Pochodna funkcji złożonej
W niniejszym artykule zajmiemy się pochodną funkcji złożonej. Gdy poznasz zasady obliczania pochodnej takich funkcji, będziesz umiał obliczyć pochodną prawie każdej funkcji, z jakimi się spotkasz w szkole.
Twierdzenie o pochodnej funkcji złożonej
Jeśli funkcja h jest złożeniem funkcji f z funkcją g i funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x, natomiast funkcja g jest różniczkowalna w punkcie y=f(x), to funkcja h jest różniczkowalna w punkcie x, a pochodna funkcji h jest równa:

Można w skrócie powiedzieć, że pochodna funkcji złożonej jest równa iloczynowi pochodnej funkcji zewnętrznej i pochodnej funkcji wewnętrznej. Argumentem funkcji zewnętrznej jest f(x).
Zilustrujemy powyższe twierdzenie prostym przykładem za pomocą animacji.

Animacja

Przykład
Obliczmy pochodną funkcji: .
Mamy tutaj do czynienia z funkcją złożoną. Funkcją zewnętrzną jest tutaj pierwiastek, funkcją wewnętrzną - sinus. Obliczamy w pamięci najpierw pochodną funkcji zewnętrznej, a potem funkcji wewnętrznej. Pochodna funkcji złożonej stanowi iloczyn tych pochodnych.
Alternatywne rozwiązanie
Jeżeli masz kłopot w obliczaniu pochodnej funkcji złożonej w pamięci można stosować podstawienie.
Zadania z rozwiązaniami
Inne zagadnienia z tej lekcji
Obliczanie pochodnych

Wzory na pochodne funkcji elementarnych, obliczanie pochodnych, zadania i przykłady
Pochodna drugiego rzędu i dalsze pochodne

Jeżeli funkcja f'(x) ma pochodną, to nazywamy ją drugą pochodną lub pochodną drugiego rzędu i oznaczamy symbolem f''(x)
© medianauka.pl, 2010-09-13, ART-903