Zadanie - granica funkcji

Treść zadania:

Obliczyć granicę funkcji \(\displaystyle\lim_{x\to -1}{\frac{x-5}{1-x^3}}\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

Korzystamy z twierdzeń o rachunku granic. Granica ilorazu funkcji jest równa ilorazowi granic funkcji:

\(\displaystyle\lim_{x\to -1}{\frac{x-5}{1-x^3}}=\frac{\displaystyle\lim_{x\to -1}{(x-5)}}{\displaystyle\lim_{x\to -1}{(1-x^3)}}=\)

Ponieważ granica różnicy funkcji jest równa różnicy granic funkcji, możemy napisać:

\(=\frac{\displaystyle\lim_{x\to -1}{x}-\lim_{x\to -1}{5}}{\displaystyle\lim_{x\to -1}{1}-\lim_{x\to -1}{x^3}}=\)

We fragmencie zaznaczonym kolorem żółtym stosujemy twierdzenie o granicy iloczynu (granica iloczynu jest równa iloczynowi granic):

\(=\frac{\displaystyle\lim_{x\to -1}{x}-\lim_{x\to -1}{5}}{\displaystyle\lim_{x\to -1}{1}-\lim_{x\to -1}{(x\cdot x\cdot x)}}=\frac{\displaystyle\lim_{x\to -1}{x}-\lim_{x\to -1}{5}}{\displaystyle\lim_{x\to -1}{1}-\lim_{x\to -1}{x}\cdot \lim_{x\to -1}{x}\cdot \lim_{x\to -1}{x}}=\)

Teraz wystarczy skorzystać z zależności:

\(\displaystyle\lim_{x\to a}{c}=c\)

oraz

\(\displaystyle\lim_{x\to a}{x}=a\)

Mamy więc:

\(\displaystyle\lim_{x\to -1}{x}=-1\)

\(\displaystyle\lim_{x\to -1}{5}=5\)

\(\displaystyle\lim_{x\to -1}{1}=1\)

czyli:

\(=\frac{-1-5}{1-[-1\cdot (-1)\cdot(-1)]}=\frac{-1-5}{1+1)}=\frac{-6}{2}=-3\)

ksiązki Odpowiedź

\(\displaystyle\lim_{x\to -1}{\frac{x-5}{1-x^3}}=-3\)

© medianauka.pl, 2010-08-25, ZAD-871

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Oblicz korzystając z definicji Heinego \(\displaystyle\lim_{x\to -3}{\frac{x^2-9}{x+3}}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Oblicz korzystając z definicji Heinego \(\displaystyle\lim_{x\to 5}{(x+\frac{x-1}{x+1})}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Wykazać na podstawie definicji Cauchy'ego, że \(\displaystyle\lim_{x\to -3}{(\frac{x^2-9}{x+3})}=-6\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Wykazać na podstawie definicji Cauchy'ego, że \(\displaystyle\lim_{x\to 2}{(5x-7)}=3\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Wykazać, że funkcja \(f(x)=\frac{x^2-|x|}{2x}\) nie ma granicy w punkcie 0.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Obliczyć granicę funkcji \(\displaystyle\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{3x}}{x}}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Obliczyć granicę funkcji \(\displaystyle\lim_{x\to -1}{\frac{x^4-1}{x^2-1}}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8.

Obliczyć granicę funkcji \(\displaystyle\lim_{x\to 0}{\frac{\sin^2{4x}}{\sin^2{2x}}}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.




©® Media Nauka 2008-2023 r.