Pochodna funkcji

Pochodna funkcji to jedno z najważniejszych pojęć matematycznych. Jest to narzędzie z którego matematycy korzystają bardzo często nie tylko w analizie matematycznej. Bez rachunku pochodnych nie ma podstaw fizyki, chemii i innych dziedzin nauki. W tym artykule pochodną funkcji wprowadzę w nieco inny sposób, niż to czynią autorzy popularnych podręczników.

Wprowadzenie

Zaczniemy od pojęcia prędkości. Jeżeli chcemy zmierzyć z jaką prędkością jedzie samochód wystarczy zmierzyć położenie x₁ samochodu w chwili t₁ i po chwili położenie x₂ samochodu w chwili t₂. W ten sposób wiemy, że samochód przemieścił się o ∆x=x₂-x₁ w czasie ∆t=t₂-t₁. Prędkość średnią obliczymy, dzieląc jedną wielkość przez drugą: $v_{sr}=\frac{\Delta{x}}{\Delta{t}}$
Jest to prosta metoda wyznaczania prędkości, ale mało dokładna, bo w czasie ∆t (np. między pierwszą a drugą godziną ruchu) położenie ciała w układzie odniesienia może się zmieniać w różny sposób (np. w pierwszych minutach ruchu ciało może się nie przemieszczać wcale, potem szybko, a później jeszcze inaczej). Dlatego właśnie jest to prędkość średnia. Aby dokładniej mierzyć prędkość można mierzyć ją częściej i w krótszych odstępach czasu. Dalej jest to jednak wartość średnia. Jak zatem obliczyć prędkość w danej chwili? Jak obliczyć przemieszczenie obiektu w konkretnej chwili? Od razu widać, że brakuje nam aparatu matematycznego, aby to zrobić.

W tym momencie przydaje się pojęcie pochodnej. Znamy pojęcie granicy funkcji i wykorzystajmy je tutaj. A gdyby tak brać pod uwagę bardzo małe odcinki czasu, tak małe, że nieskończenie bliskie zeru? Pamiętajmy, że w mianownik musi być różny od zera. Możemy jednak obliczyć granicę: $\lim_{\Delta t\to 0}{\frac{\Delta x}{\Delta t}}$ , otrzymując dokładną wartość prędkości w danej chwili pomiaru ruchu. Jeżeli wiemy, że położenie obiektu w układzie odniesienia jest funkcją czasu, to bez problemu będziemy w stanie obliczyć prędkość chwilową w dowolnej chwili. Wybiegając nieco do przodu, stwierdzamy że prędkość chwilowa jest to pochodna położenia względem czasu i zapisujemy to następująco: $v_{sr}=\frac{dx}{dt}$ .

Jest to tylko jeden z prostych przykładów przydatności pochodnej funkcji i pokazuje praktyczny aspekt jej stosowania w fizyce. Zdefiniujmy jednak najpierw pochodną, zanim zaczniemy ją stosować w różnych innych przypadkach.

Iloraz różnicowy

iloraz różnicowy
Niech f(x) oznacza dowolną funkcję określoną w pewnym otoczeniu U punktu x₀. Zaznaczamy na osi OX pewien przyrost argumentów funkcji oraz na osi OY odpowiadający mu przyrost wartości funkcji. Przyrost argumentów funkcji oznaczamy przez h. Zauważ, że (x₀+h)-x₀=h. Niech h jest liczbą różną od zera i $x_0+h\in U$

Iloraz:

$\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f(x) w punkcie x₀ dla przyrostu h.

Zauważ że w omawianym przykładzie z prędkością chwilową i średnią również mamy do czynienia z ilorazem różnicowym, gdyż iloraz $\frac{\Delta x}{\Delta t}$ można zapisać jako:

$v_{sr}=\frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}=\frac{x(t_1+\Delta t)-x(t_1)}{\Delta t}=\frac{x(t_1+h)-f(t_1)}{h}, \ h=\Delta t$

Możemy więc zapamiętać, że:

$\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{przyrost \ wartosci \ funkcji}{przyrost \ argumentu}$

Pochodna funkcji w punkcie

Definicja

Jeśli iloraz różnicowy ma w punkcie x₀ granicę gdy h dąży do zera, to tę granicę nazywamy pochodną funkcji w punkcie x₀ i oznaczamy f '(x₀).

$f'(x_0)=\lim_{h\to 0}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}$

Jeżeli funkcja f(x) ma pochodną w punkcie x₀, to mówimy, że jest różniczkowalna w tym punkcie.

Przykład

Obliczymy pochodną funkcji f(x)=2x+1 w punkcie x₀=1.
$f(x_0)=f(1)=2\cdot 1+1=3 \\ f(x_0+h)=f(1+h)=2(1+h)+1=2+2h+1=2h+3\\ f'(x_0)=f'(1)=\lim_{h\to 0}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=\lim_{h\to 0}{\frac{2h+3-3}{h}}=\lim_{h\to 0}{\frac{2h}{h}}=2$

Interpretacja geometryczna pochodnej

Pochodna f'(x₀) jest równa tangensowi kąta nachylenia stycznej do krzywej o równaniu y=f(x) w punkcie o odciętej x₀ do osi OX.

Zostało to zilustrowane na zamieszczonym obok rysunku.

Możemy też stwierdzić, że pochodna funkcji w punkcie f'(x₀) jest równa współczynnikowi kierunkowemu stycznej do krzywej y=f(x) w punkcie o odciętej x₀.

Różniczkowalność a ciągłość funkcji

Twierdzenie

Jeżeli funkcja f(x) jest różniczkowalna w punkcie x₀, to jest w tym punkcie ciągła.

Ciągłość funkcji jest warunkiem koniecznym dla istnienia pochodnej, ale nie jest warunkiem wystarczającym. Twierdzenie odwrotne do powyższego nie jest prawdziwe, to znaczy, że jeśli funkcja jest ciągła w punkcie x₀, to nie znaczy, że jest różniczkowalna w tym punkcie.

Jeżeli funkcja nie jest ciągła w danym punkcie, to nie ma w tym punkcie pochodnej.

To, czy funkcja jest różniczkowalna w danym punkcie można poznać także na podstawie jej wykresu. Funkcja nie jest różniczkowalna w punktach, w których wykres tworzy "ostrza". Na poniższej ilustracji pokazano wykresy funkcji, które nie są różniczkowalne w punkcie x₀.

Przykładem funkcji, która w punkcie x₀ jest ciągła, a nie jest różniczkowalna (nie ma pochodnej w tym punkcie) jest funkcja f(x)=|x|.

Wzory i obliczanie pochodnej

Przy obliczaniu pochodnych przydatne są różnego rodzaju wzory, w tym pochodne funkcji elementarnych, które omawiamy w osobnym artykule, do którego link znajdziesz na końcu artykułu.

Pytania

Jakie zastosowanie mają pochodne?

Pochodne są bardzo istotną częścią języka matematycznego, którym posługuje się praktycznie cała fizyka i nauki techniczne. Większość wzorów w fizyce wykorzystuje właśnie pochodne. Pochodne pojawiają się także w naukach przyrodniczych i ekonomicznych. W matematyce bez pochodnych praktycznie nie ma analizy funkcji. Zadania z treścią, które omawiamy w dalszej części lekcji pokazują, że pochodne mają także zastosowanie w życiu codziennym.