Strona główna » Matematyka » Granica lewostronna i prawostronna funkcji

Zadanie - granica lewostronna i prawostronna

Obliczyć granicę prawostronną i lewostronną funkcji
a) $f(x)=\frac{x+2}{x-1}$ w punkcie x₀=2
b) $f(x)=\frac{x-7}{x^2-9}$ w punkcie x₀=-3

a) Rozwiązanie zadania

Funkcja f(x) jest określona w punkcie x₀=2, granicę prawostronną i lewostronną obliczamy więc w następujący sposób:

Obliczamy granicę prawostronną funkcji w punkcie x₀=2.

$\lim_{x\to 2 +}{\frac{x+2}{x-1}}=\frac{2+2}{2-1}=4$

Obliczamy granicę lewostronną funkcji w punkcie x₀=2.

$\lim_{x\to 2 -}{\frac{x+2}{x-1}}=\frac{2+2}{2-1}=4$

Obie granice są sobie równe, więc funkcja posiada w tym punkcie granicę równą 4.

b) Rozwiązanie zadania

Funkcja f(x) nie jest określona w punkcie x₀=-3, granicę prawostronną i lewostronną obliczamy w następujący sposób:

Obliczamy granicę prawostronną funkcji w punkcie x₀=-3.

$\lim_{x\to -3 +}{\frac{x-7}{x^2-9}}=[\frac{-10}{0^-}]=+\infty$

Zapis 0^- w nawiasie kwadratowym oznacza, że (x²-9) jest zbieżny do zera i przyjmuje ujemne wartości. Gdy będziemy podstawiać wyrazy ciągu zbieżnego do -3 o wyrazach większych od -3 otrzymamy wyrazy ciągu wartości ujemne.

Obliczamy granicę lewostronną funkcji w punkcie x₀=-3.

$\lim_{x\to -3 -}{\frac{x-7}{x^2-9}}=[\frac{-10}{0^+}]=-\infty$

Zapis 0⁺ w nawiasie kwadratowym oznacza, że (x²-9) jest zbieżne do zera i przyjmuje dodatnie wartości. (Gdy będziemy podstawiać wyrazy ciągu zbieżnego do -3 o wyrazach mniejszych od -3 otrzymamy wyrazy ciągu wartości dodatnie, zbieżne do zera.)

Obie granice nie są sobie równe, więc funkcja nie posiada w tym punkcie granicy.