Zadanie - granica funkcji


Obliczyć granicę funkcji \lim_{x\to 0}{\frac{\sin{3x}}{x}}

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{3x}}{x}}=\lim_{x\to 0}{3\cdot \frac{\sin{3x}}{3x}} \\ 3x=u \\ u\to 0, \ gdy \ x\to 0 \\ 3\lim_{u\to 0}{\frac{\sin{u}}{u}}=3\cdot 1=3

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Ponieważ znamy wartość granicy funkcji \frac{\sin{x}}{x} w punkcie x0=0 (jest to liczba 1), to musimy ułamek doprowadzić do takiej postaci:

\frac{\sin{3x}}{x}=\frac{\sin{3x}}{x}\cdot \frac{3}{3}=3\cdot \frac{\sin{3x}}{3x}

Możemy więc zapisać:

\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{3x}}{x}}=\lim_{x\to 0}{3\cdot \frac{\sin{3x}}{3x}}=

Zastosujemy następujące podstawienie:

3x=u\\ u\to 0, \ gdy \ x\to 0

Mamy więc:

=\lim_{u\to 0}{3\cdot \frac{\sin{u}}{u}}=

Ponieważ granica iloczynu funkcji jest równa iloczynowi granic funkcji oraz:

\lim_{x\to a}{c}=c

i

\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{x}}{x}}=1

otrzymujemy:

=\lim_{u\to 0}{3\cdot \frac{\sin{u}}{u}}=\lim_{u\to 0}{3} \cdot \lim_{u\to 0}{\frac{\sin{u}}{u}}=3\cdot 1=3

ksiązki Odpowiedź

\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{3x}}{x}}=3

© medianauka.pl, 2010-08-29, ZAD-872


Zadania podobne

kulkaZadanie - granica funkcji w punkcie, definicja Heinego
Oblicz korzystając z definicji Heinego \lim_{x\to -3}{\frac{x^2-9}{x+3}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - granica funkcji w punkcie; definicja Heinego
Oblicz korzystając z definicji Heinego \lim_{x\to 5}{(x+\frac{x-1}{x+1})}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - granica funkcji, definicja Cauchy'ego
Wykazać na podstawie definicji Cauchy'ego, że \lim_{x\to -3}{(\frac{x^2-9}{x+3})}=-6

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - granica funkcji na podstawie definicji Cauchy'ego
Wykazać na podstawie definicji Cauchy'ego, że \lim_{x\to 2}{(5x-7)}=3

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - granica funkcji w punkcie
Wykazać, że funkcja f(x)=\frac{x^2-|x|}{2x} nie ma granicy w punkcie 0.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - granica funkcji
Obliczyć granicę funkcji \lim_{x\to -1}{\frac{x-5}{1-x^3}}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - granica funkcji
Obliczyć granicę funkcji \lim_{x\to -1}{\frac{x^4-1}{x^2-1}}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - granica funkcji w punkcie
Obliczyć granicę funkcji \lim_{x\to 0}{\frac{\sin^2{4x}}{\sin^2{2x}}}

Pokaż rozwiązanie zadania



Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© Media Nauka 2008-2018 r.