Zadanie - granica funkcji na podstawie definicji Cauchy'ego
Wykazać na podstawie definicji Cauchy'ego, że

Rozwiązanie zadania uproszczone

Warunek
jest spełniony, gdy
, czyli gdy x należy do sąsiedztwa S(2,ε/5), co należało dowieść.
Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami
Wykażemy, że dla każdego dodatniego ε istnieje takie sąsiedztwo S punktu x0=2, że dla każdego x z tego sąsiedztwa spełniona jest nastepująca nierówność |f(x)-g|<ε
Z treści zadania wynika że granicą naszej funkcji jest g=3, zatem:
Przyjrzyjmy się ostatniemu wyrażeniu. Skorzystamy tu z własności wartości bezwzględnej:
Mamy więc:
Co możemy przedsawić na rysunku:
Widzimy, że istnieje sąsiedztwo punktu 2 ( jest to S(2,ε/5 )) takie, że dla każdego x z tego sąsiedztwa i dla dowolnego dodatniego ε spełniony jest warunek |f(x)-g|<ε, co należało dowieść.
© medianauka.pl, 2010-05-05, ZAD-850
Zadania podobne
Zadanie - granica funkcji w punkcie, definicja Heinego
Oblicz korzystając z definicji Heinego 
Pokaż rozwiązanie zadania
Zadanie - granica funkcji w punkcie; definicja Heinego
Oblicz korzystając z definicji Heinego 
Pokaż rozwiązanie zadania
Zadanie - granica funkcji, definicja Cauchy'ego
Wykazać na podstawie definicji Cauchy'ego, że 
Pokaż rozwiązanie zadania
Zadanie - granica funkcji w punkcie
Wykazać, że funkcja
nie ma granicy w punkcie 0.
Pokaż rozwiązanie zadania
Zadanie - granica funkcji
Obliczyć granicę funkcji 
Pokaż rozwiązanie zadania
Zadanie - granica funkcji
Obliczyć granicę funkcji 
Pokaż rozwiązanie zadania
Zadanie - granica funkcji
Obliczyć granicę funkcji 
Pokaż rozwiązanie zadania
Zadanie - granica funkcji w punkcie
Obliczyć granicę funkcji 
Pokaż rozwiązanie zadania
Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz
wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
©® Media Nauka 2008-2023 r.
Drogi Internauto! Aby móc dostarczać coraz lepsze materiały i usługi potrzebujemy Twojej zgody na zapisywanie w pamięci Twojego urządzenia plików cookies oraz na dopasowanie treści marketingowych do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy utrzymywać nasze usługi.
Używamy cookies w celach funkcjonalnych oraz w celu tworzenia anonimowych statystyk. Ddbamy o Twoją prywatność.
Aby udzielić nam zgody na profilowanie i remarketing musisz mieć ukończone 16 lat. Brak zgody nie ograniczy w żaden sposób treści naszego serwisu. Udzieloną nam zgodę w każdej chwili możesz wycofać w Polityce prywatności lub przez wyczyszczenie historii przeglądarki.
Brak zgody oznacza wyłączenie profilowania, remarketingu i dostosowywania treści. Reklamy nadal będą się wyświetlać ale w sposób przypadkowy. Nadal będziemy używać zanonimizowanych danych do tworzenia statystyk serwisu. Dalsze korzystanie ze strony oznacza, że zgadzasz się na takie użycie danych.
Zapoznaj się z naszą Polityką Prywatności.
BRAK ZGODY ZGODA