Logo Media Nauka

Zadanie - ciągłość funkcji

Zbadać, czy funkcja f(x)=\begin{cases} -2x, \ dla \ x \leq 0 \\ x^2, \ dla \ x > 0 \end{cases} jest ciągła w punkcie x0=0.

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

\lim_{x\to 0^+}{x^2}=0 \\ \lim_{x\to 0^-}{(-2x)}=0 \\ \lim_{x\to 0}{f(x)}=0\\ f(x_0)=f(0)=0 \\ \lim_{x\to 0}{f(x)}=f(0)
Funkcja f(x) jest ciągła w punkcie x0.

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Dana jest funkcja:
f(x)=\begin{cases} -2x, \ dla \ x \leq 0 \\ x^2, \ dla \ x > 0 \end{cases}

Aby sprawdzić ciągłość funkcji musimy w pierwszym kroku zbadać granice lewostronną i prawostronną.

1) Obliczamy granicę funkcji f(x) w punkcie x0:

\lim_{x\to 0^+}{f(x)}=\lim_{x\to 0^+}{x^2}=0^2=0 tło

Wyjaśnienie do fragmentu zaznaczonego kolorem żółtym: ponieważ rozpatrujemy granicę prawostronną, interesują nas wartości większe od zera. Zgodnie z określeniem naszej funkcji przyjmuje ona wartości x2 dla argumentów większych od zera.

Obliczamy granicę lewostronną

\lim_{x\to 0^-}{f(x)}=\lim_{x\to 0^-}{(-2x)}=-2\cdot 0=0 tło

Wyjaśnienie do fragmentu zaznaczonego kolorem niebieskim: ponieważ rozpatrujemy granicę lewostronną, interesują nas wartości mniejsze od zera. Zgodnie z określeniem naszej funkcji przyjmuje ona wartości -2x dla argumentów mniejszych od zera.

Ponieważ granica lewostronna i prawostronna ma taką samą wartość, oznacza to, że funkcja f(x) posiada granicę w punkcie x0=0 równą 0.

Krokiem kolejnym w badaniu ciągłości funkcji jest obliczenie wartości funkcji w punkcie.

2) Obliczamy wartość funkcji w punkcie x0=0:

f(x)=f(0)=-2\cdot 0=0

3) Sprawdzamy, czy granica funkcji w punkcie jest równa wartości funkcji w tym punkcie.

Ponieważ

\lim_{x\to 0}{f(x)}=f(0)=0

ksiązki Odpowiedź

Funkcja f(x) jest ciągła w x0=0.

© medianauka.pl, 2010-09-01, ZAD-878



Zadania podobne

kulkaZadanie - ciągłość funkcji, zadanie z parametrem
Dla jakich wartości parametru a funkcja f(x)=\begin{cases} 2x^2-a, \ dla \ x \geq 1 \\ x-1, \ dla \ x < 1 \end{cases} jest ciągła w punkcie x0=1?

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - ciągłość funkcji w przedziale
Sprawdzić, czy funkcja
f(x)=\begin{cases} \frac{x^2+x-6}{x-2}, \ dla \ x\in(-\infty;2) \\5, \ dla\ x=2 \\  3x-1, \ dla \ x\in (2;\infty) \end{cases}
jest ciągła w zbiorze liczb rzeczywistych.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - ciągłość funkcji
Sprawdzić, czy funkcja f(x)=|x+1|-x jest ciągła w punkcie x0=-1.

Pokaż rozwiązanie zadania



© Media Nauka 2008-2018 r.