Zadanie - ciągłość funkcji

Rozwiązanie zadania

Dana jest funkcja \(f(x)=|x+1|-x\).

Aby sprawdzić ciągłość funkcji w punkcie musimy w pierwszym kroku zbadać istnienie granicy w tym punkcie.

1) Obliczamy granicę funkcji \(f(x)\) w punkcie \(x+0\):

\(\displaystyle\lim_{x\to -1}{f(x)}=\lim_{x\to -1}{(|x+1|-x)}=|-1+1|-(-1)=0+1=1\)

Nie musimy tutaj liczyć osobno granicy lewostronnej i prawostronnej (obie granice będą z pewności takie same).

Krokiem kolejnym w badaniu ciągłości funkcji jest obliczenie wartości funkcji w punkcie.

2) Obliczamy wartość funkcji w punkcie \(x_0=-1\):

\(f(x_0)=f(-1)=|-1+1|-(-1)=1\)

3) Sprawdzamy, czy granica funkcji w punkcie jest równa wartości funkcji w tym punkcie.

Ponieważ \(\displaystyle\lim_{x\to -1}{f(x)}=f(-1)=1\), to funkcja ta jest ciągła w tym punkcie.

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2010-09-02, ZAD-881

Zadania podobne

Zbadać, czy funkcja \(f(x)=\begin{cases} -2x, \ dla \ x \leq 0 \\ x^2, \ dla \ x > 0 \end{cases}\) jest ciągła w punkcie \(x_0=0\).

Dla jakich wartości parametru \(a\) funkcja \(f(x)=\begin{cases} 2x^2-a, \ dla \ x \geq 1 \\ x-1, \ dla \ x < 1 \end{cases}\) jest ciągła w punkcie \(x_0=1\)?

Sprawdzić, czy funkcja \(f(x)=\begin{cases} \frac{x^2+x-6}{x-2}, \ dla \ x\in(-\infty;2) \\5, \ dla\ x=2 \\ 3x-1, \ dla \ x\in (2;\infty) \end{cases}\) jest ciągła w zbiorze liczb rzeczywistych.