Strona główna » Matematyka » Granica funkcji - wzory podstawowe

zadanie

Zadanie - granica funkcji

Obliczyć granicę funkcji $\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{3x}}{x}}$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{3x}}{x}}=\lim_{x\to 0}{3\cdot \frac{\sin{3x}}{3x}} \\ 3x=u \\ u\to 0, \ gdy \ x\to 0 \\ 3\lim_{u\to 0}{\frac{\sin{u}}{u}}=3\cdot 1=3$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Ponieważ znamy wartość granicy funkcji $\frac{\sin{x}}{x}$ w punkcie x₀=0 (jest to liczba 1), to musimy ułamek doprowadzić do takiej postaci:

$\frac{\sin{3x}}{x}=\frac{\sin{3x}}{x}\cdot \frac{3}{3}=3\cdot \frac{\sin{3x}}{3x}$

Możemy więc zapisać:

$\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{3x}}{x}}=\lim_{x\to 0}{3\cdot \frac{\sin{3x}}{3x}}=$

Zastosujemy następujące podstawienie:

$3x=u\\ u\to 0, \ gdy \ x\to 0$

Mamy więc:

$=\lim_{u\to 0}{3\cdot \frac{\sin{u}}{u}}=$

Ponieważ granica iloczynu funkcji jest równa iloczynowi granic funkcji oraz:

$\lim_{x\to a}{c}=c$

i

$\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{x}}{x}}=1$

otrzymujemy:

$=\lim_{u\to 0}{3\cdot \frac{\sin{u}}{u}}=\lim_{u\to 0}{3} \cdot \lim_{u\to 0}{\frac{\sin{u}}{u}}=3\cdot 1=3$

Odpowiedź

$\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{3x}}{x}}=3$

© medianauka.pl, 2010-08-29, ZAD-872

Zadania podobne

Zadanie - granica funkcji
Obliczyć granicę funkcji $\lim_{x\to -1}{\frac{x-5}{1-x^3}}$

Zadanie - granica funkcji
Obliczyć granicę funkcji $\lim_{x\to -1}{\frac{x^4-1}{x^2-1}}$

Zadanie - granica funkcji w punkcie
Obliczyć granicę funkcji $\lim_{x\to 0}{\frac{\sin^2{4x}}{\sin^2{2x}}}$

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka

Polecamy

Wszechświat w lustrzanym odbiciu

Wszechświat w lustrzanym odbiciu
Dave Golberg

Geometria

Geometria
Kartezjusz

Zasady statystyki jedno- i dwuwymiarowej T.1

Zasady statystyki jedno- i dwuwymiarowej T.1
Wiesław Wagner, Andrzej Mantaj

Elementy analizy matematycznej

Elementy analizy matematycznej
Maciej Bryński, Norbert Dróbka, Karol Szymański

© Media Nauka 2008-2017 r.