Nauka » Matematyka » Granica funkcji

Zadanie - granica funkcji w punkcie, definicja Heinego

Treść zadania:

Oblicz korzystając z definicji Heinego \(\displaystyle\lim_{x\to -3}{\frac{x^2-9}{x+3}}\).

Rozwiązanie zadania

Funkcja jest określona w każdym sąsiedztwie punktu -3, nie jest określona w punkcie -3. Bierzemy pod uwagę ciąg argumentów funkcji, zbieżny do -3 o wyrazach różnych od -3.

Niech:

\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}{x_n}=-3, x_n\neq -3\)

Może to być dowolny ciąg, który spełnia warunek zbieżności do -3, nie musimy go nawet określać. Teraz tworzymy ciąg wartości funkcji, podstawiając wyraz ogólny ciąg argumentów do badanej funkcji.

\(f(x_n)=\frac{x_n^2-9}{x_n+3}=\frac{\cancel{(x_n+3)}(x_n-3)}{\cancel{x_n+3}}=x_n-3\)

Można było skrócić ułamek, ponieważ założyliśmy, że \(x_n\neq -3\). Skorzystaliśmy też tutaj ze wzoru skróconego mnożenia:

\(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)

Teraz korzystamy z definicji Heinego. Granica funkcji będzie równa granicy ciągu wartości funkcji:

\(\displaystyle\lim_{x\to -3}{\frac{x^2-9}{x+3}}=\lim_{n\to\infty}(x_n-3)=\)

\(=\displaystyle\lim_{n\to\infty}{x_n}-\lim_{n\to\infty}{3}=-3-3=-6\)

Warto zwrócić uwagę na fragment obliczeń zaznaczony kolorem żółtym. To miejsce, w którym bardzo często popełniane są błędy. Na początku mamy obliczyć granicę funkcji zmiennej \(x\) w punkcie -3 (\(x\) dąży do -3), ale po skorzystaniu z definicji Heinego obliczamy już granicę ciągu, a tutaj \(n\) dąży do nieskończoności, a zamiast zmiennej x mamy wyraz ciągu \(x_n\).

Odpowiedź

\(\displaystyle\lim_{x\to -3}{\frac{x^2-9}{x+3}}=-6\)

Matura z matematyki

Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.

Zbiór zadań z matematyki

Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.

WYKRESY ONLINE

Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne

Zadanie nr 1.

Oblicz korzystając z definicji Heinego \(\displaystyle\lim_{x\to 5}{(x+\frac{x-1}{x+1})}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Wykazać na podstawie definicji Cauchy'ego, że \(\displaystyle\lim_{x\to -3}{(\frac{x^2-9}{x+3})}=-6\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Wykazać na podstawie definicji Cauchy'ego, że \(\displaystyle\lim_{x\to 2}{(5x-7)}=3\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Wykazać, że funkcja \(f(x)=\frac{x^2-|x|}{2x}\) nie ma granicy w punkcie 0.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Obliczyć granicę funkcji \(\displaystyle\lim_{x\to -1}{\frac{x-5}{1-x^3}}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Obliczyć granicę funkcji \(\displaystyle\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{3x}}{x}}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Obliczyć granicę funkcji \(\displaystyle\lim_{x\to -1}{\frac{x^4-1}{x^2-1}}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8.

Obliczyć granicę funkcji \(\displaystyle\lim_{x\to 0}{\frac{\sin^2{4x}}{\sin^2{2x}}}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.