Nauka » Matematyka » Ciągłość funkcji

Zadanie - ciągłość funkcji w przedziale

Sprawdzić, czy funkcja
$f(x)=\begin{cases} \frac{x^2+x-6}{x-2}, \ dla \ x\in(-\infty;2) \\5, \ dla\ x=2 \\ 3x-1, \ dla \ x\in (2;\infty) \end{cases}$
jest ciągła w zbiorze liczb rzeczywistych.

Rozwiązanie zadania uproszczone

Na podstawie twierdzenia o ciągłości funkcji elementarnych funkcja f(x) jest ciągła w w zbiorze R\{2}. Należy sprawdzić ciągłość funkcji w punkcie x₀=2

$\lim_{x\to 2^+}{(3x-1)}=5 \\ \lim_{x\to 2^-}{\frac{x^2+x-6}{x-2}}=\lim_{x\to 2^-}{\frac{(x-2)(x+3)}{x-2}}=\lim_{x\to 2^-}{(x+3)}=5\\ f(x_0)=f(2)=5=\lim_{x\to 2}{f(x)}$

Funkcja f(x) jest ciągła w R.

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Dana jest funkcja
$f(x)=\begin{cases} \frac{x^2+x-6}{x-2}, \ dla \ x\in(-\infty;2) \\5, \ dla\ x=2 \\ 3x-1, \ dla \ x\in (2;\infty) \end{cases}$

Na podstawie twierdzenia o ciągłości funkcji elementarnych możemy od razu stwierdzić, że funkcja jest ciągła w przedziałach:

$(-\infty;2)$ jako funkcja wymierna o mianowniku różnym od zera w tym przedziale,
$(2;\infty)$ jako funkcja liniowa.

Nie mamy pewności co do punktu x₀=2 i jedynie w tym przypadku wystarczy zbadać ciągłość funkcji.

Aby sprawdzić ciągłość funkcji w punkcie musimy w pierwszym kroku zbadać granice lewostronną i prawostronną.

1) Obliczamy granicę funkcji f(x) w punkcie x₀:

$\lim_{x\to 2^+}{f(x)}=\lim_{x\to 2^+}{(3x-1)}=3\cdot 2-1=5$ tło

Wyjaśnienie do fragmentu zaznaczonego kolorem żółtym: ponieważ rozpatrujemy granicę prawostronną, interesują nas wartości większe od 2. Zgodnie z określeniem naszej funkcji przyjmuje ona wartości 3x-1 dla argumentów większych od 2.

Obliczamy granicę lewostronną

$\lim_{x\to 2^-}{f(x)}=\lim_{x\to 2^-}{\frac{x^2+x-6}{x-2}}=$ tło

Wyjaśnienie do fragmentu zaznaczonego kolorem niebieskim: ponieważ rozpatrujemy granicę lewostronną, interesują nas wartości mniejsze od 2. Zgodnie z określeniem naszej funkcji przyjmuje ona takie wartości dla argumentów mniejszych od 2.

Musimy licznik ułamka rozłożyć na czynniki:

$x^2+x-6 \\ a=1, b=1, c=-6 \\ \Delta=b^2-4ac=1-4\cdot 1\cdot (-6)=1+24=25\\ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1-5}{2}=-3 \\ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1+5}{2}=2\\ x^2+x-6=(x-2)(x+3)$

Wracamy do naszej granicy:

$=\lim_{x\to 2^-}{\frac{\cancel{(x-2)}(x+3)}{\cancel{x-2}}}=\lim_{x\to 2^-}{(x+3)}=5$

Ponieważ granica lewostronna i prawostronna mają taką samą wartość, równą 5, to funkcja posiada granicę w tym punkcie.

Krokiem kolejnym w badaniu ciągłości funkcji jest obliczenie wartości funkcji w punkcie.

2) Obliczamy wartość funkcji w punkcie x₀=2:

3) Sprawdzamy, czy granica funkcji w punkcie jest równa wartości funkcji w tym punkcie.

Ponieważ

$\lim_{x\to 2}{f(x)}=f(2)=5$

Funkcja ta jest ciągła w tym punkcie, jest zatem ciągła w całym zbiorze R.

Odpowiedź

Funkcja f(x) jest ciągła w R.

Zadania podobne

Zadanie - ciągłość funkcji
Zbadać, czy funkcja $f(x)=\begin{cases} -2x, \ dla \ x \leq 0 \\ x^2, \ dla \ x > 0 \end{cases}$ jest ciągła w punkcie x₀=0.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - ciągłość funkcji, zadanie z parametrem
Dla jakich wartości parametru a funkcja $f(x)=\begin{cases} 2x^2-a, \ dla \ x \geq 1 \\ x-1, \ dla \ x < 1 \end{cases}$ jest ciągła w punkcie x₀=1?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - ciągłość funkcji
Sprawdzić, czy funkcja f(x)=|x+1|-x jest ciągła w punkcie x₀=-1.

Pokaż rozwiązanie zadania