Strona główna » Matematyka » Granica funkcji - wzory podstawowe

Zadanie - granica funkcji w punkcie

Obliczyć granicę funkcji $\lim_{x\to 0}{\frac{\sin^2{4x}}{\sin^2{2x}}}$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$\lim_{x\to 0}{\frac{\sin^2{4x}}{\sin^2{2x}}}=\lim_{x\to 0}{(\frac{\sin{4x}}{\sin{2x}})^2}=\lim_{x\to 0}{(\frac{2\cancel{\sin{2x}}\cos{2x}}{\cancel{\sin{2x}}})^2}=\\ =\lim_{x\to 0}{(2\cos{2x})^2}=4\cdot \lim_{x\to 0}{(\cos{2x})^2}=4$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Najpierw zastosujemy wzór na sinus podwojonego kąta:

$\sin{2x}=2\sin{x}\cos{x}$

Zgodnie z nim mamy:

$\sin{4x}=\sin{(2\cdot 2x)}=2\sin{2x}\cos{2x}$

Podstawiamy do naszego zadania, wcześniej jednak zastosujemy jedno z działań na potęgach (przekształcenie zaznaczono kolorem żółtym):

$\lim_{x\to 0}{\frac{\sin^2{4x}}{\sin^2{2x}}}=\lim_{x\to 0}{(\frac{\sin{4x}}{\sin{2x}})^2}=\lim_{x\to 0}{(\frac{2\sin{2x}\cos{2x}}{\sin{2x}})^2}=$ tło

Skracamy ułamek i otrzymujemy:

$=\lim_{x\to 0}{(\frac{2\cancel{\sin{2x}}\cos{2x}}{\cancel{\sin{2x}}})^2}=\lim_{x\to 0}{(2\cos{2x})^2}=\lim_{x\to 0}{(4\cos^2{2x})}=$

W lekcji poznaliśmy jedynie wzór na granicę funkcji sinus:

$\lim_{x\to a}{\sin{x}}=\sin{a}$

tutaj zaś mamy do czynienia z funkcją cosinus. Skorzystajmy więc z wzoru:

$\sin^2{x}+\cos^2{x}=1$

zgodnie z którym mamy: $\cos^2{2x}=1-\sin^2{2x}$ . Mamy więc:

$=\lim_{x\to 0}{(4\cos^2{2x})}=\lim_{x\to 0}{[4(1-\sin^2{2x})]}=\lim_{x\to 0}{(4-4\sin^2{2x})}$

Zastosujmy jeszcze podstawienie

$2x=u\\ u\to 0 , \ gdy \ x\to 0 \\ =\lim_{u\to 0}{(4-4\sin^2{u})}=\\ =\lim_{u\to 0}{4}-\lim_{u\to 0}{4}\cdot \lim_{u\to 0}{\sin{u}}\cdot \lim_{u\to 0}{\sin{u}}=4-4\cdot \sin{0}\cdot \sin{0}=4$