Zadanie - granica funkcji na podstawie definicji Cauchy'ego


Wykazać na podstawie definicji Cauchy'ego, że \lim_{x\to 2}{(5x-7)}=3

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

|f(x)-g|<\varepsilon \\ |5x-7-3)|<\varepsilon \\ |5x-10|<\varepsilon \\ 5|x-2|<\varepsilon \\ |x-2|<\frac{\varepsilon}{5}
Warunek |f(x)-g|<\varepsilon jest spełniony, gdy |x-2|<\frac{\varepsilon}{5} , czyli gdy x należy do sąsiedztwa S(2,ε/5), co należało dowieść.

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Wykażemy, że dla każdego dodatniego ε istnieje takie sąsiedztwo S punktu x0=2, że dla każdego x z tego sąsiedztwa spełniona jest nastepująca nierówność |f(x)-g|<ε

Z treści zadania wynika że granicą naszej funkcji jest g=3, zatem:

|f(x)-g|<\varepsilon \\ |5x-7-3)|<\varepsilon \\ |5x-10|<\varepsilon \\ 5|x-2|<\varepsilon \\ |x-2|<\frac{\varepsilon}{5}

Przyjrzyjmy się ostatniemu wyrażeniu. Skorzystamy tu z własności wartości bezwzględnej:

|x|<a\Leftrightarrow -a<x<a

Mamy więc:

|x-2|<\frac{\varepsilon}{5} \\ -\frac{\varepsilon}{5} < x-2 < \frac{\varepsilon}{5} \\ 2-\frac{\varepsilon}{5} < x < 2+\frac{\varepsilon}{5}

Co możemy przedsawić na rysunku:

sąsiedztwo punktu

Widzimy, że istnieje sąsiedztwo punktu 2 ( jest to S(2,ε/5 )) takie, że dla każdego x z tego sąsiedztwa i dla dowolnego dodatniego ε spełniony jest warunek |f(x)-g|<ε, co należało dowieść.


© medianauka.pl, 2010-05-05, ZAD-850


Zadania podobne

kulkaZadanie - granica funkcji w punkcie, definicja Heinego
Oblicz korzystając z definicji Heinego \lim_{x\to -3}{\frac{x^2-9}{x+3}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - granica funkcji w punkcie; definicja Heinego
Oblicz korzystając z definicji Heinego \lim_{x\to 5}{(x+\frac{x-1}{x+1})}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - granica funkcji, definicja Cauchy'ego
Wykazać na podstawie definicji Cauchy'ego, że \lim_{x\to -3}{(\frac{x^2-9}{x+3})}=-6

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - granica funkcji w punkcie
Wykazać, że funkcja f(x)=\frac{x^2-|x|}{2x} nie ma granicy w punkcie 0.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - granica funkcji
Obliczyć granicę funkcji \lim_{x\to -1}{\frac{x-5}{1-x^3}}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - granica funkcji
Obliczyć granicę funkcji \lim_{x\to 0}{\frac{\sin{3x}}{x}}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - granica funkcji
Obliczyć granicę funkcji \lim_{x\to -1}{\frac{x^4-1}{x^2-1}}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - granica funkcji w punkcie
Obliczyć granicę funkcji \lim_{x\to 0}{\frac{\sin^2{4x}}{\sin^2{2x}}}

Pokaż rozwiązanie zadania



Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© Media Nauka 2008-2018 r.