Logo Media Nauka
Sklep naukowy

zadanie

Zadanie - granica funkcji


Obliczyć granicę funkcji \lim_{x\to 0}{\frac{\sin{3x}}{x}}


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{3x}}{x}}=\lim_{x\to 0}{3\cdot \frac{\sin{3x}}{3x}} \\ 3x=u \\ u\to 0, \ gdy \ x\to 0 \\ 3\lim_{u\to 0}{\frac{\sin{u}}{u}}=3\cdot 1=3

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Ponieważ znamy wartość granicy funkcji \frac{\sin{x}}{x} w punkcie x0=0 (jest to liczba 1), to musimy ułamek doprowadzić do takiej postaci:

\frac{\sin{3x}}{x}=\frac{\sin{3x}}{x}\cdot \frac{3}{3}=3\cdot \frac{\sin{3x}}{3x}

Możemy więc zapisać:

\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{3x}}{x}}=\lim_{x\to 0}{3\cdot \frac{\sin{3x}}{3x}}=

Zastosujemy następujące podstawienie:

3x=u\\ u\to 0, \ gdy \ x\to 0

Mamy więc:

=\lim_{u\to 0}{3\cdot \frac{\sin{u}}{u}}=

Ponieważ granica iloczynu funkcji jest równa iloczynowi granic funkcji oraz:

\lim_{x\to a}{c}=c

i

\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{x}}{x}}=1

otrzymujemy:

=\lim_{u\to 0}{3\cdot \frac{\sin{u}}{u}}=\lim_{u\to 0}{3} \cdot \lim_{u\to 0}{\frac{\sin{u}}{u}}=3\cdot 1=3

ksiązki Odpowiedź

\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{3x}}{x}}=3

© medianauka.pl, 2010-08-29, ZAD-872





Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.