Pochodna drugiego rzędu i dalsze pochodne

Definicja Definicja

Jeżeli funkcjaf'(x) ma pochodną, to nazywamy ją drugą pochodną lub pochodną drugiego rzędu i oznaczamy symbolem:

f''(x)=(f'(x))'

Przykład Przykład

Aby obliczyć drugą pochodną funkcji, obliczamy najpierw jej pochodną, a potem obliczamy pochodną otrzymanego wyniku.

f(x)=x, \ f'(x)=(x)'=1,\ f''(x)=(1)'=0\\f(x)=\sin{x}, \ f'(x)=\cos{x},\ f''(x)=-\sin{x}\\f(x)=x^2+1, \ f'(x)=2x,\ f''(x)=2

Pochodne wyższych rzędów

Teoria W analogiczny sposób określamy pochodne wyższych rzędów. Oznaczamy je kolejno za pomocą liczb rzymskich:

f^{II},f^{III},f^{IV},f^{V},...

lub za pomocą liczb arabskich, ujmując je w nawiasy: f^{II},f^{(3)},f^{(4)},f^{(5)},...

Przykład Przykład

Obliczmy pochodną piątego rzędu funkcji f(x)=x^{10}.

f(x)=x^{10}\\f'(x)=10x^9\\f^{II}(x)=90x^8\\f^{III}(x)=720x^7\\f^{IV}(x)=5040x^6\\f^{V}(x)=30240x^5



© medianauka.pl, 2010-09-18, ART-912


Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zadania związane z tematem:
Pochodna drugiego rzędu i dalsze pochodne

zadanie-ikonka Zadanie - pochodna drugiego rzędu
Obliczyć drugą pochodną funkcji:
a) f(x)=\sqrt{x}
b) f(x)=x^2-x^3+\frac{1}{x^3}

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - pochodna drugiego rzędu
Obliczyć drugą pochodną funkcji:
a)f(x)=\cos^2{2x}
b) f(x)=\frac{x^2+1}{x^2-1}

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - druga pochodna funkcji
Dla jakiej wartości argumentu x druga pochodna funkcji f(x)=\frac{1}{1+x} jest równa \frac{1}{4}?

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - druga pochodna funkcji
Rozwiąż równanie y''+y'=0, gdzie y=x3+1.

Pokaż rozwiązanie zadania



Inne zagadnienia z tej lekcji

Pochodna funkcjiPochodna funkcji
Co to jest pochodna funkcji, pochodna funkcji w punkcie, iloraz różnicowy?
Obliczanie pochodnychObliczanie pochodnych
Wzory na pochodne funkcji elementarnych, obliczanie pochodnych, zadania i przykłady
Pochodna funkcji złożonejPochodna funkcji złożonej
Złożenie funkcji - omówienie zagadnienia wraz z animacją prezentującą przykład obliczania pochodnej funkcji złożonej.



Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© Media Nauka 2008-2018 r.