Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie - granica funkcji w punkcie


Obliczyć granicę funkcji \lim_{x\to 0}{\frac{\sin^2{4x}}{\sin^2{2x}}}


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

\lim_{x\to 0}{\frac{\sin^2{4x}}{\sin^2{2x}}}=\lim_{x\to 0}{(\frac{\sin{4x}}{\sin{2x}})^2}=\lim_{x\to 0}{(\frac{2\cancel{\sin{2x}}\cos{2x}}{\cancel{\sin{2x}}})^2}=\\ =\lim_{x\to 0}{(2\cos{2x})^2}=4\cdot \lim_{x\to 0}{(\cos{2x})^2}=4

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Najpierw zastosujemy wzór na sinus podwojonego kąta:

\sin{2x}=2\sin{x}\cos{x}

Zgodnie z nim mamy:

\sin{4x}=\sin{(2\cdot 2x)}=2\sin{2x}\cos{2x}

Podstawiamy do naszego zadania, wcześniej jednak zastosujemy jedno z działań na potęgach (przekształcenie zaznaczono kolorem żółtym):

\lim_{x\to 0}{\frac{\sin^2{4x}}{\sin^2{2x}}}=\lim_{x\to 0}{(\frac{\sin{4x}}{\sin{2x}})^2}=\lim_{x\to 0}{(\frac{2\sin{2x}\cos{2x}}{\sin{2x}})^2}= tło tło tło tło tło

Skracamy ułamek i otrzymujemy:

=\lim_{x\to 0}{(\frac{2\cancel{\sin{2x}}\cos{2x}}{\cancel{\sin{2x}}})^2}=\lim_{x\to 0}{(2\cos{2x})^2}=\lim_{x\to 0}{(4\cos^2{2x})}=

W lekcji poznaliśmy jedynie wzór na granicę funkcji sinus:

\lim_{x\to a}{\sin{x}}=\sin{a}

tutaj zaś mamy do czynienia z funkcją cosinus. Skorzystajmy więc z wzoru:

\sin^2{x}+\cos^2{x}=1

zgodnie z którym mamy: \cos^2{2x}=1-\sin^2{2x}. Mamy więc:

=\lim_{x\to 0}{(4\cos^2{2x})}=\lim_{x\to 0}{[4(1-\sin^2{2x})]}=\lim_{x\to 0}{(4-4\sin^2{2x})}

Zastosujmy jeszcze podstawienie

2x=u\\ u\to 0 , \ gdy \ x\to 0 \\ =\lim_{u\to 0}{(4-4\sin^2{u})}=\\ =\lim_{u\to 0}{4}-\lim_{u\to 0}{4}\cdot \lim_{u\to 0}{\sin{u}}\cdot \lim_{u\to 0}{\sin{u}}=4-4\cdot \sin{0}\cdot \sin{0}=4

ksiązki Odpowiedź

\lim_{x\to 0}{\frac{\sin^2{4x}}{\sin^2{2x}}}=4

© medianauka.pl, 2010-08-29, ZAD-874





Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.