Logo Serwisu Media Nauka


Wartość bezwzględna

Definicja Definicja

Wartość bezwzględną liczby x oznaczamy symbolem |x| i określamy w następujący sposób:

|x| = \\begin{cases} x \\text{ dla x\\geq 0} \\\\-x \\text{ dla x<0}\\end{cases}

Mówiąc inaczej, wartość bezwzględna liczby nieujemnej to ta sama liczba, natomiast wartość bezwzględna liczby ujemnej, to liczba do niej przeciwna.

Przykład Przykład

|3|=3\\\\ |-3|=3\\\\ |-\\frac{5}{7}|=\\frac{5}{7}\\\\ |0|=0

Teoria Przyjrzyjmy się wyrażeniu: \\sqrt{a^2}=a. Jeżeli za a podstawimy na przykład liczbę 5, to otrzymamy zdanie prawdziwe. Kiedy natomiast do wyrażenia wstawimy za a liczbę -5, równości nie jest już prawdziwa. Obowiązuje zatem wyłącznie dla liczb nieujemnych. Z całą pewnością możemy zatem napisać, że \\sqrt{a^2}=|a|

Przykład Przykład

Kiedy prawdziwa jest równość |a|=-a?

Na pierwszy rzut oka wydaje się, że nie ma takiej liczby, która spełniałaby powyższe równanie, gdyż wiemy, że wartość bezwzględna liczby jest zawsze dodatnia. Jednak w równaniu mamy do czynienia z wyrazem ogólnym a, który może przybierać różne wartości. Wyraz a nie zawsze oznacza liczbę dodatnią, natomiast -a nie musi oznaczać wartości ujemnej. Prawa strona równania jest dodatnia, kiedy za a podstawimy liczbę ujemną, np. -(-5)=5. Zauważamy, że równanie jest w takim przypadku spełnione, bo np. |-5| = -(-5) = 5.

Zatem równanie jest spełnione dla liczb ujemnych.

Jak pozbyć się wartości bezwzględnej z równania?

Aby pozbyć się wartości bezwzględnej z dowolnego równania korzystamy bezpośrednio z definicji. Mamy do rozpatrzenia dwa przypadki:

  • przypadek pierwszy - gdy wyrażenie pod wartością bezwzględną jest nieujemne, wówczas możemy opuścić symbol wartości bezwzględnej podczas przepisywania równania;
  • przypadek drugi - gdy wyrażenie pod wartością bezwzględną jest ujemne, wówczas zapisujemy wyrażenie przeciwne do tego, które znajduje się pod wartością bezwzględną.

Przykład Przykład

|-x+1|=\\begin{cases} -x+1 \\text{ dla -x+1\\geq 0} \\\\x-1 \\text{ dla -x+1<0}\\end{cases}

Przykład, którym wartość bezwzględna jest tylko częścią wyrażenia:

|x^2-1|+x-1=\\begin{cases} x^2-1+x-1 = x^2+x-2 \\text{ dla x^2-1\\geq 0} \\\\-x^2+1+x-1 = -x^2+x \\text{ dla x^2-1<0}\\end{cases}

I jeszcze jeden ciekawy przykład:

|x^4+1|=x^4+1

Ponieważ x4+1 jest zawsze dodatnie, możemy pominąć w zapisie wartość bezwzględną.


© Media Nauka, 2009-03-13, ART-165



Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.


zadanie - ikonka Zadanie 17 - wartość bezwzględna, własności pierwiastków - Zadanie: Uprościć wyrażenia
Uprościć wyrażenie W=\sqrt{(a-1)^2}+\sqrt{(a+1)^2}.

zadanie - ikonka Zadanie 61 - równanie z wartością bezwzględną
Rozwiązać równanie |x+1|-|x-1|=5.

zadanie - ikonka Zadanie 66 - wykres funkcji z wartością bezwzględną y=|x+1|
Sporządzić wykres funkcji f(x)=|x+1|.

zadanie - ikonka Zadanie 67 - wykres funkcji z wartością bezwzględną, y=|x^2-x-2|
Sporządzić wykres funkcji f(x)=|x^2-x-2|

zadanie - ikonka Zadanie 68 - wykres funkcji z wartością bezwzględną y=1/|x|
Sporządzić wykres funkcji f(x)=\frac{1}{|x|}

zadanie - ikonka Zadanie 69 - wykres funkcji z wartością bezwzględną y=1/|x+2|-3
Sporządzić wykres funkcji f(x)=\frac{1}{|x+2|}-3.

zadanie - ikonka Zadanie 227 - wykres funkcji kwadratowej z wartością bezwzględną
Sporządzić wykres funkcji f(x)=|x^2-x|-2.

maturalne zadania zadanie - ikonka Zadanie maturalne nr 1, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Na rysunku przedstawiony jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność |2x-8|≤10
rysunek , zadanie maturalne 1/2015
Stąd wynika, że
A. k=2
B. k=4
C. k=5
D. k=9



Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy