Nauka » Matematyka » Granica lewostronna i prawostronna funkcji

Zadanie - granica lewostronna i prawostronne

Obliczyć granicę prawostronną i lewostronną funkcji:
a) $f(x)=\frac{x+2}{x-1}$ w punkcie x₀=1
b) $f(x)=\frac{2}{x^2}$ w punkcie x₀=0

a) Rozwiązanie zadania

Funkcja f(x) nie jest określona w punkcie x₀=1, granicę prawostronną i lewostronną obliczamy w następujący sposób:

Obliczamy granicę prawostronną funkcji w punkcie x₀=1.

$\lim_{x\to 1 +}{\frac{x+2}{x-1}}=[\frac{3}{0^+}]=+\infty$

Zapis 0⁺ w nawiasie kwadratowym oznacza, że (x-1) jest zbieżne do zera i przyjmuje dodatnie wartości. (Gdy będziemy podstawiać wyrazy ciągu zbieżnego do 1 o wyrazach większych od 1 otrzymamy wyrazy ciągu wartości dodatnie, zbieżne do zera. Na przykład podstawiając argumenty 3,5/2,2,3/2,... - zbieżne do 1 otrzymamy wyrazy x-1: 2,3/2,1,1/2,... otrzymamy wyrazy dodatnie zbieżne do 0.)

Obliczamy granicę lewostronną funkcji w punkcie x₀=1.

$\lim_{x\to 1 -}{\frac{x+2}{x-1}}=[\frac{3}{0^-}]=-\infty$

Zapis 0^- w nawiasie kwadratowym oznacza, że (x-1) jest zbieżne do zera i przyjmuje ujemne wartości. (Gdy będziemy podstawiać wyrazy ciągu zbieżnego do 1 o wyrazach mniejszych od 1 otrzymamy wyrazy ciągu wartości ujemne, zbieżne do zera. Na przykład podstawiając argumenty -1/2,0,1/2,... - zbieżne do 1 otrzymamy wyrazy x-1: -3/2,-1,-1/2,... otrzymamy wyrazy ujemne zbieżne do 0 )

Obie granice są różne, więc funkcja nie posiada w tym punkcie granicy.

b) Rozwiązanie zadania

Funkcja f(x) nie jest określona w punkcie x₀=0, granicę prawostronną i lewostronną obliczamy w następujący sposób:

Obliczamy granicę prawostronną funkcji w punkcie x₀=0.

$\lim_{x\to 0 +}{\frac{2}{x^2}}=[\frac{2}{0^+}]=+\infty$

Zapis 0⁺ w nawiasie kwadratowym oznacza, że (x²) jest zbieżne do zera i przyjmuje dodatnie wartości. (Gdy będziemy podstawiać wyrazy ciągu zbieżnego do 0 o wyrazach większych od 0 otrzymamy wyrazy ciągu wartości dodatnie, zbieżne do zera. Na przykład podstawiając argumenty 3,2,1,... - zbieżne do 0 otrzymamy wyrazy x²: 9,4,1,... otrzymamy wyrazy dodatnie zbieżne do 0.)

Obliczamy granicę lewostronną funkcji w punkcie x₀=0.

$\lim_{x\to 0 -}{\frac{2}{x^2}}=[\frac{2}{0^+}]=+\infty$

Zapis 0⁺ w nawiasie kwadratowym oznacza, że (x²) jest zbieżne do zera i przyjmuje dodatnie wartości. (Gdy będziemy podstawiać wyrazy ciągu zbieżnego do 0 o wyrazach mniejszych od 0 otrzymamy wyrazy ciągu wartości dodatnie, zbieżne do zera. Na przykład podstawiając argumenty -3,-2,-1,... - zbieżne do 0 otrzymamy wyrazy x²: 9,4,1,... otrzymamy wyrazy dodatnie zbieżne do 0.)

Obie granice są sobie równe, więc funkcja posiada w tym punkcie granicę niewłaściwą - plus nieskończoność.

Zadania podobne

Zadanie - granica lewostronna i prawostronna
Obliczyć granicę prawostronną i lewostronną funkcji
a) $f(x)=\frac{x+2}{x-1}$ w punkcie x₀=2
b) $f(x)=\frac{x-7}{x^2-9}$ w punkcie x₀=-3

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - granica prawostronna i lewostronna
Obliczyć granicę prawostronną i lewostronną funkcji $f(x)=\frac{x+|x|}{x}$ w punkcie x₀=0

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - granica lewostronna i prawostronna
Obliczyć granicę prawostronną i lewostronną funkcji
$f(x)=\begin{cases} 5x-x^2+1, \ dla \ x>-1 \\ 5-x, \ dla \ x< -1 \end{cases}$ w punkcie x₀=-1

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.