Pochodne cząstkowe

Dana jest funkcja wielu zmiennych y=f(x₁, x₂, x₃, ..., x_n) określona w pewnym otoczeniu punktu p₀=(x₀₁, x₀₂, x₀₃, ..., x_0n).

Pochodna cząstkowa funkcji f względem zmiennej x_i jest zdefiniowana jako granica ilorazu różnicowego:

$\frac{\partial f}{\partial x_i}=\lim_{\Delta x\to 0}{\frac{f(x_1,x_2,...x_i+\Delta x_i, ..., x_n)-f(x_1, x_2,...,x_n)}{\Delta x_i}}$

gdzie x_i jest tutaj uważana za zmienną, względem której obliczamy powyższą granicę, zaś wszystkie pozostałe n-1 zmiennych należy traktować jako parametry (stałe).

Z powyższej definicji widać, że jeżeli mamy funkcję n zmiennych, możemy dla niej obliczyć n pochodnych cząstkowych.

Pochodne wyższych rzędów oblicza się poprzez różniczkowanie znów po dowolnych zmiennych. Pochodne wyższych rzędów obliczane względem zmiennych różnych niż wybrana początkowo to tak zwane pochodne cząstkowe mieszane.

Oznaczenia pochodnej cząstkowej

Dla pochodnej cząstkowej względem x możemy stosować następujące oznaczenia:

$\frac{\partial f}{\partial x}, f_x, f'_x, \partial_xf$

Dla pochodnej mieszanej używamy symbolu:

Jak obliczać pochodne cząstkowe?

Aby obliczyć pochodną cząstkową możemy stosować wszystkie wzory na pochodną z rachunku różniczkowego jednej zmiennej.

Przykład 1

Obliczyć pochodne cząstkowe względem zmiennych x, y, z funkcji f(x,y,z)=x²y³z⁴.

Rozwiązanie:

$\frac{\partial f}{\partial x}=2xy^3z^4\\\frac{\partial f}{\partial y}=x^23y^2z^4\\\frac{\partial f}{\partial z}=x^2y^34z^3$

Przykład 2

Dana jest funkcja f(x,y)=x²y³. Obliczyć:

Rozwiązanie:

$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=\frac{\partial f}{\partial x } (x^2\cdot3y^2)=2x\cdot3y^2=6xy^2$

Rząd pochodnej cząstkowej

Liczbę zastosowanych różniczkowań to tak zwany rząd pochodnej cząstkowej.

Pochodna funkcji

Co to jest pochodna funkcji, pochodna funkcji w punkcie, iloraz różnicowy?