Nauka » Matematyka » Granica funkcji w punkcie

Zadanie - granica funkcji w punkcie; definicja Heinego

Oblicz korzystając z definicji Heinego $\lim_{x\to 5}{(x+\frac{x-1}{x+1})}$

Rozwiązanie zadania uproszczone

Niech $\lim_{n\to\infty}{x_n}=5, \ x_n\neq 5, \ x_n\neq -1$
$\lim_{x\to 5}{(x+\frac{x-1}{x+1})}=\lim_{n\to\infty}{(x_n+\frac{x_n-1}{x_n+1})}=5+\frac{5-1}{5+1}=5\frac{2}{3}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Funkcja jest określona w sąsiedztwie punktu 5, za wyjątkiem punktu -1. Bierzemy pod uwagę ciąg argumentów funkcji, zbieżny do 5 o wyrazach różnych od -1 i 5.

Zatem niech:

$\lim_{n\to\infty}{x_n}=5, \ x_n\neq 5, \ x_n\neq -1$

Teraz tworzymy ciąg wartości funkcji, podstawiając wyraz ogólny ciąg argumentów do badanej funkcji.

$f(x_n)=x_n+\frac{x_n-1}{x_n+1}$

Teraz skorzystamy z definicji Heinego.

Granica funkcji będzie równa granicy ciągu wartości funkcji:

$\lim_{x\to 5}{(x+\frac{x-1}{x+1})}=\lim_{n\to\infty}{(x_n+\frac{x_n-1}{x_n+1})}=\\ =\lim_{n\to\infty}{x_n}+\frac{\lim_{n\to\infty}{x_n}-1}{\lim_{n\to\infty}{x_n}+1}=5+\frac{5-1}{5+1}=5\frac{2}{3}$ tło

Zwróć uwagę na fragment obliczeń zaznaczony żółtym kolorem. To miejsce, w którym często popełnia się błędy. Na początku mamy obliczyć granicę funkcji zmiennej x w punkcie 5 (x dąży do 5), ale po skorzystaniu z definicji Heinego obliczamy już granicę ciągu, a tutaj n dąży do nieskończoności, a zamiast zmiennej x mamy wyraz ciągu x_n.

Otrzymaliśmy zatem odpowiedź: