Zadanie - ciągłość funkcji w przedziale

jest ciągła w zbiorze liczb rzeczywistych.
Rozwiązanie zadania uproszczone
Na podstawie twierdzenia o ciągłości funkcji elementarnych funkcja f(x) jest ciągła w w zbiorze R\{2}. Należy sprawdzić ciągłość funkcji w punkcie x0=2

Funkcja f(x) jest ciągła w R.
Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami
Dana jest funkcja
Na podstawie twierdzenia o ciągłości funkcji elementarnych możemy od razu stwierdzić, że funkcja jest ciągła w przedziałach:
jako funkcja wymierna o mianowniku różnym od zera w tym przedziale,
jako funkcja liniowa.
Nie mamy pewności co do punktu x0=2 i jedynie w tym przypadku wystarczy zbadać ciągłość funkcji.
Aby sprawdzić ciągłość funkcji w punkcie musimy w pierwszym kroku zbadać granice lewostronną i prawostronną.
1) Obliczamy granicę funkcji f(x) w punkcie x0:


Wyjaśnienie do fragmentu zaznaczonego kolorem żółtym: ponieważ rozpatrujemy granicę prawostronną, interesują nas wartości większe od 2. Zgodnie z określeniem naszej funkcji przyjmuje ona wartości 3x-1 dla argumentów większych od 2.
Obliczamy granicę lewostronną


Wyjaśnienie do fragmentu zaznaczonego kolorem niebieskim: ponieważ rozpatrujemy granicę lewostronną, interesują nas wartości mniejsze od 2. Zgodnie z określeniem naszej funkcji przyjmuje ona takie wartości dla argumentów mniejszych od 2.
Musimy licznik ułamka rozłożyć na czynniki:

Wracamy do naszej granicy:

Ponieważ granica lewostronna i prawostronna mają taką samą wartość, równą 5, to funkcja posiada granicę w tym punkcie.
Krokiem kolejnym w badaniu ciągłości funkcji jest obliczenie wartości funkcji w punkcie.
2) Obliczamy wartość funkcji w punkcie x0=2:

3) Sprawdzamy, czy granica funkcji w punkcie jest równa wartości funkcji w tym punkcie.
Ponieważ

Funkcja ta jest ciągła w tym punkcie, jest zatem ciągła w całym zbiorze R.
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2010-09-02, ZAD-880
Zadania podobne

Zbadać, czy funkcja

Pokaż rozwiązanie zadania

Dla jakich wartości parametru a funkcja

Pokaż rozwiązanie zadania

Sprawdzić, czy funkcja f(x)=|x+1|-x jest ciągła w punkcie x0=-1.
Pokaż rozwiązanie zadania