Zadanie - granica funkcji w punkcie

Rozwiązanie zadania

Najpierw zastosujemy wzór na sinus podwojonego kąta:

Zgodnie z nim mamy:

\(\sin{4x}=\sin{(2\cdot 2x)}=2\sin{2x}\cos{2x}\)

Podstawiamy do naszego zadania, wcześniej jednak zastosujemy jedno z działań na potęgach:

\(\displaystyle\lim_{x\to 0}{\frac{\sin^2{4x}}{\sin^2{2x}}}=\lim_{x\to 0}{(\frac{\sin{4x}}{\sin{2x}})^2}=\lim_{x\to 0}{(\frac{2\sin{2x}\cos{2x}}{\sin{2x}})^2}=\)

Skracamy ułamek i otrzymujemy:

\(=\displaystyle\lim_{x\to 0}{(\frac{2\cancel{\sin{2x}}\cos{2x}}{\cancel{\sin{2x}}})^2}=\lim_{x\to 0}{(2\cos{2x})^2}=\lim_{x\to 0}{(4\cos^2{2x})}=\)

W lekcji poznaliśmy jedynie wzór na granicę funkcji sinus:

Tutaj zaś mamy do czynienia z funkcją cosinus. Skorzystajmy więc z wzoru:

Zgodnie z którym mamy: \(\cos^2{2x}=1-\sin^2{2x}\). Mamy więc:

\(=\displaystyle\lim_{x\to 0}{(4\cos^2{2x})}=\lim_{x\to 0}{[4(1-\sin^2{2x})]}=\lim_{x\to 0}{(4-4\sin^2{2x})}\)

Zastosujmy jeszcze podstawienie:

\(2x=u\)

\(u\to 0\), gdy \(x\to 0\)

\(=\displaystyle\lim_{u\to 0}{(4-4\sin^2{u})}=\)

\(=\displaystyle\lim_{u\to 0}{4}-\lim_{u\to 0}{4}\cdot \lim_{u\to 0}{\sin{u}}\cdot \lim_{u\to 0}{\sin{u}}=4-4\cdot \sin{0}\cdot \sin{0}=4\)

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2010-08-29, ZAD-874

Zadania podobne

Oblicz korzystając z definicji Heinego \(\displaystyle\lim_{x\to -3}{\frac{x^2-9}{x+3}}\).

Oblicz korzystając z definicji Heinego \(\displaystyle\lim_{x\to 5}{(x+\frac{x-1}{x+1})}\).

Wykazać na podstawie definicji Cauchy'ego, że \(\displaystyle\lim_{x\to -3}{(\frac{x^2-9}{x+3})}=-6\).

Wykazać na podstawie definicji Cauchy'ego, że \(\displaystyle\lim_{x\to 2}{(5x-7)}=3\).

Wykazać, że funkcja \(f(x)=\frac{x^2-|x|}{2x}\) nie ma granicy w punkcie 0.

Obliczyć granicę funkcji \(\displaystyle\lim_{x\to -1}{\frac{x-5}{1-x^3}}\).

Obliczyć granicę funkcji \(\displaystyle\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{3x}}{x}}\).

Obliczyć granicę funkcji \(\displaystyle\lim_{x\to -1}{\frac{x^4-1}{x^2-1}}\).