najpierw dla pierwszego ciągu:

potem dla ciągu drugiego:

Widać, że granice obu ciągów wartości funkcji są różne:

Oznacza to, że funkcja f(x) nie ma granicy w punkcie 0.
© medianauka.pl, 2010-05-05, ZAD-851
Zadania podobne

Oblicz korzystając z definicji Heinego

Pokaż rozwiązanie zadania

Oblicz korzystając z definicji Heinego

Pokaż rozwiązanie zadania

Wykazać na podstawie definicji Cauchy'ego, że

Pokaż rozwiązanie zadania

Wykazać na podstawie definicji Cauchy'ego, że

Pokaż rozwiązanie zadania

Obliczyć granicę funkcji

Pokaż rozwiązanie zadania

Obliczyć granicę funkcji

Pokaż rozwiązanie zadania

Obliczyć granicę funkcji

Pokaż rozwiązanie zadania

Obliczyć granicę funkcji

Pokaż rozwiązanie zadania