Granica lewostronna i prawostronna funkcji
Definicja
Niech f(x) oznacza funkcję, która jest określona w przedziale .
Funkcja f(x) ma w punkcie x0 granicę lewostronną g (używamy zapisu ) jeżeli dla każdego ciągu argumentów (xn) o wyrazach należących do przedziału
zbieżnego do x0, ciąg wartości (f(xn)) jest zbieżny do g.
Definicja
Niech f(x) oznacza funkcję, która jest określona w przedziale .
Funkcja f(x) ma w punkcie x0 granicę prawostronną g (używamy zapisu ) jeżeli dla każdego ciągu argumentów (xn) o wyrazach należących do przedziału
zbieżnego do x0, ciąg wartości (f(xn)) jest zbieżny do g.
Twierdzenie
Funkcja f(x) ma w punkcie x0 granicę, jeżeli istnieje lewostronna i prawostronna granica funkcji w punkcie x0 i granice te są równe.
Poniższy rysunek ilustruje różnicę między granicą prawostronną i lewostronną:

Funkcja przedstawiona na rysunku ma różne granice lewostronną i prawostronną, więc w punkcie x0 nie posiada granicy.
Przykład
Obliczyć granicę lewostronną i prawostronną funkcji: w punkcie równym 0.
1) Obliczamy granicę lewostronną: Wyjaśnienia wymaga zapis w nawiasach kwadratowych. Zapis 0 - w nawiasie kwadratowym oznacza, że (x) jest zbieżne do zera i przyjmuje ujemne wartości. Zapis 0+ w nawiasie kwadratowym oznacza, że (x) jest zbieżne do zera i przyjmuje dodatnie wartości.
Taki zapis ułatwia rachunek granic. Przyjrzyjmy się granicy prawostronnej. Zgodnie z definicją bierzemy pod uwagę ciąg wartości funkcji (xn) o wyrazach większych od zera, czyli należących do przedziału (0;a), który jest zbieżny do zera. Granica funkcji prawostronna będzie równa granicy ciągu wartości funkcji:
Wszystkie wyrazy ciągu argumentów są dodatnie zgodnie z założeniem, ciąg argumentów jest zbieżny do zera, więc ma tu zastosowanie następujące twierdzenie, zgodnie z którym powyższa granica jest równa plus nieskończoności. Zapis z nawiasami kwadratowymi upraszcza całe rozumowanie.
Zadania z rozwiązaniami
Zadanie nr 1.
Obliczyć granicę prawostronną i lewostronną funkcjia)

b)

Zadanie nr 2.
Obliczyć granicę prawostronną i lewostronną funkcji:a)

b)

Zadanie nr 3.
Obliczyć granicę prawostronną i lewostronną funkcji
Zadanie nr 4.
Obliczyć granicę prawostronną i lewostronną funkcji
Inne zagadnienia z tej lekcji
Granica funkcji

Granica funkcji w punkcie, podstawowe wzory, obliczanie granic, definicja Heinego oraz Cauchy'ego.
Granica funkcji w nieskończoności

Definicja granicy funkcji w nieskończoności oraz sposoby obliczania granic wielomianów i funkcji wymiernych
© medianauka.pl, 2010-05-12, ART-860