Logo Media Nauka

Facebook

Zadanie - granica funkcji w punkcie; definicja Heinego


Oblicz korzystając z definicji Heinego \lim_{x\to 5}{(x+\frac{x-1}{x+1})}

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

Niech \lim_{n\to\infty}{x_n}=5, \ x_n\neq 5, \ x_n\neq -1
\lim_{x\to 5}{(x+\frac{x-1}{x+1})}=\lim_{n\to\infty}{(x_n+\frac{x_n-1}{x_n+1})}=5+\frac{5-1}{5+1}=5\frac{2}{3}

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Funkcja jest określona w sąsiedztwie punktu 5, za wyjątkiem punktu -1. Bierzemy pod uwagę ciąg argumentów funkcji, zbieżny do 5 o wyrazach różnych od -1 i 5.

Zatem niech:

\lim_{n\to\infty}{x_n}=5, \ x_n\neq 5, \ x_n\neq -1

Teraz tworzymy ciąg wartości funkcji, podstawiając wyraz ogólny ciąg argumentów do badanej funkcji.

f(x_n)=x_n+\frac{x_n-1}{x_n+1}

Teraz skorzystamy z definicji Heinego.

Granica funkcji będzie równa granicy ciągu wartości funkcji:

\lim_{x\to 5}{(x+\frac{x-1}{x+1})}=\lim_{n\to\infty}{(x_n+\frac{x_n-1}{x_n+1})}=\\ =\lim_{n\to\infty}{x_n}+\frac{\lim_{n\to\infty}{x_n}-1}{\lim_{n\to\infty}{x_n}+1}=5+\frac{5-1}{5+1}=5\frac{2}{3} tło tło

Zwróć uwagę na fragment obliczeń zaznaczony żółtym kolorem. To miejsce, w którym często popełnia się błędy. Na początku mamy obliczyć granicę funkcji zmiennej x w punkcie 5 (x dąży do 5), ale po skorzystaniu z definicji Heinego obliczamy już granicę ciągu, a tutaj n dąży do nieskończoności, a zamiast zmiennej x mamy wyraz ciągu xn.

Otrzymaliśmy zatem odpowiedź:

ksiązki Odpowiedź

\lim_{x\to 5}{(x+\frac{x-1}{x+1})}=5\frac{2}{3}

© medianauka.pl, 2010-05-05, ZAD-848

Zadania podobne

kulkaZadanie - granica funkcji w punkcie, definicja Heinego
Oblicz korzystając z definicji Heinego \lim_{x\to -3}{\frac{x^2-9}{x+3}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - granica funkcji, definicja Cauchy'ego
Wykazać na podstawie definicji Cauchy'ego, że \lim_{x\to -3}{(\frac{x^2-9}{x+3})}=-6

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - granica funkcji na podstawie definicji Cauchy'ego
Wykazać na podstawie definicji Cauchy'ego, że \lim_{x\to 2}{(5x-7)}=3

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - granica funkcji w punkcie
Wykazać, że funkcja f(x)=\frac{x^2-|x|}{2x} nie ma granicy w punkcie 0.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - granica funkcji
Obliczyć granicę funkcji \lim_{x\to -1}{\frac{x-5}{1-x^3}}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - granica funkcji
Obliczyć granicę funkcji \lim_{x\to 0}{\frac{\sin{3x}}{x}}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - granica funkcji
Obliczyć granicę funkcji \lim_{x\to -1}{\frac{x^4-1}{x^2-1}}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - granica funkcji w punkcie
Obliczyć granicę funkcji \lim_{x\to 0}{\frac{\sin^2{4x}}{\sin^2{2x}}}

Pokaż rozwiązanie zadania






Polecamy w naszym sklepie

laboratorium w szufladzie Matematyka
Kubek matematyka pi
kolorowe skarpetki matematyka
Kolorowe skarpetki 3D
Rodzinna matematyka
Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© ® Media Nauka 2008-2020 r.