Nauka » Matematyka » Granica funkcji

Zadanie - granica funkcji

Obliczyć granicę funkcji $\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{3x}}{x}}$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{3x}}{x}}=\lim_{x\to 0}{3\cdot \frac{\sin{3x}}{3x}} \\ 3x=u \\ u\to 0, \ gdy \ x\to 0 \\ 3\lim_{u\to 0}{\frac{\sin{u}}{u}}=3\cdot 1=3$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Ponieważ znamy wartość granicy funkcji $\frac{\sin{x}}{x}$ w punkcie x₀=0 (jest to liczba 1), to musimy ułamek doprowadzić do takiej postaci:

$\frac{\sin{3x}}{x}=\frac{\sin{3x}}{x}\cdot \frac{3}{3}=3\cdot \frac{\sin{3x}}{3x}$

Możemy więc zapisać:

$\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{3x}}{x}}=\lim_{x\to 0}{3\cdot \frac{\sin{3x}}{3x}}=$

Zastosujemy następujące podstawienie:

$3x=u\\ u\to 0, \ gdy \ x\to 0$

Mamy więc:

$=\lim_{u\to 0}{3\cdot \frac{\sin{u}}{u}}=$

Ponieważ granica iloczynu funkcji jest równa iloczynowi granic funkcji oraz:

$\lim_{x\to a}{c}=c$

$\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{x}}{x}}=1$

otrzymujemy:

$=\lim_{u\to 0}{3\cdot \frac{\sin{u}}{u}}=\lim_{u\to 0}{3} \cdot \lim_{u\to 0}{\frac{\sin{u}}{u}}=3\cdot 1=3$

Odpowiedź

$\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{3x}}{x}}=3$

Zadania podobne

Zadanie - granica funkcji w punkcie, definicja Heinego
Oblicz korzystając z definicji Heinego $\lim_{x\to -3}{\frac{x^2-9}{x+3}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - granica funkcji w punkcie; definicja Heinego
Oblicz korzystając z definicji Heinego $\lim_{x\to 5}{(x+\frac{x-1}{x+1})}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - granica funkcji, definicja Cauchy'ego
Wykazać na podstawie definicji Cauchy'ego, że $\lim_{x\to -3}{(\frac{x^2-9}{x+3})}=-6$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - granica funkcji na podstawie definicji Cauchy'ego
Wykazać na podstawie definicji Cauchy'ego, że $\lim_{x\to 2}{(5x-7)}=3$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - granica funkcji w punkcie
Wykazać, że funkcja $f(x)=\frac{x^2-|x|}{2x}$ nie ma granicy w punkcie 0.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - granica funkcji
Obliczyć granicę funkcji $\lim_{x\to -1}{\frac{x-5}{1-x^3}}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - granica funkcji
Obliczyć granicę funkcji $\lim_{x\to -1}{\frac{x^4-1}{x^2-1}}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - granica funkcji w punkcie
Obliczyć granicę funkcji $\lim_{x\to 0}{\frac{\sin^2{4x}}{\sin^2{2x}}}$

Pokaż rozwiązanie zadania