Zadanie - granica lewostronna i prawostronne
Treść zadania:
Obliczyć granicę prawostronną i lewostronną funkcji:
a) \(f(x)=\frac{x+2}{x-1}\) w punkcie \(x_0=1\).
b) \(f(x)=\frac{2}{x^2}\) w punkcie \(x_0=0\).
Rozwiązanie części a)
Funkcja \(f(x)\) nie jest określona w punkcie \(x_0=1\), granicę prawostronną i lewostronną obliczamy w następujący sposób:
Obliczamy granicę prawostronną funkcji w punkcie \(x_0=1\).
\(\displaystyle\lim_{x\to 1 +}{\frac{x+2}{x-1}}=[\frac{3}{0^+}]=+\infty\)
Zapis \(0^+\) w nawiasie kwadratowym oznacza, że \((x-1)\) jest zbieżne do zera i przyjmuje dodatnie wartości. (Gdy będziemy podstawiać wyrazy ciągu zbieżnego do \(1\) o wyrazach większych od 1 otrzymamy wyrazy ciągu wartości dodatnie, zbieżne do zera. Na przykład podstawiając argumenty \(3,5/2,2,3/2,...\) - zbieżne do \(1\) otrzymamy wyrazy \(x-1: 2,3/2,1,1/2,...\) otrzymamy wyrazy dodatnie zbieżne do \(0\).)
Obliczamy granicę lewostronną funkcji w punkcie \(x_0=1\).
\(\displaystyle\lim_{x\to 1 -}{\frac{x+2}{x-1}}=[\frac{3}{0^-}]=-\infty\)
Zapis \(0^-\) w nawiasie kwadratowym oznacza, że \((x-1)\) jest zbieżne do zera i przyjmuje ujemne wartości. (Gdy będziemy podstawiać wyrazy ciągu zbieżnego do \(1\) o wyrazach mniejszych od \(1\) otrzymamy wyrazy ciągu wartości ujemne, zbieżne do zera. Na przykład podstawiając argumenty \(-1/2,0,1/2,...\) - zbieżne do \(1\) otrzymamy wyrazy \(x-1: -3/2,-1,-1/2,...\) otrzymamy wyrazy ujemne zbieżne do \(0\)).
Obie granice są różne, więc funkcja nie posiada w tym punkcie granicy.
Rozwiązanie części b)
Funkcja \(f(x)\) nie jest określona w punkcie \(x_0=0\) granicę prawostronną i lewostronną obliczamy w następujący sposób:
Obliczamy granicę prawostronną funkcji w punkcie \(x_0=0\).
\(\displaystyle\lim_{x\to 0 +}{\frac{2}{x^2}}=[\frac{2}{0^+}]=+\infty\)
Zapis \(0^+\) w nawiasie kwadratowym oznacza, że \(x^2\) jest zbieżne do zera i przyjmuje dodatnie wartości. (Gdy będziemy podstawiać wyrazy ciągu zbieżnego do \(0\) o wyrazach większych od \(0\) otrzymamy wyrazy ciągu wartości dodatnie, zbieżne do zera. Na przykład podstawiając argumenty \(3,2,1,...\) - zbieżne do \(0\) otrzymamy wyrazy \(x^2: 9,4,1,...\) otrzymamy wyrazy dodatnie zbieżne do \(0\)).
Obliczamy granicę lewostronną funkcji w punkcie \(x_0=0\).
\(\displaystyle\lim_{x\to 0 -}{\frac{2}{x^2}}=[\frac{2}{0^+}]=+\infty\)
Zapis \(0^+\) w nawiasie kwadratowym oznacza, że \(x^2\) jest zbieżne do zera i przyjmuje dodatnie wartości. (Gdy będziemy podstawiać wyrazy ciągu zbieżnego do \(0\) o wyrazach mniejszych od \(0\) otrzymamy wyrazy ciągu wartości dodatnie, zbieżne do zera. Na przykład podstawiając argumenty \(-3,-2,-1,...\) - zbieżne do \(0\) otrzymamy wyrazy \(x^2: 9,4,1,...\) otrzymamy wyrazy dodatnie zbieżne do \(0\).)
Obie granice są sobie równe, więc funkcja posiada w tym punkcie granicę niewłaściwą - plus nieskończoność.
© medianauka.pl, 2010-05-13, ZAD-862
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Obliczyć granicę prawostronną i lewostronną funkcji:
a) \(f(x)=\frac{x+2}{x-1}\) w punkcie \(x_0=2\).
b) \(f(x)=\frac{x-7}{x^2-9}\) w punkcie \(x_0=-3\).
Zadanie nr 2.
Obliczyć granicę prawostronną i lewostronną funkcji \(f(x)=\frac{x+|x|}{x}\) w punkcie \(x_0=0\).
Zadanie nr 3.
Obliczyć granicę prawostronną i lewostronną funkcji
\(f(x)=\begin{cases} 5x-x^2+1, \ dla \ x>-1 \\ 5-x, \ dla \ x< -1 \end{cases}\)
w punkcie \(x_0=-1\).