Nauka » Matematyka » Granica lewostronna i prawostronna funkcji

Zadanie - granica prawostronna i lewostronna

Obliczyć granicę prawostronną i lewostronną funkcji $f(x)=\frac{x+|x|}{x}$ w punkcie x₀=0

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Funkcja f(x) nie jest określona w punkcie x₀=0, granicę prawostronną i lewostronną obliczamy w następujący sposób:

Obliczamy granicę prawostronną funkcji w punkcie x₀=0.

$\lim_{x\to 0 +}{\frac{x+|x|}{x}}=$

Dążymy do punktu zero z prawej strony, a więc z wyrazami ciągu argumentów większymi od zera. Dla wyrazów dodatnich możemy opuścić wartość bezwzględną:

$=\lim_{x\to 0 +}{\frac{x+x}{x}}=\lim_{x\to 0 +}{\frac{2x}{x}}=\lim_{x\to 0 +}{2}=2$

Obliczamy granicę lewostronną funkcji w punkcie x₀=0.

$\lim_{x\to 0 -}{\frac{x+|x|}{x}}=$

Dążymy do punktu zero z lewej strony, a więc z wyrazami ciągu argumentów mniejszymi od zera. Dla wyrazów ujemnych, zgodnie z definicją wartości bezwzględnej, możemy opuścić wartość bezwzględną, pamiętając o zmianie znaku wyrażenia pod wartością bezwzględną na przeciwny:

$=\lim_{x\to 0 -}{\frac{x-x}{x}}=\lim_{x\to 0 -}{\frac{0}{x}}=\lim_{x\to 0 -}{0}=0$

Obie granice nie są sobie równe, więc funkcja nie posiada w tym punkcie granicy.

Zadania podobne

Zadanie - granica lewostronna i prawostronna
Obliczyć granicę prawostronną i lewostronną funkcji
a) $f(x)=\frac{x+2}{x-1}$ w punkcie x₀=2
b) $f(x)=\frac{x-7}{x^2-9}$ w punkcie x₀=-3

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - granica lewostronna i prawostronne
Obliczyć granicę prawostronną i lewostronną funkcji:
a) $f(x)=\frac{x+2}{x-1}$ w punkcie x₀=1
b) $f(x)=\frac{2}{x^2}$ w punkcie x₀=0

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - granica lewostronna i prawostronna
Obliczyć granicę prawostronną i lewostronną funkcji
$f(x)=\begin{cases} 5x-x^2+1, \ dla \ x>-1 \\ 5-x, \ dla \ x< -1 \end{cases}$ w punkcie x₀=-1

Pokaż rozwiązanie zadania