Pochodne cząstkowe
Dana jest funkcja wielu zmiennych y=f(x1, x2, x3, ..., xn) określona w pewnym otoczeniu punktu p0=(x01, x02, x03, ..., x0n).
Pochodna cząstkowa funkcji f względem zmiennej xi jest zdefiniowana jako granica ilorazu różnicowego:

gdzie xi jest tutaj uważana za zmienną, względem której obliczamy powyższą granicę, zaś wszystkie pozostałe n-1 zmiennych należy traktować jako parametry (stałe).
Z powyższej definicji widać, że jeżeli mamy funkcję n zmiennych, możemy dla niej obliczyć n pochodnych cząstkowych.
Pochodne wyższych rzędów oblicza się poprzez różniczkowanie znów po dowolnych zmiennych. Pochodne wyższych rzędów obliczane względem zmiennych różnych niż wybrana początkowo to tak zwane pochodne cząstkowe mieszane.
Oznaczenia pochodnej cząstkowej
Dla pochodnej cząstkowej względem x możemy stosować następujące oznaczenia:
Dla pochodnej mieszanej używamy symbolu:
Jak obliczać pochodne cząstkowe?
Aby obliczyć pochodną cząstkową możemy stosować wszystkie wzory na pochodną z rachunku różniczkowego jednej zmiennej.
Przykład 1
Obliczyć pochodne cząstkowe względem zmiennych x, y, z funkcji f(x,y,z)=x2y3z4.
Rozwiązanie:
Przykład 2
Dana jest funkcja f(x,y)=x2y3. Obliczyć:
.
Rozwiązanie:
Rząd pochodnej cząstkowej
Liczbę zastosowanych różniczkowań to tak zwany rząd pochodnej cząstkowej.
© medianauka.pl, 2021-08-22, ART-4148