Logo Media Nauka
Sklep naukowy

zadanie

Zadanie - granica funkcji w punkcie, definicja Heinego


Oblicz korzystając z definicji Heinego \lim_{x\to -3}{\frac{x^2-9}{x+3}


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

Niech \lim_{n\to\infty}{x_n}=-3, x_n\neq -3
\lim_{x\to -3}{\frac{x^2-9}{x+3}}=\lim_{n\to\infty}{\frac{x_n^2-9}{x_n+3}}=\lim_{n\to\infty}{\frac{\cancel{(x_n+3)}(x_n-3)}{\cancel{x_n+3}}}=\\ =\lim_{n\to\infty}{(x_n-3)}=-3-3=-6

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Funkcja jest określona w każdym sąsiedztwie punktu -3, nie jest określona w punkcie -3. Bierzemy pod uwagę ciąg argumentów funkcji, zbieżny do -3 o wyrazach różnych od -3.

Niech:

\lim_{n\to\infty}{x_n}=-3, x_n\neq -3

Może to być dowolny ciąg, który spełnia warunek zbieżności do -3, nie musimy go nawet określać. Teraz tworzymy ciąg wartości funkcji, podstawiając wyraz ogólny ciąg argumentów do badanej funkcji.

f(x_n)=\frac{x_n^2-9}{x_n+3}=\frac{\cancel{(x_n+3)}(x_n-3)}{\cancel{x_n+3}}=x_n-3

Można było skrócić ułamek, ponieważ założyliśmy, że x_n\neq -3. Skorzystaliśmy też tutaj ze wzoru skróconego mnożenia:

a^2-b^2=(a-b)(a+b)

Teraz korzystamy z definicji Heinego. Granica funkcji będzie równa granicy ciągu wartości funkcji:

\lim_{x\to -3}{\frac{x^2-9}{x+3}}=\lim_{n\to\infty}(x_n-3)=\\ =\lim_{n\to\infty}{x_n}-\lim_{n\to\infty}{3}=-3-3=-6 tło tło

Warto zwrócić uwagę na fragment obliczeń zaznaczony kolorem żółtym. To miejsce, w którym bardzo często popełniane są błędy. Na początku mamy obliczyć granicę funkcji zmiennej x w punkcie -3 (x dąży do -3), ale po skorzystaniu z definicji Heinego obliczamy już granicę ciągu, a tutaj n dąży do nieskończoności, a zamiast zmiennej x mamy wyraz ciągu xn.

ksiązki Odpowiedź

\lim_{x\to -3}{\frac{x^2-9}{x+3}=-6

© medianauka.pl, 2010-05-05, ZAD-847





Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.