Logo Serwisu Media Nauka


Pochodna funkcji - definicja

Teoria Pochodna funkcji to jedno z najważniejszych pojęć matematycznych. Jest to narzędzie z którego matematycy korzystają bardzo często nie tylko w analizie matematycznej. Bez rachunku pochodnych nie ma podstaw fizyki, chemii i innych dziedzin nauki. W tym artykule pochodną funkcji wprowadzę w nieco inny sposób, niż to czynią autorzy popularnych podręczników.

Wprowadzenie

Teoria Zaczniemy od pojęcia prędkości. Jeżeli chcemy zmierzyć z jaką prędkością jedzie samochód wystarczy zmierzyć położenie x1 samochodu w chwili t1 i po chwili położenie x2 samochodu w chwili t2. W ten sposób wiemy, że samochód przemieścił się o ∆x=x2-x1 w czasie ∆t=t2-t1. Prędkość średnią obliczymy, dzieląc jedną wielkość przez drugą: v_{sr}=\frac{\Delta{x}}{\Delta{t}}
Jest to prosta metoda wyznaczania prędkości, ale mało dokładna, bo w czasie ∆t (np. między pierwszą a drugą godziną ruchu) położenie ciała w układzie odniesienia może się zmieniać w różny sposób (np. w pierwszych minutach ruchu ciało może się nie przemieszczać wcale, potem szybko, a później jeszcze inaczej). Dlatego właśnie jest to prędkość średnia. Aby dokładniej mierzyć prędkość można mierzyć ją częściej i w krótszych odstępach czasu. Dalej jest to jednak wartość średnia. Jak zatem obliczyć prędkość w danej chwili? Jak obliczyć przemieszczenie obiektu w konkretnej chwili? Od razu widać, że brakuje nam aparatu matematycznego, aby to zrobić.

W tym momencie przydaje się pojęcie pochodnej. Znamy pojęcie granicy funkcji i wykorzystajmy je tutaj. A gdyby tak brać pod uwagę bardzo małe odcinki czasu, tak małe, że nieskończenie bliskie zeru? Pamiętajmy, że w mianownik musi być różny od zera. Możemy jednak obliczyć granicę: \lim_{\Delta t\to 0}{\frac{\Delta x}{\Delta t}}, otrzymując dokładną wartość prędkości w danej chwili pomiaru ruchu. Jeżeli wiemy, że położenie obiektu w układzie odniesienia jest funkcją czasu, to bez problemu będziemy w stanie obliczyć prędkość chwilową w dowolnej chwili. Wybiegając nieco do przodu, stwierdzamy że prędkość chwilowa jest to pochodna położenia względem czasu i zapisujemy to następująco: v_{sr}=\frac{dx}{dt}.

Jest to tylko jeden z prostych przykładów przydatności pochodnej funkcji i pokazuje praktyczny aspekt jej stosowania w fizyce. Zdefiniujmy jednak najpierw pochodną, zanim zaczniemy ją stosować w różnych innych przypadkach.

Iloraz różnicowy

iloraz różnicowy
Niech f(x) oznacza dowolną funkcję określoną w pewnym otoczeniu U punktu x0. Zaznaczamy na osi OX pewien przyrost argumentów funkcji oraz na osi OY odpowiadający mu przyrost wartości funkcji. Przyrost argumentów funkcji oznaczamy przez h. Zauważ, że (x0+h)-x0=h. Niech h jest liczbą różną od zera i x_0+h\in U


Iloraz:

\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}

nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f(x) w punkcie x0 dla przyrostu h.

Zauważ że w omawianym przykładzie z prędkością chwilową i średnią również mamy do czynienia z ilorazem różnicowym, gdyż iloraz \frac{\Delta x}{\Delta t} można zapisać jako:

v_{sr}=\frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}=\frac{x(t_1+\Delta t)-x(t_1)}{\Delta t}=\frac{x(t_1+h)-f(t_1)}{h}, \ h=\Delta t

Możemy więc zapamiętać, że:

\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{przyrost \ wartosci \ funkcji}{przyrost \ argumentu}

Pochodna funkcji w punkcie

Definicja Definicja

Jeśli iloraz różnicowy ma w punkcie x0 granicę gdy h dąży do zera, to tę granicę nazywamy pochodną funkcji w punkcie x0 i oznaczamy f '(x0).

f'(x_0)=\lim_{h\to 0}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}

Jeżeli funkcja f(x) ma pochodną w punkcie x0, to mówimy, że jest różniczkowalna w tym punkcie.

Przykład Przykład

Obliczymy pochodną funkcji f(x)=2x+1 w punkcie x0=1.
f(x_0)=f(1)=2\cdot 1+1=3 \\ f(x_0+h)=f(1+h)=2(1+h)+1=2+2h+1=2h+3\\ f'(x_0)=f'(1)=\lim_{h\to 0}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=\lim_{h\to 0}{\frac{2h+3-3}{h}}=\lim_{h\to 0}{\frac{2h}{h}}=2


© Media Nauka, 2010-09-03, ART-885



Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.


zadanie - ikonka Zadanie 463 - pochodna funkcji w punkcie
Obliczyć pochodną funkcji f(x)=-x2+x-1 w punkcie x0=-1.

zadanie - ikonka Zadanie 464 - pochodna funkcji w punkcie
Obliczyć pochodną funkcji f(x)=x2 w punkcie x0

zadanie - ikonka Zadanie 465 - pochodna funkcji w punkcie
Obliczyć pochodną funkcji f(x)=\frac{1}{x+1} w punkcie x0=0

zadanie - ikonka Zadanie 466 - różniczkowalność funkcji
Obliczyć pochodną funkcji f(x)=|x| w punkcie x0=0

zadanie - ikonka Zadanie 467 - pochodna funkcji w punkcie
Obliczyć pochodną funkcji f(x)=\begin{cases} x^2 \ dla \ x\geq 0 \\ -2x^2 \ dla \ x<0 \end{cases} w punkcie x0=0.



Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy koszyk