Nauka » Matematyka » Granica funkcji

Zadanie - granica funkcji

Obliczyć granicę funkcji $\lim_{x\to -1}{\frac{x-5}{1-x^3}}$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$\lim_{x\to -1}{\frac{x-5}{1-x^3}}=\frac{-1-5}{1+1}=\frac{-6}{2}=-3$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Korzystamy z twierdzeń o rachunku granic. Granica ilorazu funkcji jest równa ilorazowi granic funkcji:

$\lim_{x\to -1}{\frac{x-5}{1-x^3}}=\frac{\lim_{x\to -1}{(x-5)}}{\lim_{x\to -1}{(1-x^3)}}=$

Ponieważ granica różnicy funkcji jest równa różnicy granic funkcji możemy napisać:

$=\frac{\lim_{x\to -1}{x}-\lim_{x\to -1}{5}}{\lim_{x\to -1}{1}-\lim_{x\to -1}{x^3}}=$ tło

We fragmencie zaznaczonym kolorem żółtym stosujemy twierdzenie o granicy iloczynu (granica iloczynu jest równa iloczynowi granic):

$=\frac{\lim_{x\to -1}{x}-\lim_{x\to -1}{5}}{\lim_{x\to -1}{1}-\lim_{x\to -1}{(x\cdot x\cdot x)}}=\frac{\lim_{x\to -1}{x}-\lim_{x\to -1}{5}}{\lim_{x\to -1}{1}-\lim_{x\to -1}{x}\cdot \lim_{x\to -1}{x}\cdot \lim_{x\to -1}{x}}=$ tło

Teraz wystarczy skorzystać z zależności:

$\lim_{x\to a}{c}=c$

oraz

$\lim_{x\to a}{x}=a$

Mamy więc:

$\lim_{x\to -1}{x}=-1 \\ \lim_{x\to -1}{5}=5 \\ \lim_{x\to -1}{1}=1$

czyli:

$=\frac{-1-5}{1-[-1\cdot (-1)\cdot(-1)]}=\frac{-1-5}{1+1)}=\frac{-6}{2}=-3$

Odpowiedź

$\lim_{x\to -1}{\frac{x-5}{1-x^3}}=-3$

Zadania podobne

Zadanie - granica funkcji w punkcie, definicja Heinego
Oblicz korzystając z definicji Heinego $\lim_{x\to -3}{\frac{x^2-9}{x+3}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - granica funkcji w punkcie; definicja Heinego
Oblicz korzystając z definicji Heinego $\lim_{x\to 5}{(x+\frac{x-1}{x+1})}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - granica funkcji, definicja Cauchy'ego
Wykazać na podstawie definicji Cauchy'ego, że $\lim_{x\to -3}{(\frac{x^2-9}{x+3})}=-6$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - granica funkcji na podstawie definicji Cauchy'ego
Wykazać na podstawie definicji Cauchy'ego, że $\lim_{x\to 2}{(5x-7)}=3$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - granica funkcji w punkcie
Wykazać, że funkcja $f(x)=\frac{x^2-|x|}{2x}$ nie ma granicy w punkcie 0.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - granica funkcji
Obliczyć granicę funkcji $\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{3x}}{x}}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - granica funkcji
Obliczyć granicę funkcji $\lim_{x\to -1}{\frac{x^4-1}{x^2-1}}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - granica funkcji w punkcie
Obliczyć granicę funkcji $\lim_{x\to 0}{\frac{\sin^2{4x}}{\sin^2{2x}}}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.