Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie - ciągłość funkcji


Zbadać, czy funkcja f(x)=\begin{cases} -2x, \ dla \ x \leq 0 \\ x^2, \ dla \ x > 0 \end{cases} jest ciągła w punkcie x0=0.


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

\lim_{x\to 0^+}{x^2}=0 \\ \lim_{x\to 0^-}{(-2x)}=0 \\ \lim_{x\to 0}{f(x)}=0\\ f(x_0)=f(0)=0 \\ \lim_{x\to 0}{f(x)}=f(0)
Funkcja f(x) jest ciągła w punkcie x0.

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Dana jest funkcja:
f(x)=\begin{cases} -2x, \ dla \ x \leq 0 \\ x^2, \ dla \ x > 0 \end{cases}

Aby sprawdzić ciągłość funkcji musimy w pierwszym kroku zbadać granice lewostronną i prawostronną.

1) Obliczamy granicę funkcji f(x) w punkcie x0:

\lim_{x\to 0^+}{f(x)}=\lim_{x\to 0^+}{x^2}=0^2=0 tło

Wyjaśnienie do fragmentu zaznaczonego kolorem żółtym: ponieważ rozpatrujemy granicę prawostronną, interesują nas wartości większe od zera. Zgodnie z określeniem naszej funkcji przyjmuje ona wartości x2 dla argumentów większych od zera.

Obliczamy granicę lewostronną

\lim_{x\to 0^-}{f(x)}=\lim_{x\to 0^-}{(-2x)}=-2\cdot 0=0 tło

Wyjaśnienie do fragmentu zaznaczonego kolorem niebieskim: ponieważ rozpatrujemy granicę lewostronną, interesują nas wartości mniejsze od zera. Zgodnie z określeniem naszej funkcji przyjmuje ona wartości -2x dla argumentów mniejszych od zera.

Ponieważ granica lewostronna i prawostronna ma taką samą wartość, oznacza to, że funkcja f(x) posiada granicę w punkcie x0=0 równą 0.

Krokiem kolejnym w badaniu ciągłości funkcji jest obliczenie wartości funkcji w punkcie.

2) Obliczamy wartość funkcji w punkcie x0=0:

f(x)=f(0)=-2\cdot 0=0

3) Sprawdzamy, czy granica funkcji w punkcie jest równa wartości funkcji w tym punkcie.

Ponieważ

\lim_{x\to 0}{f(x)}=f(0)=0

ksiązki Odpowiedź

Funkcja f(x) jest ciągła w x0=0.

© medianauka.pl, 2010-09-01, ZAD-878


Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.