Nauka » Matematyka » Ciągłość funkcji

Zadanie - ciągłość funkcji, zadanie z parametrem

Dla jakich wartości parametru a funkcja $f(x)=\begin{cases} 2x^2-a, \ dla \ x \geq 1 \\ x-1, \ dla \ x < 1 \end{cases}$ jest ciągła w punkcie x₀=1?

Rozwiązanie zadania uproszczone

$\lim_{x\to 1^+}{(2x^2-a)}=2-a \\ \lim_{x\to 1^-}{(x-1)}=0 \\ \lim_{x\to 1^+}{f(x)}=\lim_{x\to 1^-}{f(x)}\Leftrightarrow 2-a=0 \Leftrightarrow a=2\\ f(x_0)=f(1)=2-a=2-2=0=\lim_{x\to 1}{f(x)}$

Dla a=2 funkcja f(x) jest ciągła w punkcie x₀=1.

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Dana jest funkcja:

$f(x)=\begin{cases} 2x^2-a, \ dla \ x \geq 1 \\ x-1, \ dla \ x < 1 \end{cases}$

Aby sprawdzić ciągłość funkcji musimy w pierwszym kroku zbadać granice lewostronną i prawostronną.

1) Obliczamy granicę funkcji f(x) w punkcie x₀:

$\lim_{x\to 1^+}{f(x)}=\lim_{x\to 1^+}{(2x^2-a)}=2\cdot 1^2-a=2-a$ tło

Wyjaśnienie do fragmentu zaznaczonego kolorem żółtym: ponieważ rozpatrujemy granicę prawostronną, interesują nas wartości większe od jedności. Zgodnie z określeniem naszej funkcji przyjmuje ona wartości 2x²-a dla argumentów większych od jeden.

Obliczamy granicę lewostronną

$\lim_{x\to 1^-}{f(x)}=\lim_{x\to 1^-}{(x-1)}=1-1=0$ tło

Wyjaśnienie do fragmentu zaznaczonego kolorem niebieskim: ponieważ rozpatrujemy granicę lewostronną, interesują nas wartości mniejsze od jeden. Zgodnie z określeniem naszej funkcji przyjmuje ona wartości x-1 dla argumentów mniejszych od jedności.

Ponieważ granica lewostronna i prawostronna muszą mieć taką samą wartość, to:

$2-a=0\\a=2$ tło

Krokiem kolejnym w badaniu ciągłości funkcji jest obliczenie wartości funkcji w punkcie.

2) Obliczamy wartość funkcji w punkcie x₀=1:

$f(x_0)=f(1)=2\cdot 1^2-a=2-2=0$

3) Sprawdzamy, czy granica funkcji w punkcie jest równa wartości funkcji w tym punkcie.

Ponieważ

$\lim_{x\to 1}{f(x)}=f(1)=0$

funkcja ta jest ciągła w tym punkcie dla a=2.

Odpowiedź

Funkcja f(x) jest ciągła w x₀=1 dla a=2.

Zadania podobne

Zadanie - ciągłość funkcji
Zbadać, czy funkcja $f(x)=\begin{cases} -2x, \ dla \ x \leq 0 \\ x^2, \ dla \ x > 0 \end{cases}$ jest ciągła w punkcie x₀=0.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - ciągłość funkcji w przedziale
Sprawdzić, czy funkcja
$f(x)=\begin{cases} \frac{x^2+x-6}{x-2}, \ dla \ x\in(-\infty;2) \\5, \ dla\ x=2 \\ 3x-1, \ dla \ x\in (2;\infty) \end{cases}$
jest ciągła w zbiorze liczb rzeczywistych.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - ciągłość funkcji
Sprawdzić, czy funkcja f(x)=|x+1|-x jest ciągła w punkcie x₀=-1.

Pokaż rozwiązanie zadania