Pochodna funkcji
Pochodna funkcji to jedno z najważniejszych pojęć matematycznych. Jest to narzędzie z którego matematycy korzystają bardzo często nie tylko w analizie matematycznej. Bez rachunku pochodnych nie ma podstaw fizyki, chemii i innych dziedzin nauki. W tym artykule pochodną funkcji wprowadzę w nieco inny sposób, niż to czynią autorzy popularnych podręczników.
Wprowadzenie
Zaczniemy od pojęcia prędkości. Jeżeli chcemy zmierzyć z jaką prędkością jedzie samochód wystarczy zmierzyć położenie x1 samochodu w chwili t1 i po chwili położenie x2 samochodu w chwili t2. W ten sposób wiemy, że samochód przemieścił się o ∆x=x2-x1 w czasie ∆t=t2-t1. Prędkość średnią obliczymy, dzieląc jedną wielkość przez drugą:
Jest to prosta metoda wyznaczania prędkości, ale mało dokładna, bo w czasie ∆t (np. między pierwszą a drugą godziną ruchu) położenie ciała w układzie odniesienia może się zmieniać w różny sposób (np. w pierwszych minutach ruchu ciało może się nie przemieszczać wcale, potem szybko, a później jeszcze inaczej). Dlatego właśnie jest to prędkość średnia. Aby dokładniej mierzyć prędkość można mierzyć ją częściej i w krótszych odstępach czasu. Dalej jest to jednak wartość średnia. Jak zatem obliczyć prędkość w danej chwili? Jak obliczyć przemieszczenie obiektu w konkretnej chwili? Od razu widać, że brakuje nam aparatu matematycznego, aby to zrobić.
W tym momencie przydaje się pojęcie pochodnej. Znamy pojęcie granicy funkcji i wykorzystajmy je tutaj. A gdyby tak brać pod uwagę bardzo małe odcinki czasu, tak małe, że nieskończenie bliskie zeru? Pamiętajmy, że w mianownik musi być różny od zera. Możemy jednak obliczyć granicę: , otrzymując dokładną wartość prędkości w danej chwili pomiaru ruchu.
Jeżeli wiemy, że położenie obiektu w układzie odniesienia jest funkcją czasu, to bez problemu będziemy w stanie obliczyć prędkość chwilową w dowolnej chwili. Wybiegając nieco do przodu, stwierdzamy że prędkość chwilowa jest to pochodna położenia względem czasu i zapisujemy to następująco:
.
Jest to tylko jeden z prostych przykładów przydatności pochodnej funkcji i pokazuje praktyczny aspekt jej stosowania w fizyce. Zdefiniujmy jednak najpierw pochodną, zanim zaczniemy ją stosować w różnych innych przypadkach.
Iloraz różnicowy
Niech f(x) oznacza dowolną funkcję określoną w pewnym otoczeniu U punktu x0.
Zaznaczamy na osi OX pewien przyrost argumentów funkcji oraz na osi OY odpowiadający mu przyrost wartości funkcji. Przyrost argumentów funkcji oznaczamy przez h. Zauważ, że (x0+h)-x0=h. Niech h jest liczbą różną od zera i
Iloraz:
nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f(x) w punkcie x0 dla przyrostu h.
Zauważ że w omawianym przykładzie z prędkością chwilową i średnią również mamy do czynienia z ilorazem różnicowym, gdyż iloraz można zapisać jako:
Możemy więc zapamiętać, że:
Pochodna funkcji w punkcie
Definicja
Jeśli iloraz różnicowy ma w punkcie x0 granicę gdy h dąży do zera, to tę granicę nazywamy pochodną funkcji w punkcie x0 i oznaczamy f '(x0).

Jeżeli funkcja f(x) ma pochodną w punkcie x0, to mówimy, że jest różniczkowalna w tym punkcie.
Przykład
Obliczymy pochodną funkcji f(x)=2x+1 w punkcie x0=1.
Interpretacja geometryczna pochodnej

Pochodna f'(x0) jest równa tangensowi kąta nachylenia stycznej do krzywej o równaniu y=f(x) w punkcie o odciętej x0 do osi OX.
Zostało to zilustrowane na zamieszczonym obok rysunku.
Możemy też stwierdzić, że pochodna funkcji w punkcie f'(x0) jest równa współczynnikowi kierunkowemu stycznej do krzywej y=f(x) w punkcie o odciętej x0.
Różniczkowalność a ciągłość funkcji
Twierdzenie
Jeżeli funkcja f(x) jest różniczkowalna w punkcie x0, to jest w tym punkcie ciągła.
Ciągłość funkcji jest warunkiem koniecznym dla istnienia pochodnej, ale nie jest warunkiem wystarczającym. Twierdzenie odwrotne do powyższego nie jest prawdziwe, to znaczy, że jeśli funkcja jest ciągła w punkcie x0, to nie znaczy, że jest różniczkowalna w tym punkcie.
Jeżeli funkcja nie jest ciągła w danym punkcie, to nie ma w tym punkcie pochodnej.
To, czy funkcja jest różniczkowalna w danym punkcie można poznać także na podstawie jej wykresu. Funkcja nie jest różniczkowalna w punktach, w których wykres tworzy "ostrza". Na poniższej ilustracji pokazano wykresy funkcji, które nie są różniczkowalne w punkcie x0.

Przykładem funkcji, która w punkcie x0 jest ciągła, a nie jest różniczkowalna (nie ma pochodnej w tym punkcie) jest funkcja f(x)=|x|.
Wzory i obliczanie pochodnej
Przy obliczaniu pochodnych przydatne są różnego rodzaju wzory, w tym pochodne funkcji elementarnych, które omawiamy w osobnym artykule, do którego link znajdziesz na końcu artykułu.
Pytania
Jakie zastosowanie mają pochodne?
Pochodne są bardzo istotną częścią języka matematycznego, którym posługuje się praktycznie cała fizyka i nauki techniczne. Większość wzorów w fizyce wykorzystuje właśnie pochodne. Pochodne pojawiają się także w naukach przyrodniczych i ekonomicznych. W matematyce bez pochodnych praktycznie nie ma analizy funkcji. Zadania z treścią, które omawiamy w dalszej części lekcji pokazują, że pochodne mają także zastosowanie w życiu codziennym.
Zadania z rozwiązaniami
Zadanie nr 1.
Obliczyć pochodną funkcji f(x)=-x2+x-1 w punkcie x0=-1.Zadanie nr 2.
Obliczyć pochodną funkcji f(x)=x2 w punkcie x0Inne zagadnienia z tej lekcji
Obliczanie pochodnych

Wzory na pochodne funkcji elementarnych, obliczanie pochodnych, zadania i przykłady
Pochodna funkcji złożonej

Złożenie funkcji - omówienie zagadnienia wraz z animacją prezentującą przykład obliczania pochodnej funkcji złożonej.
Pochodna drugiego rzędu i dalsze pochodne

Jeżeli funkcja f'(x) ma pochodną, to nazywamy ją drugą pochodną lub pochodną drugiego rzędu i oznaczamy symbolem f''(x)
Powiązane quizy
© medianauka.pl, 2010-09-03, ART-885