Nauka » Matematyka » Granica funkcji

Zadanie - granica funkcji w punkcie, definicja Heinego

Oblicz korzystając z definicji Heinego $\lim_{x\to -3}{\frac{x^2-9}{x+3}$

Rozwiązanie zadania uproszczone

Niech $\lim_{n\to\infty}{x_n}=-3, x_n\neq -3$
$\lim_{x\to -3}{\frac{x^2-9}{x+3}}=\lim_{n\to\infty}{\frac{x_n^2-9}{x_n+3}}=\lim_{n\to\infty}{\frac{\cancel{(x_n+3)}(x_n-3)}{\cancel{x_n+3}}}=\\ =\lim_{n\to\infty}{(x_n-3)}=-3-3=-6$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Funkcja jest określona w każdym sąsiedztwie punktu -3, nie jest określona w punkcie -3. Bierzemy pod uwagę ciąg argumentów funkcji, zbieżny do -3 o wyrazach różnych od -3.

Niech:

$\lim_{n\to\infty}{x_n}=-3, x_n\neq -3$

Może to być dowolny ciąg, który spełnia warunek zbieżności do -3, nie musimy go nawet określać. Teraz tworzymy ciąg wartości funkcji, podstawiając wyraz ogólny ciąg argumentów do badanej funkcji.

$f(x_n)=\frac{x_n^2-9}{x_n+3}=\frac{\cancel{(x_n+3)}(x_n-3)}{\cancel{x_n+3}}=x_n-3$

Można było skrócić ułamek, ponieważ założyliśmy, że $x_n\neq -3$ . Skorzystaliśmy też tutaj ze wzoru skróconego mnożenia:

Teraz korzystamy z definicji Heinego. Granica funkcji będzie równa granicy ciągu wartości funkcji:

$\lim_{x\to -3}{\frac{x^2-9}{x+3}}=\lim_{n\to\infty}(x_n-3)=\\ =\lim_{n\to\infty}{x_n}-\lim_{n\to\infty}{3}=-3-3=-6$ tło

Warto zwrócić uwagę na fragment obliczeń zaznaczony kolorem żółtym. To miejsce, w którym bardzo często popełniane są błędy. Na początku mamy obliczyć granicę funkcji zmiennej x w punkcie -3 (x dąży do -3), ale po skorzystaniu z definicji Heinego obliczamy już granicę ciągu, a tutaj n dąży do nieskończoności, a zamiast zmiennej x mamy wyraz ciągu x_n.

Odpowiedź

$\lim_{x\to -3}{\frac{x^2-9}{x+3}=-6$

Zadania podobne

Zadanie - granica funkcji w punkcie; definicja Heinego
Oblicz korzystając z definicji Heinego $\lim_{x\to 5}{(x+\frac{x-1}{x+1})}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - granica funkcji, definicja Cauchy'ego
Wykazać na podstawie definicji Cauchy'ego, że $\lim_{x\to -3}{(\frac{x^2-9}{x+3})}=-6$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - granica funkcji na podstawie definicji Cauchy'ego
Wykazać na podstawie definicji Cauchy'ego, że $\lim_{x\to 2}{(5x-7)}=3$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - granica funkcji w punkcie
Wykazać, że funkcja $f(x)=\frac{x^2-|x|}{2x}$ nie ma granicy w punkcie 0.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - granica funkcji
Obliczyć granicę funkcji $\lim_{x\to -1}{\frac{x-5}{1-x^3}}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - granica funkcji
Obliczyć granicę funkcji $\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{3x}}{x}}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - granica funkcji
Obliczyć granicę funkcji $\lim_{x\to -1}{\frac{x^4-1}{x^2-1}}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - granica funkcji w punkcie
Obliczyć granicę funkcji $\lim_{x\to 0}{\frac{\sin^2{4x}}{\sin^2{2x}}}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.