Granica lewostronna i prawostronna funkcji

Definicja

Niech f(x) oznacza funkcję, która jest określona w przedziale .
Funkcja f(x) ma w punkcie x₀ granicę lewostronną g (używamy zapisu $\lim_{x\to{x_0-}}{f(x)}=g$ ) jeżeli dla każdego ciągu argumentów (x_n) o wyrazach należących do przedziału zbieżnego do x₀, ciąg wartości (f(x_n)) jest zbieżny do g.

Definicja

Niech f(x) oznacza funkcję, która jest określona w przedziale .
Funkcja f(x) ma w punkcie x₀ granicę prawostronną g (używamy zapisu $\lim_{x\to{x_0+}}{f(x)}=g$ ) jeżeli dla każdego ciągu argumentów (x_n) o wyrazach należących do przedziału zbieżnego do x₀, ciąg wartości (f(x_n)) jest zbieżny do g.

Twierdzenie

Funkcja f(x) ma w punkcie x₀ granicę, jeżeli istnieje lewostronna i prawostronna granica funkcji w punkcie x₀ i granice te są równe.

Poniższy rysunek ilustruje różnicę między granicą prawostronną i lewostronną:

$\lim_{x\to{x_0-}}{f(x)}=g_2\\{\lim_{x\to{x_0+}}{f(x)}=g_1}$

Funkcja przedstawiona na rysunku ma różne granice lewostronną i prawostronną, więc w punkcie x₀ nie posiada granicy.

Przykład

Obliczyć granicę lewostronną i prawostronną funkcji: $f(x)=\frac{1}{x}$ w punkcie równym 0.
1) Obliczamy granicę lewostronną:
$\lim_{x\to{0-}}{\frac{1}{x}}=[\frac{1}{0^-}]=-\infty\\{\lim_{x\to{0+}}{\frac{1}{x}}=[\frac{1}{0^+}]=+\infty}$

Wyjaśnienia wymaga zapis w nawiasach kwadratowych. Zapis 0^- w nawiasie kwadratowym oznacza, że (x) jest zbieżne do zera i przyjmuje ujemne wartości. Zapis 0⁺ w nawiasie kwadratowym oznacza, że (x) jest zbieżne do zera i przyjmuje dodatnie wartości.

Taki zapis ułatwia rachunek granic. Przyjrzyjmy się granicy prawostronnej. Zgodnie z definicją bierzemy pod uwagę ciąg wartości funkcji (x_n) o wyrazach większych od zera, czyli należących do przedziału (0;a), który jest zbieżny do zera. Granica funkcji prawostronna będzie równa granicy ciągu wartości funkcji:
$\lim_{x\to{0+}}{\frac{1}{x}}=\lim_{n\to{\infty}}{\frac{1}{x_n}}$
Wszystkie wyrazy ciągu argumentów są dodatnie zgodnie z założeniem, ciąg argumentów jest zbieżny do zera, więc ma tu zastosowanie następujące twierdzenie, zgodnie z którym powyższa granica jest równa plus nieskończoności. Zapis z nawiasami kwadratowymi upraszcza całe rozumowanie.

Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Granica lewostronna i prawostronna funkcji

Zadanie - granica lewostronna i prawostronna
Obliczyć granicę prawostronną i lewostronną funkcji
a) $f(x)=\frac{x+2}{x-1}$ w punkcie x₀=2
b) $f(x)=\frac{x-7}{x^2-9}$ w punkcie x₀=-3

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - granica lewostronna i prawostronne
Obliczyć granicę prawostronną i lewostronną funkcji:
a) $f(x)=\frac{x+2}{x-1}$ w punkcie x₀=1
b) $f(x)=\frac{2}{x^2}$ w punkcie x₀=0

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - granica prawostronna i lewostronna
Obliczyć granicę prawostronną i lewostronną funkcji $f(x)=\frac{x+|x|}{x}$ w punkcie x₀=0

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - granica lewostronna i prawostronna
Obliczyć granicę prawostronną i lewostronną funkcji
$f(x)=\begin{cases} 5x-x^2+1, \ dla \ x>-1 \\ 5-x, \ dla \ x< -1 \end{cases}$ w punkcie x₀=-1