Nauka » Matematyka » Ciągłość funkcji

Zadanie - ciągłość funkcji

Zbadać, czy funkcja $f(x)=\begin{cases} -2x, \ dla \ x \leq 0 \\ x^2, \ dla \ x > 0 \end{cases}$ jest ciągła w punkcie x₀=0.

Rozwiązanie zadania uproszczone

$\lim_{x\to 0^+}{x^2}=0 \\ \lim_{x\to 0^-}{(-2x)}=0 \\ \lim_{x\to 0}{f(x)}=0\\ f(x_0)=f(0)=0 \\ \lim_{x\to 0}{f(x)}=f(0)$
Funkcja f(x) jest ciągła w punkcie x₀.

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Dana jest funkcja:
$f(x)=\begin{cases} -2x, \ dla \ x \leq 0 \\ x^2, \ dla \ x > 0 \end{cases}$

Aby sprawdzić ciągłość funkcji musimy w pierwszym kroku zbadać granice lewostronną i prawostronną.

1) Obliczamy granicę funkcji f(x) w punkcie x₀:

$\lim_{x\to 0^+}{f(x)}=\lim_{x\to 0^+}{x^2}=0^2=0$ tło

Wyjaśnienie do fragmentu zaznaczonego kolorem żółtym: ponieważ rozpatrujemy granicę prawostronną, interesują nas wartości większe od zera. Zgodnie z określeniem naszej funkcji przyjmuje ona wartości x² dla argumentów większych od zera.

Obliczamy granicę lewostronną

$\lim_{x\to 0^-}{f(x)}=\lim_{x\to 0^-}{(-2x)}=-2\cdot 0=0$ tło

Wyjaśnienie do fragmentu zaznaczonego kolorem niebieskim: ponieważ rozpatrujemy granicę lewostronną, interesują nas wartości mniejsze od zera. Zgodnie z określeniem naszej funkcji przyjmuje ona wartości -2x dla argumentów mniejszych od zera.

Ponieważ granica lewostronna i prawostronna ma taką samą wartość, oznacza to, że funkcja f(x) posiada granicę w punkcie x₀=0 równą 0.

Krokiem kolejnym w badaniu ciągłości funkcji jest obliczenie wartości funkcji w punkcie.

2) Obliczamy wartość funkcji w punkcie x₀=0:

$f(x)=f(0)=-2\cdot 0=0$

3) Sprawdzamy, czy granica funkcji w punkcie jest równa wartości funkcji w tym punkcie.

Ponieważ

$\lim_{x\to 0}{f(x)}=f(0)=0$

Odpowiedź

Funkcja f(x) jest ciągła w x₀=0.

Zadania podobne

Zadanie - ciągłość funkcji, zadanie z parametrem
Dla jakich wartości parametru a funkcja $f(x)=\begin{cases} 2x^2-a, \ dla \ x \geq 1 \\ x-1, \ dla \ x < 1 \end{cases}$ jest ciągła w punkcie x₀=1?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - ciągłość funkcji w przedziale
Sprawdzić, czy funkcja
$f(x)=\begin{cases} \frac{x^2+x-6}{x-2}, \ dla \ x\in(-\infty;2) \\5, \ dla\ x=2 \\ 3x-1, \ dla \ x\in (2;\infty) \end{cases}$
jest ciągła w zbiorze liczb rzeczywistych.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - ciągłość funkcji
Sprawdzić, czy funkcja f(x)=|x+1|-x jest ciągła w punkcie x₀=-1.

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.