Pochodna funkcji złożonej
W niniejszym artykule zajmiemy się pochodną funkcji złożonej. Gdy poznasz zasady obliczania pochodnej takich funkcji, będziesz umiał obliczyć pochodną prawie każdej funkcji, z jakimi się spotkasz w szkole.
Twierdzenie o pochodnej funkcji złożonej
Jeśli funkcja \(h\) jest złożeniem funkcji \(f\) z funkcją \(g\) i funkcja \(f\) jest różniczkowalna w punkcie \(x\), natomiast funkcja \(g\) jest różniczkowalna w punkcie \(y=f(x)\), to funkcja \(h\) jest różniczkowalna w punkcie \(x\), a pochodna funkcji \(h\) jest równa:
Można w skrócie powiedzieć, że pochodna funkcji złożonej jest równa iloczynowi pochodnej funkcji zewnętrznej i pochodnej funkcji wewnętrznej. Argumentem funkcji zewnętrznej jest \(f(x)\).
Zilustrujemy powyższe twierdzenie prostym przykładem za pomocą animacji.
Animacja
Jak obliczać pochodne funkcji złożonych? Oto przykład rozwiązany metodą przez podstawienie, a także w innym wariancie stosujemy bezpośrednio wzór na pochodną funkcji złożonej.
Przykład
Oblicz pochodną funkcji \(f(x)=\sqrt{\sin{x}}\).
Mamy tutaj do czynienia z funkcją złożoną. Funkcją zewnętrzną jest tutaj pierwiastek, funkcją wewnętrzną — sinus. Obliczamy w pamięci najpierw pochodną funkcji zewnętrznej, a potem funkcji wewnętrznej. Pochodna funkcji złożonej stanowi iloczyn tych pochodnych.
\(f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{\sin{x}}}\cdot \cos{x}\)
Alternatywne rozwiązanie
Jeżeli masz kłopot w obliczaniu pochodnej funkcji złożonej w pamięci, można stosować podstawienie.
\(f(x)=\sqrt{\sin{x}}\)
\(u=\sin{x}\\ f(u)=\sqrt{u}\)
\( u'=\cos{u}\)
\(f'(u)=\frac{1}{2\sqrt{u}}\)
\( f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{\sin{x}}}\cdot \cos{x}\)
Zadania z rozwiązaniami
Zadanie nr 1.
Obliczyć pochodną funkcji:
a) \(f(x)=\sin{2x}\)
b) \(f(x)=\sqrt{x^3-2x+1}\)
c) \(f(x)=\sqrt[3]{1+x^2}\)
Zadanie nr 2.
Obliczyć pochodną funkcji:
a) \(f(x)=\sin{(\cos{x})}\)
b) \(f(x)=\sqrt{x^2+\sqrt{x}}\)
Zadanie nr 4.
Obliczyć pochodną funkcji \(f(x)=\frac{\sin{2x}}{1+cos^2{x}}\).
Powiązane materiały
Pochodna funkcji
Pochodna drugiego rzędu i dalsze pochodne
Pochodne cząstkowe
Pochodna funkcji© medianauka.pl, 2010-09-13, A-903
Data aktualizacji artykułu: 2023-05-16