Pochodna funkcji złożonej

W niniejszym artykule zajmiemy się pochodną funkcji złożonej. Gdy poznasz zasady obliczania pochodnej takich funkcji, będziesz umiał obliczyć pochodną prawie każdej funkcji, z jakimi się spotkasz w szkole.

Twierdzenie o pochodnej funkcji złożonej

Jeśli funkcja h jest złożeniem funkcji f z funkcją g i funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x, natomiast funkcja g jest różniczkowalna w punkcie y=f(x), to funkcja h jest różniczkowalna w punkcie x, a pochodna funkcji h jest równa:

$h'(x)=g'(f(x))\cdot f'(x)$

Można w skrócie powiedzieć, że pochodna funkcji złożonej jest równa iloczynowi pochodnej funkcji zewnętrznej i pochodnej funkcji wewnętrznej. Argumentem funkcji zewnętrznej jest f(x).

Zilustrujemy powyższe twierdzenie prostym przykładem za pomocą animacji.

Animacja

Przykład

Obliczmy pochodną funkcji: $f(x)=\sqrt{\sin{x}}$ .

Mamy tutaj do czynienia z funkcją złożoną. Funkcją zewnętrzną jest tutaj pierwiastek, funkcją wewnętrzną - sinus. Obliczamy w pamięci najpierw pochodną funkcji zewnętrznej, a potem funkcji wewnętrznej. Pochodna funkcji złożonej stanowi iloczyn tych pochodnych.

$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{\sin{x}}}\cdot \cos{x}$

Alternatywne rozwiązanie

Jeżeli masz kłopot w obliczaniu pochodnej funkcji złożonej w pamięci można stosować podstawienie.

$f(x)=\sqrt{\sin{x}}\\ u=\sin{x}\\ f(u)=\sqrt{u}\\ u'=\cos{u}\\ f'(u)=\frac{1}{2\sqrt{u}}\\ f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{\sin{x}}}\cdot \cos{x}$

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Obliczyć pochodną funkcji:
a) $f(x)=\sin{2x}$
b) $f(x)=\sqrt{x^3-2x+1}$
c) $f(x)=\sqrt[3]{1+x^2}$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Obliczyć pochodną funkcji:
a) $f(x)=\sin{(\cos{x})}$
b) $f(x)=\sqrt{x^2+\sqrt{x}}$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Obliczyć pochodną funkcji
$f(x)=\sin^2{x}\cdot \cos^2{x}$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Obliczyć pochodną funkcji
$f(x)=\frac{\sin{2x}}{1+cos^2{x}}$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Inne zagadnienia z tej lekcji

Pochodna funkcji

Co to jest pochodna funkcji, pochodna funkcji w punkcie, iloraz różnicowy?

Obliczanie pochodnych

Wzory na pochodne funkcji elementarnych, obliczanie pochodnych, zadania i przykłady

Pochodna drugiego rzędu i dalsze pochodne

Jeżeli funkcja f'(x) ma pochodną, to nazywamy ją drugą pochodną lub pochodną drugiego rzędu i oznaczamy symbolem f''(x)

Test wiedzy

Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.