Pochodna funkcji

Teoria Pochodna funkcji to jedno z najważniejszych pojęć matematycznych. Jest to narzędzie z którego matematycy korzystają bardzo często nie tylko w analizie matematycznej. Bez rachunku pochodnych nie ma podstaw fizyki, chemii i innych dziedzin nauki. W tym artykule pochodną funkcji wprowadzę w nieco inny sposób, niż to czynią autorzy popularnych podręczników.

Wprowadzenie

Teoria Zaczniemy od pojęcia prędkości. Jeżeli chcemy zmierzyć z jaką prędkością jedzie samochód wystarczy zmierzyć położenie x1 samochodu w chwili t1 i po chwili położenie x2 samochodu w chwili t2. W ten sposób wiemy, że samochód przemieścił się o ∆x=x2-x1 w czasie ∆t=t2-t1. Prędkość średnią obliczymy, dzieląc jedną wielkość przez drugą: v_{sr}=\frac{\Delta{x}}{\Delta{t}}
Jest to prosta metoda wyznaczania prędkości, ale mało dokładna, bo w czasie ∆t (np. między pierwszą a drugą godziną ruchu) położenie ciała w układzie odniesienia może się zmieniać w różny sposób (np. w pierwszych minutach ruchu ciało może się nie przemieszczać wcale, potem szybko, a później jeszcze inaczej). Dlatego właśnie jest to prędkość średnia. Aby dokładniej mierzyć prędkość można mierzyć ją częściej i w krótszych odstępach czasu. Dalej jest to jednak wartość średnia. Jak zatem obliczyć prędkość w danej chwili? Jak obliczyć przemieszczenie obiektu w konkretnej chwili? Od razu widać, że brakuje nam aparatu matematycznego, aby to zrobić.

W tym momencie przydaje się pojęcie pochodnej. Znamy pojęcie granicy funkcji i wykorzystajmy je tutaj. A gdyby tak brać pod uwagę bardzo małe odcinki czasu, tak małe, że nieskończenie bliskie zeru? Pamiętajmy, że w mianownik musi być różny od zera. Możemy jednak obliczyć granicę: \lim_{\Delta t\to 0}{\frac{\Delta x}{\Delta t}}, otrzymując dokładną wartość prędkości w danej chwili pomiaru ruchu. Jeżeli wiemy, że położenie obiektu w układzie odniesienia jest funkcją czasu, to bez problemu będziemy w stanie obliczyć prędkość chwilową w dowolnej chwili. Wybiegając nieco do przodu, stwierdzamy że prędkość chwilowa jest to pochodna położenia względem czasu i zapisujemy to następująco: v_{sr}=\frac{dx}{dt}.

Jest to tylko jeden z prostych przykładów przydatności pochodnej funkcji i pokazuje praktyczny aspekt jej stosowania w fizyce. Zdefiniujmy jednak najpierw pochodną, zanim zaczniemy ją stosować w różnych innych przypadkach.

Iloraz różnicowy

iloraz różnicowy
Niech f(x) oznacza dowolną funkcję określoną w pewnym otoczeniu U punktu x0. Zaznaczamy na osi OX pewien przyrost argumentów funkcji oraz na osi OY odpowiadający mu przyrost wartości funkcji. Przyrost argumentów funkcji oznaczamy przez h. Zauważ, że (x0+h)-x0=h. Niech h jest liczbą różną od zera i x_0+h\in U


Iloraz:

\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}

nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f(x) w punkcie x0 dla przyrostu h.

Zauważ że w omawianym przykładzie z prędkością chwilową i średnią również mamy do czynienia z ilorazem różnicowym, gdyż iloraz \frac{\Delta x}{\Delta t} można zapisać jako:

v_{sr}=\frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}=\frac{x(t_1+\Delta t)-x(t_1)}{\Delta t}=\frac{x(t_1+h)-f(t_1)}{h}, \ h=\Delta t

Możemy więc zapamiętać, że:

\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{przyrost \ wartosci \ funkcji}{przyrost \ argumentu}

Pochodna funkcji w punkcie

Definicja Definicja

Jeśli iloraz różnicowy ma w punkcie x0 granicę gdy h dąży do zera, to tę granicę nazywamy pochodną funkcji w punkcie x0 i oznaczamy f '(x0).

f'(x_0)=\lim_{h\to 0}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}

Jeżeli funkcja f(x) ma pochodną w punkcie x0, to mówimy, że jest różniczkowalna w tym punkcie.

Przykład Przykład

Obliczymy pochodną funkcji f(x)=2x+1 w punkcie x0=1.
f(x_0)=f(1)=2\cdot 1+1=3 \\ f(x_0+h)=f(1+h)=2(1+h)+1=2+2h+1=2h+3\\ f'(x_0)=f'(1)=\lim_{h\to 0}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=\lim_{h\to 0}{\frac{2h+3-3}{h}}=\lim_{h\to 0}{\frac{2h}{h}}=2

Interpretacja geometryczna pochodnej

interpretacja geometryczna pochodnej funkcji

Teoria Pochodna f'(x0) jest równa tangensowi kąta nachylenia stycznej do krzywej o równaniu y=f(x) w punkcie o odciętej x0 do osi OX.

Zostało to zilustrowane na zamieszczonym obok rysunku.

Możemy też stwierdzić, że pochodna funkcji w punkcie f'(x0) jest równa współczynnikowi kierunkowemu stycznej do krzywej y=f(x) w punkcie o odciętej x0.

Różniczkowalność a ciągłość funkcji

Twierdzenie Twierdzenie

Jeżeli funkcja f(x) jest różniczkowalna w punkcie x0, to jest w tym punkcie ciągła.

Teoria Ciągłość funkcji jest warunkiem koniecznym dla istnienia pochodnej, ale nie jest warunkiem wystarczającym. Twierdzenie odwrotne do powyższego nie jest prawdziwe, to znaczy, że jeśli funkcja jest ciągła w punkcie x0, to nie znaczy, że jest różniczkowalna w tym punkcie.

Jeżeli funkcja nie jest ciągła w danym punkcie, to nie ma w tym punkcie pochodnej.

To, czy funkcja jest różniczkowalna w danym punkcie można poznać także na podstawie jej wykresu. Funkcja nie jest różniczkowalna w punktach, w których wykres tworzy "ostrza". Na poniższej ilustracji pokazano wykresy funkcji, które nie są różniczkowalne w punkcie x0.

różniczkowalność a ciągłość funkcji

Przykładem funkcji, która w punkcie x0 jest ciągła, a nie jest różniczkowalna (nie ma pochodnej w tym punkcie) jest funkcja f(x)=|x|.

Wzory i obliczanie pochodnej

Przy obliczaniu pochodnych przydatne są różnego rodzaju wzory, w tym pochodne funkcji elementarnych, które omawiamy w osobnym artykule, do którego link znajdziesz na końcu artykułu.

Pytania

Jakie zastosowanie mają pochodne?

Pochodne są bardzo istotną częścią języka matematycznego, którym posługuje się praktycznie cała fizyka i nauki techniczne. Większość wzorów w fizyce wykorzystuje właśnie pochodne. Pochodne pojawiają się także w naukach przyrodniczych i ekonomicznych. W matematyce bez pochodnych praktycznie nie ma analizy funkcji. Zadania z treścią, które omawiamy w dalszej części lekcji pokazują, że pochodne mają także zastosowanie w życiu codziennym.



© medianauka.pl, 2010-09-03, ART-885


Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zadania związane z tematem:
Pochodna funkcji

zadanie-ikonka Zadanie - pochodna funkcji w punkcie
Obliczyć pochodną funkcji f(x)=-x2+x-1 w punkcie x0=-1.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - pochodna funkcji w punkcie
Obliczyć pochodną funkcji f(x)=x2 w punkcie x0

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - pochodna funkcji w punkcie
Obliczyć pochodną funkcji f(x)=\frac{1}{x+1} w punkcie x0=0

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - różniczkowalność funkcji
Obliczyć pochodną funkcji f(x)=|x| w punkcie x0=0

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - pochodna funkcji w punkcie
Obliczyć pochodną funkcji f(x)=\begin{cases} x^2 \ dla \ x\geq 0 \\ -2x^2 \ dla \ x<0 \end{cases} w punkcie x0=0.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - różniczkowalność funkcji
Obliczyć pochodną funkcji f(x)=|x| w punkcie x0=0

Pokaż rozwiązanie zadania



Inne zagadnienia z tej lekcji

Obliczanie pochodnychObliczanie pochodnych
Wzory na pochodne funkcji elementarnych, obliczanie pochodnych, zadania i przykłady
Pochodna funkcji złożonejPochodna funkcji złożonej
Złożenie funkcji - omówienie zagadnienia wraz z animacją prezentującą przykład obliczania pochodnej funkcji złożonej.
Pochodna drugiego rzędu i dalsze pochodnePochodna drugiego rzędu i dalsze pochodne
Jeżeli funkcja f'(x) ma pochodną, to nazywamy ją drugą pochodną lub pochodną drugiego rzędu i oznaczamy symbolem f''(x)



Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© Media Nauka 2008-2018 r.