Ciągłość funkcji
Ciągłość funkcji możemy rozpatrywać w danym punkcie lub w przedziale argumentów funkcji. Omówimy oba przypadki.
Ciągłość funkcji w punkcie
Definicja ciągłości funkcji w punkcie jest następująca:
Zakładamy, że funkcja f(x) jest określona w otoczeniu punktu x0.
Definicja
Mówimy, że funkcja f(x) jest ciągła w punkcie x0, jeżeli:

Zatem funkcja f(x) jest ciągła w punkcie x0 jeżeli:
1) ma w punkcie x0 granicę równą g,
2) posiada w punkcie x0 wartość f(x0),
3) granica g równa jest wartości funkcji f(x0).
Przykład
Sprawdzimy, czy funkcja
jest ciągła w punkcie x0=1.
W tym celu obliczamy granicę lewostronną i prawostronną:
a następnie lewostronną:
Ponieważ w punkcie x0=1 granice prawostronna i lewostronna nie są sobie równe, to nie istnieje granica w tym punkcie, a funkcja nie jest ciągła w tym punkcie.
Warto jeszcze przyjrzeć się wykresowi tej funkcji, aby móc sobie wyobrazić na czym polega ciągłość lub brak ciągłości funkcji w punkcie.

Zauważ, że w każdym innym punkcie funkcja ta jest ciągła.
Jeżeli w danym punkcie funkcja posiada granicę tylko jednostronną, to mówimy o ciągłości jednostronnej (prawostronnej lub lewostronnej).
Ciągłość funkcji w przedziale
Definicja
Funkcja f(x) jest ciągła w przedziale otwartym (a,b), wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału.
Definicja
Funkcja f(x) jest ciągła w przedziale domkniętym <a,b>, wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła w przedziale (a,b) oraz jest prawostronnie ciągła w punkcie x0=a i lewostronnie ciągła w punkcie x0=b.
Ciągłość funkcji elementarnych
Twierdzenie o ciągłości funkcji elementarnych
Wszystkie funkcje elementarne (wielomiany, funkcje wymierne, wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczne) są ciągłe w swoich dziedzinach.
Poniższa ilustracja pokazuje dwie różne funkcje. Jedna z nich jest ciągła, druga nie:

Badanie ciągłości funkcji
Badanie ciągłości funkcji możemy przeprowadzać w oparciu o badanie granic funkcji tak, jak to pokazano na powyższym przykładzie. Między ciągłością funkcji a istnieniem pochodnej funkcji w danym punkcie istnieje silna zależność. Omawiamy ją w artykule: Różniczkowalność a ciągłość funkcji.
Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Ciągłość funkcji
Zadanie - ciągłość funkcji
Zbadać, czy funkcja
jest ciągła w punkcie x0=0.
Zadanie - ciągłość funkcji, zadanie z parametrem
Dla jakich wartości parametru a funkcja jest ciągła w punkcie x0=1?
Zadanie - ciągłość funkcji w przedziale
Sprawdzić, czy funkcja
jest ciągła w zbiorze liczb rzeczywistych.
Zadanie - ciągłość funkcji
Sprawdzić, czy funkcja f(x)=|x+1|-x jest ciągła w punkcie x0=-1.
© medianauka.pl, 2010-08-29, ART-875