Nauka » Matematyka » Pochodna funkcji złożonej

Zadanie - pochodna funkcji złożonej

Obliczyć pochodną funkcji:
a) $f(x)=\sin{2x}$
b) $f(x)=\sqrt{x^3-2x+1}$
c) $f(x)=\sqrt[3]{1+x^2}$

a) Rozwiązanie zadania

Skorzystamy ze wzoru na obliczanie pochodnej funkcji złożonej:

$h'(x)=g'(f(x))\cdot f'(x)$

Dana jest funkcja $f(x)=\sin{2x}$

Mamy tu do czynienia z funkcją zewnętrzną (sinus) i wewnętrzną (2x). Postępujemy więc zgodnie z przytoczonym wyżej wzorem. Obliczamy najpierw pochodną funkcji zewnętrznej, której argumentem jest funkcja wewnętrzna, a potem pochodną funkcji wewnętrznej.

$f'(x)=\cos{2x}\cdot (2x)'=\cos{2x}\cdot 2=2\cos{2x}$

Alternatywny sposób rozwiązania.

Jeżeli masz kłopot w obliczaniu pochodnej funkcji złożonej w pamięci, możesz stosować podstawienie, jednak przy obliczaniu pochodnych bardziej skomplikowanych funkcji ta metoda może okazać się kłopotliwa.

$f(x)=\sin{2x}\\ u=2x \\ u'=(2x)'=2 \\ f(u)=\sin{u} \\ f'(u)=(\sin{u})'=\cos{u}\\ f'(x)=\cos{2x}\cdot 2=2\cos{2x}$

Odpowiedź

$f'(x)=2\cos{2x}$

b) Rozwiązanie zadania

Znów korzystamy ze wzoru na obliczanie pochodnej funkcji złożonej:

$h'(x)=g'(f(x))\cdot f'(x)$

Dana jest funkcja $f(x)=\sqrt{x^3-2x+1}$

Mamy tu do czynienia z funkcją zewnętrzną (pierwiastek) i wewnętrzną (suma jednomianów). Postępujemy więc zgodnie z przytoczonym wyżej wzorem. Obliczamy najpierw pochodną funkcji zewnętrznej, której argumentem jest funkcja wewnętrzna, a potem pochodną funkcji wewnętrznej.

$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x^3-2x+1}}\cdot (x^3-2x+1)'=\frac{1}{2\sqrt{x^3-2x+1}}\cdot (3x^2-2)=\frac{3x^2-2}{2\sqrt{x^3-2x+1}}$

Alternatywny sposób rozwiązania.

$f(x)=\sqrt{x^3-2x+1}\\ u=x^3-2x+1 \\ u'=(x^3-2x+1)'=3x^{3-1}-2x^{1-1}+0=3x^2-2 \\ f(u)=\sqrt{u} \\ f'(u)=\frac{1}{2\sqrt{u}}\\ f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x^3-2x+1}}\cdot (3x^2-2)$

Odpowiedź

$f'(x)=\frac{3x^2-2}{2\sqrt{x^3-2x+1}}$

c) Rozwiązanie zadania

Skorzystamy ze wzoru na obliczanie pochodnej funkcji złożonej:

$h'(x)=g'(f(x))\cdot f'(x)$

Dana jest funkcja $f(x)=\sqrt[3]{1+x^2}$

Ponieważ nie znamy podstawowego wzoru na obliczenie pochodnej pierwiastka trzeciego stopnia, skorzystamy z definicji potęgi o wykładniku wymiernym.

$f(x)=\sqrt[3]{1+x^2}=(1+x^2)^{\frac{1}{3}}$

Mamy tu do czynienia z funkcją zewnętrzną (potęgowanie) i wewnętrzną (suma jednomianów). Postępujemy więc zgodnie z przytoczonym wyżej wzorem. Obliczamy najpierw pochodną funkcji zewnętrznej, której argumentem jest funkcja wewnętrzna, a potem pochodną funkcji wewnętrznej.

$f'(x)=\frac{1}{3}(1+x^2)^{\frac{1}{3}-1}\cdot (1+x^2)'=\frac{1}{3}(1+x^2)^{-\frac{2}{3}}\cdot 2x=\frac{2x}{3(1+x^2)^{\frac{2}{3}}}=\frac{2x}{3\sqrt[3]{(1+x^2)^2}$

Alternatywny sposób rozwiązania.

$f(x)=(1+x^2)^{\frac{1}{3}}\\ u=1+x^2 \\ u'=(1+x^2)'=2x\\ f(u)=u^{\frac{1}{3}} \\ f'(u)=\frac{1}{3}u^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{3\sqrt[3]{u^2}}\\ f'(x)=\frac{2x}{3\sqrt[3]{(1+x^2)^2}$