Zadanie - ciągłość funkcji w przedziale

Rozwiązanie zadania

Dana jest funkcja

\(f(x)=\begin{cases} \frac{x^2+x-6}{x-2}, \ dla \ x\in(-\infty;2) \\5, \ dla\ x=2 \\ 3x-1, \ dla \ x\in (2;\infty) \end{cases}\)

Na podstawie twierdzenia o ciągłości funkcji elementarnych możemy od razu stwierdzić, że funkcja jest ciągła w przedziałach:

• \((-\infty;2)\) jako funkcja wymierna o mianowniku różnym od zera w tym przedziale,
• \(2;\infty)\) jako funkcja liniowa.

Nie mamy pewności co do punktu \(x_0=2\) i jedynie w tym przypadku wystarczy zbadać ciągłość funkcji.

Aby sprawdzić ciągłość funkcji w punkcie musimy w pierwszym kroku zbadać granice lewostronną i prawostronną.

1) Obliczamy granicę funkcji \(f(x)\) w punkcie \(x_0\):

\(\displaystyle\lim_{x\to 2^+}{f(x)}=\lim_{x\to 2^+}{(3x-1)}=3\cdot 2-1=5\)

Ponieważ rozpatrujemy granicę prawostronną, interesują nas wartości większe od 2. Zgodnie z określeniem naszej funkcji przyjmuje ona wartości \(3x-1\) dla argumentów większych od 2.

Obliczamy granicę lewostronną:

\(\displaystyle\lim_{x\to 2^-}{f(x)}=\lim_{x\to 2^-}{\frac{x^2+x-6}{x-2}}=\)

Wyjaśnienie: ponieważ rozpatrujemy granicę lewostronną, interesują nas wartości mniejsze od 2. Zgodnie z określeniem naszej funkcji przyjmuje ona takie wartości dla argumentów mniejszych od 2.

Musimy licznik ułamka rozłożyć na czynniki:

\(x^2+x-6\)

\(a=1, b=1, c=-6\)

\(\Delta=b^2-4ac=1-4\cdot 1\cdot (-6)=1+24=25\)

\(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1-5}{2}=-3\)

\(x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1+5}{2}=2\)

\(x^2+x-6=(x-2)(x+3)\)

Wracamy do naszej granicy:

\(=\displaystyle\lim_{x\to 2^-}{\frac{\cancel{(x-2)}(x+3)}{\cancel{x-2}}}=\lim_{x\to 2^-}{(x+3)}=5\)

Ponieważ granica lewostronna i prawostronna mają taką samą wartość, równą 5, to funkcja posiada granicę w tym punkcie.

Krokiem kolejnym w badaniu ciągłości funkcji jest obliczenie wartości funkcji w punkcie.

2) Obliczamy wartość funkcji w punkcie \(x_0=2\):

\(f(x_0)=f(2)=5\)

3) Sprawdzamy, czy granica funkcji w punkcie jest równa wartości funkcji w tym punkcie.

Ponieważ \(\displaystyle\lim_{x\to 2}{f(x)}=f(2)=5\), to funkcja ta jest ciągła w tym punkcie, jest zatem ciągła w całym zbiorze \(\mathbb{R}\).

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2010-09-02, ZAD-880

Zadania podobne

Zbadać, czy funkcja \(f(x)=\begin{cases} -2x, \ dla \ x \leq 0 \\ x^2, \ dla \ x > 0 \end{cases}\) jest ciągła w punkcie \(x_0=0\).

Dla jakich wartości parametru \(a\) funkcja \(f(x)=\begin{cases} 2x^2-a, \ dla \ x \geq 1 \\ x-1, \ dla \ x < 1 \end{cases}\) jest ciągła w punkcie \(x_0=1\)?

Sprawdzić, czy funkcja \(f(x)=|x+1|-x\) jest ciągła w punkcie \(x_0=-1\).