logo

Pochodne cząstkowe

Dana jest funkcja wielu zmiennych y=f(x1, x2, x3, ..., xn) określona w pewnym otoczeniu punktu p0=(x01, x02, x03, ..., x0n).

Pochodna cząstkowa funkcji f względem zmiennej xi jest zdefiniowana jako granica ilorazu różnicowego:

\frac{\partial f}{\partial x_i}=\lim_{\Delta x\to 0}{\frac{f(x_1,x_2,...x_i+\Delta x_i, ..., x_n)-f(x_1, x_2,...,x_n)}{\Delta x_i}}

gdzie xi jest tutaj uważana za zmienną, względem której obliczamy powyższą granicę, zaś wszystkie pozostałe n-1 zmiennych należy traktować jako parametry (stałe).

Z powyższej definicji widać, że jeżeli mamy funkcję n zmiennych, możemy dla niej obliczyć n pochodnych cząstkowych.

Pochodne wyższych rzędów oblicza się poprzez różniczkowanie znów po dowolnych zmiennych. Pochodne wyższych rzędów obliczane względem zmiennych różnych niż wybrana początkowo to tak zwane pochodne cząstkowe mieszane.

Oznaczenia pochodnej cząstkowej

Dla pochodnej cząstkowej względem x możemy stosować następujące oznaczenia:

\frac{\partial f}{\partial x}, f_x, f'_x, \partial_xf

Dla pochodnej mieszanej używamy symbolu:

Jak obliczać pochodne cząstkowe?

Aby obliczyć pochodną cząstkową możemy stosować wszystkie wzory na pochodną z rachunku różniczkowego jednej zmiennej.

Przykład 1

Obliczyć pochodne cząstkowe względem zmiennych x, y, z funkcji f(x,y,z)=x2y3z4.

Rozwiązanie:

\frac{\partial f}{\partial x}=2xy^3z^4\\\frac{\partial f}{\partial y}=x^23y^2z^4\\\frac{\partial f}{\partial z}=x^2y^34z^3

Przykład 2

Dana jest funkcja f(x,y)=x2y3. Obliczyć:

.

Rozwiązanie:

\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=\frac{\partial f}{\partial x } (x^2\cdot3y^2)=2x\cdot3y^2=6xy^2

Rząd pochodnej cząstkowej

Liczbę zastosowanych różniczkowań to tak zwany rząd pochodnej cząstkowej.




© medianauka.pl, 2021-08-22, ART-4148

 

Pochodna funkcji

Pochodna funkcji

Co to jest pochodna funkcji, pochodna funkcji w punkcie, iloraz różnicowy?








Polecamy w naszym sklepie

Kolorowe skarpetki Miasto
Kolorowe skarpetki 3D
Kolorowe skarpetki - kolorowe grochy
Kolorowe skarpetki - kolorowe grochy
Kolorowe skarpetki Kostka
Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© ® Media Nauka 2008-2021 r.