Logo Media Nauka
Sklep naukowy

zadanie

Zadanie - ciągłość funkcji w przedziale


Sprawdzić, czy funkcja
f(x)=\begin{cases} \frac{x^2+x-6}{x-2}, \ dla \ x\in(-\infty;2) \\5, \ dla\ x=2 \\  3x-1, \ dla \ x\in (2;\infty) \end{cases}
jest ciągła w zbiorze liczb rzeczywistych.


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

Na podstawie twierdzenia o ciągłości funkcji elementarnych funkcja f(x) jest ciągła w w zbiorze R\{2}. Należy sprawdzić ciągłość funkcji w punkcie x0=2

\lim_{x\to 2^+}{(3x-1)}=5 \\ \lim_{x\to 2^-}{\frac{x^2+x-6}{x-2}}=\lim_{x\to 2^-}{\frac{(x-2)(x+3)}{x-2}}=\lim_{x\to 2^-}{(x+3)}=5\\ f(x_0)=f(2)=5=\lim_{x\to 2}{f(x)}

Funkcja f(x) jest ciągła w R.

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Dana jest funkcja
f(x)=\begin{cases} \frac{x^2+x-6}{x-2}, \ dla \ x\in(-\infty;2) \\5, \ dla\ x=2 \\  3x-1, \ dla \ x\in (2;\infty) \end{cases}

Na podstawie twierdzenia o ciągłości funkcji elementarnych możemy od razu stwierdzić, że funkcja jest ciągła w przedziałach:

  • (-\infty;2) jako funkcja wymierna o mianowniku różnym od zera w tym przedziale,
  • (2;\infty) jako funkcja liniowa.

Nie mamy pewności co do punktu x0=2 i jedynie w tym przypadku wystarczy zbadać ciągłość funkcji.

Aby sprawdzić ciągłość funkcji w punkcie musimy w pierwszym kroku zbadać granice lewostronną i prawostronną.

1) Obliczamy granicę funkcji f(x) w punkcie x0:

\lim_{x\to 2^+}{f(x)}=\lim_{x\to 2^+}{(3x-1)}=3\cdot 2-1=5 tło

Wyjaśnienie do fragmentu zaznaczonego kolorem żółtym: ponieważ rozpatrujemy granicę prawostronną, interesują nas wartości większe od 2. Zgodnie z określeniem naszej funkcji przyjmuje ona wartości 3x-1 dla argumentów większych od 2.

Obliczamy granicę lewostronną

\lim_{x\to 2^-}{f(x)}=\lim_{x\to 2^-}{\frac{x^2+x-6}{x-2}}= tło

Wyjaśnienie do fragmentu zaznaczonego kolorem niebieskim: ponieważ rozpatrujemy granicę lewostronną, interesują nas wartości mniejsze od 2. Zgodnie z określeniem naszej funkcji przyjmuje ona takie wartości dla argumentów mniejszych od 2.

Musimy licznik ułamka rozłożyć na czynniki:

x^2+x-6 \\ a=1, b=1, c=-6 \\ \Delta=b^2-4ac=1-4\cdot 1\cdot (-6)=1+24=25\\ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1-5}{2}=-3 \\ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1+5}{2}=2\\ x^2+x-6=(x-2)(x+3)

Wracamy do naszej granicy:

=\lim_{x\to 2^-}{\frac{\cancel{(x-2)}(x+3)}{\cancel{x-2}}}=\lim_{x\to 2^-}{(x+3)}=5

Ponieważ granica lewostronna i prawostronna mają taką samą wartość, równą 5, to funkcja posiada granicę w tym punkcie.

Krokiem kolejnym w badaniu ciągłości funkcji jest obliczenie wartości funkcji w punkcie.

2) Obliczamy wartość funkcji w punkcie x0=2:

f(x_0)=f(2)=5

3) Sprawdzamy, czy granica funkcji w punkcie jest równa wartości funkcji w tym punkcie.

Ponieważ

\lim_{x\to 2}{f(x)}=f(2)=5

Funkcja ta jest ciągła w tym punkcie, jest zatem ciągła w całym zbiorze R.

ksiązki Odpowiedź

Funkcja f(x) jest ciągła w R.

© medianauka.pl, 2010-09-02, ZAD-880





Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.