Nauka » Matematyka » Ciągłość funkcji

Zadanie - ciągłość funkcji

Treść zadania:

Zbadać, czy funkcja \(f(x)=\begin{cases} -2x, \ dla \ x \leq 0 \\ x^2, \ dla \ x > 0 \end{cases}\) jest ciągła w punkcie \(x_0=0\).

Rozwiązanie zadania

Dana jest funkcja:

\(f(x)=\begin{cases} -2x, \ dla \ x \leq 0 \\ x^2, \ dla \ x > 0 \end{cases}\)

Aby sprawdzić ciągłość funkcji musimy w pierwszym kroku zbadać granice lewostronną i prawostronną.

1) Obliczamy granicę funkcji \(f(x)\) w punkcie \(x_0\):

\(\displaystyle\lim_{x\to 0^+}{f(x)}=\lim_{x\to 0^+}{x^2}=0^2=0\)

Wyjaśnienie do fragmentu zaznaczonego kolorem żółtym: ponieważ rozpatrujemy granicę prawostronną, interesują nas wartości większe od zera. Zgodnie z określeniem naszej funkcji przyjmuje ona wartości \(x^2\) dla argumentów większych od zera.

Obliczamy granicę lewostronną:

\(\displaystyle\lim_{x\to 0^-}{f(x)}=\lim_{x\to 0^-}{(-2x)}=-2\cdot 0=0\)

Wyjaśnienie do fragmentu zaznaczonego kolorem niebieskim: ponieważ rozpatrujemy granicę lewostronną, interesują nas wartości mniejsze od zera. Zgodnie z określeniem naszej funkcji przyjmuje ona wartości \(-2x\) dla argumentów mniejszych od zera.

Ponieważ granica lewostronna i prawostronna ma taką samą wartość, oznacza to, że funkcja \(f(x)\) posiada granicę w punkcie \(x_0=0\) równą \(0\).

Krokiem kolejnym w badaniu ciągłości funkcji jest obliczenie wartości funkcji w punkcie.

2) Obliczamy wartość funkcji w punkcie \(x_0=0\):

\(f(x)=f(0)=-2\cdot 0=0\)

3) Sprawdzamy, czy granica funkcji w punkcie jest równa wartości funkcji w tym punkcie.

Ponieważ:

\(\displaystyle\lim_{x\to 0}{f(x)}=f(0)=0\)

Odpowiedź

Funkcja \(f(x)\) jest ciągła w \(x_0=0\).

Matura z matematyki

Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.

Zbiór zadań z matematyki

Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.

WYKRESY ONLINE

Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne

Zadanie nr 1.

Dla jakich wartości parametru \(a\) funkcja \(f(x)=\begin{cases} 2x^2-a, \ dla \ x \geq 1 \\ x-1, \ dla \ x < 1 \end{cases}\) jest ciągła w punkcie \(x_0=1\)?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Sprawdzić, czy funkcja \(f(x)=\begin{cases} \frac{x^2+x-6}{x-2}, \ dla \ x\in(-\infty;2) \\5, \ dla\ x=2 \\ 3x-1, \ dla \ x\in (2;\infty) \end{cases}\) jest ciągła w zbiorze liczb rzeczywistych.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Sprawdzić, czy funkcja \(f(x)=|x+1|-x\) jest ciągła w punkcie \(x_0=-1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.