Nauka » Matematyka » Granica funkcji

Zadanie - granica funkcji w punkcie

Wykazać, że funkcja $f(x)=\frac{x^2-|x|}{2x}$ nie ma granicy w punkcie 0.

Rozwiązanie zadania uproszczone

Niech:
$a_n\neq 0, \ b_n\neq 0 \\ \lim_{n\to\infty}{a_n}=0, \ \lim_{n\to\infty}{a_n}=0$

Przyjmujemy:

$a_n=\frac{1}{n}\\ b_n=-\frac{1}{n}$

Obliczamy granice:

$\lim_{x\to 0}{f(x)}=\lim_{n\to\infty}{f(\frac{1}{n})}=\lim_{n\to\infty}{\frac{(\frac{1}{n})^2-|\frac{1}{n}|}{2\cdot \frac{1}{n}}=\lim_{n\to\infty}{\frac{(\frac{1}{n})^2-\frac{1}{n}}{2\cdot \frac{1}{n}}=$
$=\lim_{n\to\infty}{\frac{\cancel{\frac{1}{n}}(\frac{1}{n}-1)}{2\cdot \cancel{\frac{1}{n}}}=\lim_{n\to\infty}{(\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{n}-\frac{1}{2})}=-\frac{1}{2}$
$\lim_{x\to 0}{f(x)}=\lim_{n\to\infty}{f(-\frac{1}{n})}=\lim_{n\to\infty}{\frac{(-\frac{1}{n})^2-|-\frac{1}{n}|}{2\cdot (-\frac{1}{n})}=\lim_{n\to\infty}{\frac{\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n}}{-2\cdot \frac{1}{n}}=$
$=\lim_{n\to\infty}{\frac{\cancel{\frac{1}{n}}(\frac{1}{n}-1)}{-2\cdot \cancel{\frac{1}{n}}}=\lim_{n\to\infty}{(-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{n}+\frac{1}{2})}=\frac{1}{2}$
$\lim_{n\to\infty}{f(a_n)}\neq \lim_{n\to\infty}{f(b_n)}$
Granica $\lim_{x\to 0}{\frac{x^2-|x|}{2x}}$ w punkcie x=0 nie istnieje.

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Skorzystamy z definicji Heinego, w myśl której aby wykazać, że funkcja nie posiada granicy w punkcie x₀, wystarczy wskazać dwa ciągi zbieżne do x₀ o wyrazach różnych od x₀ i wykazać, że odpowiadające im ciągi wartości funkcji są zbieżne do różnych granic.

Zakładamy więc:

$a_n\neq 0, \ b_n\neq 0 \\ \lim_{n\to\infty}{a_n}=0, \ \lim_{n\to\infty}{a_n}=0$

Należy wskazać dwa różne ciągi spełniające powyższe założenie. Spójrzmy na wykres funkcji:

Wykres podpowiada jakie ciągi przyjąć do rozważań (pokazano je na rysunku). Mamy więc:

$a_n=\frac{1}{n}\\ b_n=-\frac{1}{n}$

Budujemy pierwszy ciąg wartości funkcji:

$f(a_n)=f(\frac{1}{n})=\frac{(\frac{1}{n})^2-|\frac{1}{n}|}{2\cdot \frac{1}{n}}=$

Ponieważ n jest liczbą naturalną więc $\frac{1}{n}>0$ i $|\frac{1}{n}|=\frac{1}{n}$ . Możemy więc kontynuować obliczenia:

$=\frac{(\frac{1}{n})^2-\frac{1}{n}}{2\cdot \frac{1}{n}}=\frac{\cancel{\frac{1}{n}}(\frac{1}{n}-1)}{2\cdot \cancel{\frac{1}{n}}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{n}-\frac{1}{2}$

Budujemy drugi ciąg wartości funkcji:

$f(b_n)=f(-\frac{1}{n})=\frac{(-\frac{1}{n})^2-|-\frac{1}{n}|}{2\cdot (-\frac{1}{n})}=$

Ponieważ n jest liczbą naturalną więc $-\frac{1}{n}<0$ i $|-\frac{1}{n}|=\frac{1}{n}$ . Możemy więc kontynuować obliczenia:

$=\frac{\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n}}{-2\cdot \frac{1}{n}}=\frac{\cancel{\frac{1}{n}}(\frac{1}{n}-1)}{-2\cdot \cancel{\frac{1}{n}}}=-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{n}+\frac{1}{2}$

Obliczamy granice ciągów wartości funkcji, najpierw dla pierwszego ciągu:

$\lim_{n\to\infty}{f(a_n)}=\lim_{n\to\infty}{(\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{n}-\frac{1}{2})=\frac{1}{2}\cdot 0-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}$

potem dla ciągu drugiego:

$\lim_{n\to\infty}{f(b_n)}=\lim_{n\to\infty}{(-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{n}+\frac{1}{2})=-\frac{1}{2}\cdot 0+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

Widać, że granice obu ciągów wartości funkcji są różne:

$\lim_{n\to\infty}{f(a_n)}\neq \lim_{n\to\infty}{f(b_n)}$

Oznacza to, że funkcja f(x) nie ma granicy w punkcie 0.

Zadania podobne

Zadanie - granica funkcji w punkcie, definicja Heinego
Oblicz korzystając z definicji Heinego $\lim_{x\to -3}{\frac{x^2-9}{x+3}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - granica funkcji w punkcie; definicja Heinego
Oblicz korzystając z definicji Heinego $\lim_{x\to 5}{(x+\frac{x-1}{x+1})}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - granica funkcji, definicja Cauchy'ego
Wykazać na podstawie definicji Cauchy'ego, że $\lim_{x\to -3}{(\frac{x^2-9}{x+3})}=-6$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - granica funkcji na podstawie definicji Cauchy'ego
Wykazać na podstawie definicji Cauchy'ego, że $\lim_{x\to 2}{(5x-7)}=3$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - granica funkcji
Obliczyć granicę funkcji $\lim_{x\to -1}{\frac{x-5}{1-x^3}}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - granica funkcji
Obliczyć granicę funkcji $\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{3x}}{x}}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - granica funkcji
Obliczyć granicę funkcji $\lim_{x\to -1}{\frac{x^4-1}{x^2-1}}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - granica funkcji w punkcie
Obliczyć granicę funkcji $\lim_{x\to 0}{\frac{\sin^2{4x}}{\sin^2{2x}}}$

Pokaż rozwiązanie zadania