Zadanie - granica funkcji, definicja Cauchy'ego
Treść zadania:
Wykazać na podstawie definicji Cauchy'ego, że \(\displaystyle\lim_{x\to -3}{(\frac{x^2-9}{x+3})}=-6\).
Rozwiązanie zadania
Mamy wykazać, że dla każdego dodatniego \(\varepsilon\) istnieje takie sąsiedztwo \(S\) punktu \(x_0=-3\), że dla każdego \(x\) z tego sąsiedztwa spełniona jest nierówność \(|f(x)-g|<\varepsilon\).
Wykonujemy więc obliczenia dla \(x\neq -3\), dla wartości której funkcja nie jest określona, ponadto z treści zadania wynika że granicą funkcji jest \(g=-6\):
\(|f(x)-g|<\varepsilon\)
\(|\frac{x^2-9}{x+3}-(-6)|<\varepsilon\)
\(|\frac{(x-3)(x+3)}{x+3}+6|<\varepsilon\)
\(|x-3+6|<\varepsilon\)
\(|x+3|<\varepsilon\)
Przyjrzyjmy się ostatniemu wyrażeniu. Skorzystamy z własności wartości bezwzględnej:
Mamy więc
\(|x+3|<\varepsilon\)
\(-\varepsilon < x+3 < \varepsilon\)
\(-3-\varepsilon < x < -3+\varepsilon\)
Zilustrujmy to rysunkiem:
Widać więc, że istnieje sąsiedztwo punktu \(-3\), jest to \(S(-3,\varepsilon)\), takie, że dla każdego \(x\) z tego sąsiedztwa i dla dowolnego dodatniego \(\varepsilon\) spełniony jest warunek \(|f(x)-g|<\varepsilon\), co należało dowieść.
© medianauka.pl, 2010-05-05, ZAD-849
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Oblicz korzystając z definicji Heinego \(\displaystyle\lim_{x\to -3}{\frac{x^2-9}{x+3}}\).
Zadanie nr 2.
Oblicz korzystając z definicji Heinego \(\displaystyle\lim_{x\to 5}{(x+\frac{x-1}{x+1})}\).
Zadanie nr 3.
Wykazać na podstawie definicji Cauchy'ego, że \(\displaystyle\lim_{x\to 2}{(5x-7)}=3\).
Zadanie nr 4.
Wykazać, że funkcja \(f(x)=\frac{x^2-|x|}{2x}\) nie ma granicy w punkcie 0.
Zadanie nr 5.
Obliczyć granicę funkcji \(\displaystyle\lim_{x\to -1}{\frac{x-5}{1-x^3}}\).
Zadanie nr 6.
Obliczyć granicę funkcji \(\displaystyle\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{3x}}{x}}\).
Zadanie nr 7.
Obliczyć granicę funkcji \(\displaystyle\lim_{x\to -1}{\frac{x^4-1}{x^2-1}}\).
Zadanie nr 8.
Obliczyć granicę funkcji \(\displaystyle\lim_{x\to 0}{\frac{\sin^2{4x}}{\sin^2{2x}}}\).