Logo Serwisu Media Nauka

Granica lewostronna i prawostronna funckji

Definicja Definicja

Niech f(x) oznacza funkcję, która jest określona w przedziale (a;x_0).
Funkcja f(x) ma w punkcie x0 granicę lewostronną g (używamy zapisu \lim_{x\to{x_0-}}{f(x)}=g ) jeżeli dla każdego ciągu argumentów (xn) o wyrazach należących do przedziału (a;x_0) zbieżnego do x0, ciąg wartości (f(xn)) jest zbieżny do g.

Definicja Definicja

Niech f(x) oznacza funkcję, która jest określona w przedziale (x_0;a).
Funkcja f(x) ma w punkcie x0 granicę prawostronną g (używamy zapisu \lim_{x\to{x_0+}}{f(x)}=g ) jeżeli dla każdego ciągu argumentów (xn) o wyrazach należących do przedziału (x_0;a) zbieżnego do x0, ciąg wartości (f(xn)) jest zbieżny do g.

Twierdzenie Twierdzenie

Funkcja f(x) ma w punkcie x0 granicę, jeżeli istnieje lewostronna i prawostronna granica funkcji w punkcie x0 i granice te są równe.

Poniższy rysunek ilustruje różnicę między granicą prawostronną i lewostronną:

granica lewostronna i prawostronna

\lim_{x\to{x_0-}}{f(x)}=g_2\\{\lim_{x\to{x_0+}}{f(x)}=g_1}

Funkcja przedstawiona na rysunku ma różne granice lewostronną i prawostronną, więc w punkcie x0 nie posiada granicy.

Przykład Przykład

Obliczyć granicę lewostronną i prawostronną funkcji: f(x)=\frac{1}{x} w punkcie równym 0.
1) Obliczamy granicę lewostronną:
\lim_{x\to{0-}}{\frac{1}{x}}=[\frac{1}{0^-}]=-\infty\\{\lim_{x\to{0+}}{\frac{1}{x}}=[\frac{1}{0^+}]=+\infty}

Teoria Wyjaśnienia wymaga zapis w nawiasach kwadratowych. Zapis 0 - w nawiasie kwadratowym oznacza, że (x) jest zbieżne do zera i przyjmuje ujemne wartości. Zapis 0+ w nawiasie kwadratowym oznacza, że (x) jest zbieżne do zera i przyjmuje dodatnie wartości.

Taki zapis ułatwia rachunek granic. Przyjrzyjmy się granicy prawostronnej. Zgodnie z definicją bierzemy pod uwagę ciąg wartości funkcji (xn) o wyrazach większych od zera, czyli należących do przedziału (0;a), który jest zbieżny do zera. Granica funkcji prawostronna będzie równa granicy ciągu wartości funkcji:
\lim_{x\to{0+}}{\frac{1}{x}}=\lim_{n\to{\infty}}{\frac{1}{x_n}}
Wszystkie wyrazy ciągu argumentów są dodatnie zgodnie z założeniem, ciąg argumentów jest zbieżny do zera, więc ma tu zastosowanie następujące twierdzenie, zgodnie z którym powyższa granica jest równa plus nieskończoności. Zapis z nawiasami kwadratowymi upraszcza całe rozumowanie.


© medianauka.pl, 2010-05-12, ART-860





Inne zagadnienia z tej lekcji


Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.


zadanie-ikonka Zadanie - granica lewostronna i prawostronna
Obliczyć granicę prawostronną i lewostronną funkcji
a) f(x)=\frac{x+2}{x-1} w punkcie x0=2
b) f(x)=\frac{x-7}{x^2-9} w punkcie x0=-3

zadanie-ikonka Zadanie - granica lewostronna i prawostronne
Obliczyć granicę prawostronną i lewostronną funkcji:
a) f(x)=\frac{x+2}{x-1} w punkcie x0=1
b) f(x)=\frac{2}{x^2} w punkcie x0=0

zadanie-ikonka Zadanie - granica prawostronna i lewostronna
Obliczyć granicę prawostronną i lewostronną funkcji f(x)=\frac{x+|x|}{x} w punkcie x0=0

zadanie-ikonka Zadanie - granica lewostronna i prawostronna
Obliczyć granicę prawostronną i lewostronną funkcji
f(x)=\begin{cases} 5x-x^2+1, \ dla \ x>-1 \\ 5-x, \ dla \ x< -1 \end{cases} w punkcie x0=-1




Polecamy koszyk



© Media Nauka 2008-2017 r.