Ciągłość funkcji

Ciągłość funkcji możemy rozpatrywać w danym punkcie lub w przedziale argumentów funkcji. Omówimy oba przypadki.

Ciągłość funkcji w punkcie

Definicja ciągłości funkcji w punkcie jest następująca:

Zakładamy, że funkcja f(x) jest określona w otoczeniu punktu x₀.

Definicja

Mówimy, że funkcja f(x) jest ciągła w punkcie x₀, jeżeli:

$\lim_{x\to x_0}{f(x)}=f(x_0)$

Zatem funkcja f(x) jest ciągła w punkcie x₀ jeżeli:
1) ma w punkcie x₀ granicę równą g,
2) posiada w punkcie x₀ wartość f(x₀),
3) granica g równa jest wartości funkcji f(x₀).

Przykład

Sprawdzimy, czy funkcja $f(x)=\begin{cases}3\ dla\ x\geq 1\\x \ dla \ x<1\end{cases}$ jest ciągła w punkcie x₀=1.

W tym celu obliczamy granicę lewostronną i prawostronną:
$\lim_{x\to 1+}{f(x)}=\lim_{x\to 1+}{3}=3$
a następnie lewostronną:
$\lim_{x\to 1-}{f(x)}=\lim_{x\to 1-}{x}=1$
Ponieważ w punkcie x₀=1 granice prawostronna i lewostronna nie są sobie równe, to nie istnieje granica w tym punkcie, a funkcja nie jest ciągła w tym punkcie.

Warto jeszcze przyjrzeć się wykresowi tej funkcji, aby móc sobie wyobrazić na czym polega ciągłość lub brak ciągłości funkcji w punkcie.

Zauważ, że w każdym innym punkcie funkcja ta jest ciągła.

Jeżeli w danym punkcie funkcja posiada granicę tylko jednostronną, to mówimy o ciągłości jednostronnej (prawostronnej lub lewostronnej).

Ciągłość funkcji w przedziale

Definicja

Funkcja f(x) jest ciągła w przedziale otwartym (a,b), wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału.

Definicja

Funkcja f(x) jest ciągła w przedziale domkniętym <a,b>, wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła w przedziale (a,b) oraz jest prawostronnie ciągła w punkcie x₀=a i lewostronnie ciągła w punkcie x₀=b.

Ciągłość funkcji elementarnych

Twierdzenie o ciągłości funkcji elementarnych

Wszystkie funkcje elementarne (wielomiany, funkcje wymierne, wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczne) są ciągłe w swoich dziedzinach.

Poniższa ilustracja pokazuje dwie różne funkcje. Jedna z nich jest ciągła, druga nie:

Badanie ciągłości funkcji

Badanie ciągłości funkcji możemy przeprowadzać w oparciu o badanie granic funkcji tak, jak to pokazano na powyższym przykładzie. Między ciągłością funkcji a istnieniem pochodnej funkcji w danym punkcie istnieje silna zależność. Omawiamy ją w artykule: Różniczkowalność a ciągłość funkcji.

Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Ciągłość funkcji

Zadanie - ciągłość funkcji
Zbadać, czy funkcja $f(x)=\begin{cases} -2x, \ dla \ x \leq 0 \\ x^2, \ dla \ x > 0 \end{cases}$ jest ciągła w punkcie x₀=0.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - ciągłość funkcji, zadanie z parametrem
Dla jakich wartości parametru a funkcja $f(x)=\begin{cases} 2x^2-a, \ dla \ x \geq 1 \\ x-1, \ dla \ x < 1 \end{cases}$ jest ciągła w punkcie x₀=1?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - ciągłość funkcji w przedziale
Sprawdzić, czy funkcja
$f(x)=\begin{cases} \frac{x^2+x-6}{x-2}, \ dla \ x\in(-\infty;2) \\5, \ dla\ x=2 \\ 3x-1, \ dla \ x\in (2;\infty) \end{cases}$
jest ciągła w zbiorze liczb rzeczywistych.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - ciągłość funkcji
Sprawdzić, czy funkcja f(x)=|x+1|-x jest ciągła w punkcie x₀=-1.

Pokaż rozwiązanie zadania