Ciągłość funkcji

Zakładamy, że funkcja f(x) jest określona w otoczeniu punktu x₀.

Definicja

Mówimy, że funkcja f(x) jest ciągła w punkcie x₀, jeżeli:

$\lim_{x\to x_0}{f(x)}=f(x_0)$

Zatem funkcja f(x) jest ciągła w punkcie x₀ jeżeli:
1) ma w punkcie x₀ granicę równą g,
2) posiada w punkcie x₀ wartość f(x₀),
3) granica g równa jest wartości funkcji f(x₀).

Przykład

Sprawdzimy, czy funkcja $f(x)=\begin{cases}3\ dla\ x\geq 1\\x \ dla \ x<1\end{cases}$ jest ciągła w punkcie x₀=1.

W tym celu obliczamy granicę lewostronną i prawostronną:
$\lim_{x\to 1+}{f(x)}=\lim_{x\to 1+}{3}=3$
a następnie lewostronną:
$\lim_{x\to 1-}{f(x)}=\lim_{x\to 1-}{x}=1$
Ponieważ w punkcie x₀=1 granice prawostronna i lewostronna nie są sobie równe, to nie istnieje granica w tym punkcie, a funkcja nie jest ciągła w tym punkcie.

Warto jeszcze przyjrzeć się wykresowi tej funkcji, aby móc sobie wyobrazić na czym polega ciągłość lub brak ciągłości funkcji w punkcie.

Zauważ, że w każdym innym punkcie funkcja ta jest ciągła.

Jeżeli w danym punkcie funkcja posiada granicę tylko jednostronną, to mówimy o ciągłości jednostronnej (prawostronnej lub lewostronnej).

Definicja

Funkcja f(x) jest ciągła w przedziale otwartym (a,b), wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału.

Definicja

Funkcja f(x) jest ciągła w przedziale domkniętym <a,b>, wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła w przedziale (a,b) oraz jest prawostronnie ciągła w punkcie x₀=a i lewostronnie ciągła w punkcie x₀=b.

Twierdzenie o ciągłości funkcji elementarnych