Nauka » Matematyka » Ciągłość funkcji

Zadanie - ciągłość funkcji

Sprawdzić, czy funkcja f(x)=|x+1|-x jest ciągła w punkcie x₀=-1.

Rozwiązanie zadania uproszczone

$\lim_{x\to -1}{(|x+1|-x)}=1 \\ f(x_0)=f(-1)=1=\lim_{x\to -1}{f(x)}$

Funkcja f(x) jest ciągła w punkcie x₀=-1.

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Dana jest funkcja f(x)=|x+1|-x

Aby sprawdzić ciągłość funkcji w punkcie musimy w pierwszym kroku zbadać istnienie granicy w tym punkcie.

1) Obliczamy granicę funkcji f(x) w punkcie x₀:

$\lim_{x\to -1}{f(x)}=\lim_{x\to -1}{(|x+1|-x)}=|-1+1|-(-1)=0+1=1$

Nie musimy tutaj liczyć osobno granicy lewostronnej i prawostronnej (obie granice będą z pewności takie same).

Krokiem kolejnym w badaniu ciągłości funkcji jest obliczenie wartości funkcji w punkcie.

2) Obliczamy wartość funkcji w punkcie x₀ = -1:

3) Sprawdzamy, czy granica funkcji w punkcie jest równa wartości funkcji w tym punkcie.

Ponieważ

$\lim_{x\to -1}{f(x)}=f(-1)=1$

Funkcja ta jest ciągła w tym punkcie.

Odpowiedź

Funkcja f(x) jest ciągła w punkcie x₀=-1.

Zadania podobne

Zadanie - ciągłość funkcji
Zbadać, czy funkcja $f(x)=\begin{cases} -2x, \ dla \ x \leq 0 \\ x^2, \ dla \ x > 0 \end{cases}$ jest ciągła w punkcie x₀=0.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - ciągłość funkcji, zadanie z parametrem
Dla jakich wartości parametru a funkcja $f(x)=\begin{cases} 2x^2-a, \ dla \ x \geq 1 \\ x-1, \ dla \ x < 1 \end{cases}$ jest ciągła w punkcie x₀=1?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - ciągłość funkcji w przedziale
Sprawdzić, czy funkcja
$f(x)=\begin{cases} \frac{x^2+x-6}{x-2}, \ dla \ x\in(-\infty;2) \\5, \ dla\ x=2 \\ 3x-1, \ dla \ x\in (2;\infty) \end{cases}$
jest ciągła w zbiorze liczb rzeczywistych.

Pokaż rozwiązanie zadania