Logo Media Nauka
Sklep naukowy

Ciągłość funkcji

Zakładamy, że funkcja f(x) jest określona w otoczeniu punktu x0.

Definicja Definicja

Mówimy, że funkcja f(x) jest ciągła w punkcie x0, jeżeli:

\lim_{x\to x_0}{f(x)}=f(x_0)

Zatem funkcja f(x) jest ciągła w punkcie x0 jeżeli:
1) ma w punkcie x0 granicę równą g,
2) posiada w punkcie x0 wartość f(x0),
3) granica g równa jest wartości funkcji f(x0).

Przykład Przykład

Sprawdzimy, czy funkcja f(x)=\begin{cases}3\ dla\ x\geq 1\\x \ dla \ x<1\end{cases} jest ciągła w punkcie x0=1.

W tym celu obliczamy granicę lewostronną i prawostronną:
\lim_{x\to 1+}{f(x)}=\lim_{x\to 1+}{3}=3
a następnie lewostronną:
\lim_{x\to 1-}{f(x)}=\lim_{x\to 1-}{x}=1
Ponieważ w punkcie x0=1 granice prawostronna i lewostronna nie są sobie równe, to nie istnieje granica w tym punkcie, a funkcja nie jest ciągła w tym punkcie.

Warto jeszcze przyjrzeć się wykresowi tej funkcji, aby móc sobie wyobrazić na czym polega ciągłość lub brak ciągłości funkcji w punkcie.

Wykres

Zauważ, że w każdym innym punkcie funkcja ta jest ciągła.

Teoria Jeżeli w danym punkcie funkcja posiada granicę tylko jednostronną, to mówimy o ciągłości jednostronnej (prawostronnej lub lewostronnej).

Definicja Definicja

Funkcja f(x) jest ciągła w przedziale otwartym (a,b), wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału.

Definicja Definicja

Funkcja f(x) jest ciągła w przedziale domkniętym <a,b>, wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła w przedziale (a,b) oraz jest prawostronnie ciągła w punkcie x0=a i lewostronnie ciągła w punkcie x0=b.

Twierdzenie Twierdzenie o ciągłości funkcji elementarnych

Wszystkie funkcje elementarne (wielomiany, funkcje wymierne, wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczne) są ciągłe w swoich dziedzinach.

Poniższa ilustracja pokazuje dwie różne funkcje. Jedna z nich jest ciągła, druga nie:

wykres

© medianauka.pl, 2010-08-29, ART-875






Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.


zadanie-ikonka Zadanie - ciągłość funkcji
Zbadać, czy funkcja f(x)=\begin{cases} -2x, \ dla \ x \leq 0 \\ x^2, \ dla \ x > 0 \end{cases} jest ciągła w punkcie x0=0.

zadanie-ikonka Zadanie - ciągłość funkcji, zadanie z parametrem
Dla jakich wartości parametru a funkcja f(x)=\begin{cases} 2x^2-a, \ dla \ x \geq 1 \\ x-1, \ dla \ x < 1 \end{cases} jest ciągła w punkcie x0=1?

zadanie-ikonka Zadanie - ciągłość funkcji w przedziale
Sprawdzić, czy funkcja
f(x)=\begin{cases} \frac{x^2+x-6}{x-2}, \ dla \ x\in(-\infty;2) \\5, \ dla\ x=2 \\  3x-1, \ dla \ x\in (2;\infty) \end{cases}
jest ciągła w zbiorze liczb rzeczywistych.

zadanie-ikonka Zadanie - ciągłość funkcji
Sprawdzić, czy funkcja f(x)=|x+1|-x jest ciągła w punkcie x0=-1.




Polecamy koszyk



© Media Nauka 2008-2017 r.