Zadanie - pochodna funkcji złożonej
a)

b)

c)
![f(x)=\sqrt[3]{1+x^2}](matematyka/wzory/zad479/1.gif)
a) Rozwiązanie zadania
Skorzystamy ze wzoru na obliczanie pochodnej funkcji złożonej:

Dana jest funkcja
Mamy tu do czynienia z funkcją zewnętrzną (sinus) i wewnętrzną (2x). Postępujemy więc zgodnie z przytoczonym wyżej wzorem. Obliczamy najpierw pochodną funkcji zewnętrznej, której argumentem jest funkcja wewnętrzna, a potem pochodną funkcji wewnętrznej.

Alternatywny sposób rozwiązania.
Jeżeli masz kłopot w obliczaniu pochodnej funkcji złożonej w pamięci, możesz stosować podstawienie, jednak przy obliczaniu pochodnych bardziej skomplikowanych funkcji ta metoda może okazać się kłopotliwa.

Odpowiedź

b) Rozwiązanie zadania
Znów korzystamy ze wzoru na obliczanie pochodnej funkcji złożonej:

Dana jest funkcja
Mamy tu do czynienia z funkcją zewnętrzną (pierwiastek) i wewnętrzną (suma jednomianów). Postępujemy więc zgodnie z przytoczonym wyżej wzorem. Obliczamy najpierw pochodną funkcji zewnętrznej, której argumentem jest funkcja wewnętrzna, a potem pochodną funkcji wewnętrznej.

Alternatywny sposób rozwiązania.
Odpowiedź

c) Rozwiązanie zadania
Skorzystamy ze wzoru na obliczanie pochodnej funkcji złożonej:

Dana jest funkcja
Ponieważ nie znamy podstawowego wzoru na obliczenie pochodnej pierwiastka trzeciego stopnia, skorzystamy z definicji potęgi o wykładniku wymiernym.
![f(x)=\sqrt[3]{1+x^2}=(1+x^2)^{\frac{1}{3}}](matematyka/wzory/zad479/4.gif)
Mamy tu do czynienia z funkcją zewnętrzną (potęgowanie) i wewnętrzną (suma jednomianów). Postępujemy więc zgodnie z przytoczonym wyżej wzorem. Obliczamy najpierw pochodną funkcji zewnętrznej, której argumentem jest funkcja wewnętrzna, a potem pochodną funkcji wewnętrznej.
![f'(x)=\frac{1}{3}(1+x^2)^{\frac{1}{3}-1}\cdot (1+x^2)'=\frac{1}{3}(1+x^2)^{-\frac{2}{3}}\cdot 2x=\frac{2x}{3(1+x^2)^{\frac{2}{3}}}=\frac{2x}{3\sqrt[3]{(1+x^2)^2}](matematyka/wzory/zad479/5.gif)
Alternatywny sposób rozwiązania.
Odpowiedź
![f'(x)=\frac{2x}{3\sqrt[3]{(1+x^2)^2}](matematyka/wzory/zad479/7.gif)
© medianauka.pl, 2010-09-13, ZAD-904
Zadania podobne

Obliczyć pochodną funkcji:
a)

b)

Pokaż rozwiązanie zadania

Obliczyć pochodną funkcji

Pokaż rozwiązanie zadania

Obliczyć pochodną funkcji

Pokaż rozwiązanie zadania