Strona główna » Matematyka » Granica funkcji w punkcie

Zadanie - granica funkcji na podstawie definicji Cauchy'ego

Wykazać na podstawie definicji Cauchy'ego, że $\lim_{x\to 2}{(5x-7)}=3$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$|f(x)-g|<\varepsilon \\ |5x-7-3)|<\varepsilon \\ |5x-10|<\varepsilon \\ 5|x-2|<\varepsilon \\ |x-2|<\frac{\varepsilon}{5}$
Warunek $|f(x)-g|<\varepsilon$ jest spełniony, gdy $|x-2|<\frac{\varepsilon}{5}$ , czyli gdy x należy do sąsiedztwa S(2,ε/5), co należało dowieść.

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Wykażemy, że dla każdego dodatniego ε istnieje takie sąsiedztwo S punktu x₀=2, że dla każdego x z tego sąsiedztwa spełniona jest nastepująca nierówność |f(x)-g|<ε

Z treści zadania wynika że granicą naszej funkcji jest g=3, zatem:

$|f(x)-g|<\varepsilon \\ |5x-7-3)|<\varepsilon \\ |5x-10|<\varepsilon \\ 5|x-2|<\varepsilon \\ |x-2|<\frac{\varepsilon}{5}$

Przyjrzyjmy się ostatniemu wyrażeniu. Skorzystamy tu z własności wartości bezwzględnej:

$|x|<a\Leftrightarrow -a<x<a$

Mamy więc:

$|x-2|<\frac{\varepsilon}{5} \\ -\frac{\varepsilon}{5} < x-2 < \frac{\varepsilon}{5} \\ 2-\frac{\varepsilon}{5} < x < 2+\frac{\varepsilon}{5}$

Co możemy przedsawić na rysunku:

Widzimy, że istnieje sąsiedztwo punktu 2 ( jest to S(2,ε/5 )) takie, że dla każdego x z tego sąsiedztwa i dla dowolnego dodatniego ε spełniony jest warunek |f(x)-g|<ε, co należało dowieść.