logo

Zadanie - granica funkcji w punkcie


Obliczyć granicę funkcji \lim_{x\to 0}{\frac{\sin^2{4x}}{\sin^2{2x}}}

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

\lim_{x\to 0}{\frac{\sin^2{4x}}{\sin^2{2x}}}=\lim_{x\to 0}{(\frac{\sin{4x}}{\sin{2x}})^2}=\lim_{x\to 0}{(\frac{2\cancel{\sin{2x}}\cos{2x}}{\cancel{\sin{2x}}})^2}=\\ =\lim_{x\to 0}{(2\cos{2x})^2}=4\cdot \lim_{x\to 0}{(\cos{2x})^2}=4

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Najpierw zastosujemy wzór na sinus podwojonego kąta:

\sin{2x}=2\sin{x}\cos{x}

Zgodnie z nim mamy:

\sin{4x}=\sin{(2\cdot 2x)}=2\sin{2x}\cos{2x}

Podstawiamy do naszego zadania, wcześniej jednak zastosujemy jedno z działań na potęgach (przekształcenie zaznaczono kolorem żółtym):

\lim_{x\to 0}{\frac{\sin^2{4x}}{\sin^2{2x}}}=\lim_{x\to 0}{(\frac{\sin{4x}}{\sin{2x}})^2}=\lim_{x\to 0}{(\frac{2\sin{2x}\cos{2x}}{\sin{2x}})^2}= tło tło tło tło tło

Skracamy ułamek i otrzymujemy:

=\lim_{x\to 0}{(\frac{2\cancel{\sin{2x}}\cos{2x}}{\cancel{\sin{2x}}})^2}=\lim_{x\to 0}{(2\cos{2x})^2}=\lim_{x\to 0}{(4\cos^2{2x})}=

W lekcji poznaliśmy jedynie wzór na granicę funkcji sinus:

\lim_{x\to a}{\sin{x}}=\sin{a}

tutaj zaś mamy do czynienia z funkcją cosinus. Skorzystajmy więc z wzoru:

\sin^2{x}+\cos^2{x}=1

zgodnie z którym mamy: \cos^2{2x}=1-\sin^2{2x}. Mamy więc:

=\lim_{x\to 0}{(4\cos^2{2x})}=\lim_{x\to 0}{[4(1-\sin^2{2x})]}=\lim_{x\to 0}{(4-4\sin^2{2x})}

Zastosujmy jeszcze podstawienie

2x=u\\ u\to 0 , \ gdy \ x\to 0 \\ =\lim_{u\to 0}{(4-4\sin^2{u})}=\\ =\lim_{u\to 0}{4}-\lim_{u\to 0}{4}\cdot \lim_{u\to 0}{\sin{u}}\cdot \lim_{u\to 0}{\sin{u}}=4-4\cdot \sin{0}\cdot \sin{0}=4

ksiązki Odpowiedź

\lim_{x\to 0}{\frac{\sin^2{4x}}{\sin^2{2x}}}=4

© medianauka.pl, 2010-08-29, ZAD-874

Zadania podobne

kulkaZadanie - granica funkcji w punkcie, definicja Heinego
Oblicz korzystając z definicji Heinego \lim_{x\to -3}{\frac{x^2-9}{x+3}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - granica funkcji w punkcie; definicja Heinego
Oblicz korzystając z definicji Heinego \lim_{x\to 5}{(x+\frac{x-1}{x+1})}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - granica funkcji, definicja Cauchy'ego
Wykazać na podstawie definicji Cauchy'ego, że \lim_{x\to -3}{(\frac{x^2-9}{x+3})}=-6

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - granica funkcji na podstawie definicji Cauchy'ego
Wykazać na podstawie definicji Cauchy'ego, że \lim_{x\to 2}{(5x-7)}=3

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - granica funkcji w punkcie
Wykazać, że funkcja f(x)=\frac{x^2-|x|}{2x} nie ma granicy w punkcie 0.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - granica funkcji
Obliczyć granicę funkcji \lim_{x\to -1}{\frac{x-5}{1-x^3}}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - granica funkcji
Obliczyć granicę funkcji \lim_{x\to 0}{\frac{\sin{3x}}{x}}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - granica funkcji
Obliczyć granicę funkcji \lim_{x\to -1}{\frac{x^4-1}{x^2-1}}

Pokaż rozwiązanie zadania






Polecamy w naszym sklepie

50 idei, które powinieneś znać - matematyka
50 wielkich idei które powinieneś znać
Czy kości grają rolę Boga? Matematyka niepewności
Kolorowe skarpetki Kostka
Kolorowe skarpetki Miasto
Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© ® Media Nauka 2008-2022 r.