Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie - granica lewostronna i prawostronne


Obliczyć granicę prawostronną i lewostronną funkcji:
a) f(x)=\frac{x+2}{x-1} w punkcie x0=1
b) f(x)=\frac{2}{x^2} w punkcie x0=0


ksiązki a) Rozwiązanie zadania

Funkcja f(x) nie jest określona w punkcie x0=1, granicę prawostronną i lewostronną obliczamy w następujący sposób:

Obliczamy granicę prawostronną funkcji w punkcie x0=1.

\lim_{x\to 1 +}{\frac{x+2}{x-1}}=[\frac{3}{0^+}]=+\infty

Zapis 0+ w nawiasie kwadratowym oznacza, że (x-1) jest zbieżne do zera i przyjmuje dodatnie wartości. (Gdy będziemy podstawiać wyrazy ciągu zbieżnego do 1 o wyrazach większych od 1 otrzymamy wyrazy ciągu wartości dodatnie, zbieżne do zera. Na przykład podstawiając argumenty 3,5/2,2,3/2,... - zbieżne do 1 otrzymamy wyrazy x-1: 2,3/2,1,1/2,... otrzymamy wyrazy dodatnie zbieżne do 0.)

Obliczamy granicę lewostronną funkcji w punkcie x0=1.

\lim_{x\to 1 -}{\frac{x+2}{x-1}}=[\frac{3}{0^-}]=-\infty

Zapis 0- w nawiasie kwadratowym oznacza, że (x-1) jest zbieżne do zera i przyjmuje ujemne wartości. (Gdy będziemy podstawiać wyrazy ciągu zbieżnego do 1 o wyrazach mniejszych od 1 otrzymamy wyrazy ciągu wartości ujemne, zbieżne do zera. Na przykład podstawiając argumenty -1/2,0,1/2,... - zbieżne do 1 otrzymamy wyrazy x-1: -3/2,-1,-1/2,... otrzymamy wyrazy ujemne zbieżne do 0 )

Obie granice są różne, więc funkcja nie posiada w tym punkcie granicy.

ksiązki b) Rozwiązanie zadania

Funkcja f(x) nie jest określona w punkcie x0=0, granicę prawostronną i lewostronną obliczamy w następujący sposób:

Obliczamy granicę prawostronną funkcji w punkcie x0=0.

\lim_{x\to 0 +}{\frac{2}{x^2}}=[\frac{2}{0^+}]=+\infty

Zapis 0+ w nawiasie kwadratowym oznacza, że (x2) jest zbieżne do zera i przyjmuje dodatnie wartości. (Gdy będziemy podstawiać wyrazy ciągu zbieżnego do 0 o wyrazach większych od 0 otrzymamy wyrazy ciągu wartości dodatnie, zbieżne do zera. Na przykład podstawiając argumenty 3,2,1,... - zbieżne do 0 otrzymamy wyrazy x2: 9,4,1,... otrzymamy wyrazy dodatnie zbieżne do 0.)

Obliczamy granicę lewostronną funkcji w punkcie x0=0.

\lim_{x\to 0 -}{\frac{2}{x^2}}=[\frac{2}{0^+}]=+\infty

Zapis 0+ w nawiasie kwadratowym oznacza, że (x2) jest zbieżne do zera i przyjmuje dodatnie wartości. (Gdy będziemy podstawiać wyrazy ciągu zbieżnego do 0 o wyrazach mniejszych od 0 otrzymamy wyrazy ciągu wartości dodatnie, zbieżne do zera. Na przykład podstawiając argumenty -3,-2,-1,... - zbieżne do 0 otrzymamy wyrazy x2: 9,4,1,... otrzymamy wyrazy dodatnie zbieżne do 0.)

Obie granice są sobie równe, więc funkcja posiada w tym punkcie granicę niewłaściwą - plus nieskończoność.


© medianauka.pl, 2010-05-13, ZAD-862





Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.