Strona główna » Matematyka » Granica funkcji w punkcie

Zadanie - granica funkcji, definicja Cauchy'ego

Wykazać na podstawie definicji Cauchy'ego, że $\lim_{x\to -3}{(\frac{x^2-9}{x+3})}=-6$

Rozwiązanie zadania uproszczone

Dla $x\neq -3$ :
$|f(x)-g|<\varepsilon \\ |\frac{x^2-9}{x+3}-(-6)|<\varepsilon \\ |\frac{(x-3)(x+3)}{x+3}+6|<\varepsilon \\ |x-3+6|<\varepsilon \\ |x+3|<\varepsilon$
Warunek $|f(x)-g|<\varepsilon$ jest spełniony, gdy $|x+3|<\varepsilon, \ x\neq -3$ , czyli gdy x należy do sąsiedztwa S(-3,Ɛ), co należało dowieść.

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Mamy wykazać, że dla każdego dodatniego Ɛ istnieje takie sąsiedztwo S punktu x₀=-3, że dla każdego x z tego sąsiedztwa spełniona jest nierówność |f(x)-g|<Ɛ

Wykonujemy więc obliczenia dla $x\neq -3$ , dla wartości której funkcja nie jest określona, ponadto z treści zadania wynika że granicą funkcji jest g=-6:

$|f(x)-g|<\varepsilon \\ |\frac{x^2-9}{x+3}-(-6)|<\varepsilon \\ |\frac{(x-3)(x+3)}{x+3}+6|<\varepsilon \\ |x-3+6|<\varepsilon \\ |x+3|<\varepsilon$

Przyjrzyjmy się ostatniemu wyrażeniu. Skorzystamy z własności wartości bezwzględnej:

$|x|<a\Leftrightarrow -a<x<a$

Mamy więc

$|x+3|<\varepsilon \\ -\varepsilon < x+3 < \varepsilon \\ -3-\varepsilon < x < -3+\varepsilon$

Zilustrujmy to rysunkiem:

Widać więc, że istnieje sąsiedztwo punktu -3, jest to S(-3,Ɛ ), takie że dla każdego x z tego sąsiedztwa i dla dowolnego dodatniego Ɛ spełniony jest warunek |f(x)-g|<Ɛ, co należało dowieść.