Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie - granica funkcji, definicja Cauchy'ego


Wykazać na podstawie definicji Cauchy'ego, że \lim_{x\to -3}{(\frac{x^2-9}{x+3})}=-6


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

Dla x\neq -3:
|f(x)-g|<\varepsilon \\ |\frac{x^2-9}{x+3}-(-6)|<\varepsilon \\ |\frac{(x-3)(x+3)}{x+3}+6|<\varepsilon \\ |x-3+6|<\varepsilon \\ |x+3|<\varepsilon
Warunek |f(x)-g|<\varepsilon jest spełniony, gdy |x+3|<\varepsilon, \ x\neq -3 , czyli gdy x należy do sąsiedztwa S(-3,Ɛ), co należało dowieść.

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Mamy wykazać, że dla każdego dodatniego Ɛ istnieje takie sąsiedztwo S punktu x0=-3, że dla każdego x z tego sąsiedztwa spełniona jest nierówność |f(x)-g|<Ɛ

Wykonujemy więc obliczenia dla x\neq -3, dla wartości której funkcja nie jest określona, ponadto z treści zadania wynika że granicą funkcji jest g=-6:

|f(x)-g|<\varepsilon \\ |\frac{x^2-9}{x+3}-(-6)|<\varepsilon \\ |\frac{(x-3)(x+3)}{x+3}+6|<\varepsilon \\ |x-3+6|<\varepsilon \\ |x+3|<\varepsilon

Przyjrzyjmy się ostatniemu wyrażeniu. Skorzystamy z własności wartości bezwzględnej:

|x|<a\Leftrightarrow -a<x<a

Mamy więc

|x+3|<\varepsilon \\ -\varepsilon < x+3 < \varepsilon \\ -3-\varepsilon < x < -3+\varepsilon

Zilustrujmy to rysunkiem:

sąsiedztwo

Widać więc, że istnieje sąsiedztwo punktu -3, jest to S(-3,Ɛ ), takie że dla każdego x z tego sąsiedztwa i dla dowolnego dodatniego Ɛ spełniony jest warunek |f(x)-g|<Ɛ, co należało dowieść.


© medianauka.pl, 2010-05-05, ZAD-849


Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.