Nauka » Matematyka » Pochodna funkcji złożonej

Zadanie - pochodna funkcji złożonej

Obliczyć pochodną funkcji
$f(x)=\frac{\sin{2x}}{1+cos^2{x}}$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$f'(x)=\frac{(\sin{2x})'(1+\cos^2{x})-\sin{2x}(1+\cos^2{x})'}{(1+\cos^2{x})^2}=\\ =\frac{\cos{2x}\cdot2(1+\cos^2{x})-\sin{2x}\cdot 2\cos{x}\cdot(-\sin{x})}{(1+\cos^2{x})^2}=\\ =\frac{2\cos{2x}(1+\cos^2{x})+2\sin{x}\cdot \sin{2x}\cdot \cos{x}}{(1+\cos^2{x})^2}=\\ =\frac{2\cos{2x}+2\cos{2x}\cos^2{x}+2\sin{x}\cos{x}\cdot \sin{2x}}{(1+\cos^2{x})^2}=\\ =\frac{2\cos{2x}+2\cos{2x}\cos^2{x}+\sin^2{2x}}{(1+\cos^2{x})^2}$

Rozwiązanie zadania szczegółowe

Mamy tu do czynienia z ilorazem dwóch funkcji. Stosujemy więc w pierwszej kolejności wzór na pochodną ilorazu funkcji:

$(\frac{f(x)}{g(x)})'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$

Mamy więc:

$f'(x)=\frac{(\sin{2x})'(1+\cos^2{x})-\sin{2x}(1+\cos^2{x})'}{(1+\cos^2{x})^2}=$ tło

Mamy tutaj dwie pochodne funkcji złożonej. Skorzystamy ze wzoru na obliczanie pochodnej funkcji złożonej:

$h'(x)=g'(f(x))\cdot f'(x)$

W pierwszym przypadku (kolor żółty) mamy do czynienia z funkcją zewnętrzną (sinus) i wewnętrzną (2x). Postępujemy więc zgodnie z przytoczonym wyżej wzorem. Obliczamy najpierw pochodną funkcji zewnętrznej, której argumentem jest funkcja wewnętrzna, a potem pochodną funkcji wewnętrznej.

$f(x)=\sin{2x}\\ f'(x)=\cos{2x}\cdot (2x)'=2\cos{2x}$

W drugim przypadku (kolor fioletowy) mamy do czynienia z sumą funkcji oraz funkcją zewnętrzną (druga potęga) i wewnętrzną (cosinus). Postępujemy więc zgodnie z przytoczonym wyżej wzorem. Obliczamy najpierw pochodną funkcji zewnętrznej, której argumentem jest funkcja wewnętrzna, a potem pochodną funkcji wewnętrznej.

$f(x)=1+\cos^2{x}\\ f'(x)=(1)'+(\cos^2{x})'=0+2\cos{x}\cdot (\cos{x})'=2\cos{x}\cdot (-\sin{x}}=-2\sin{x}\cos{x}=-\sin{2x}$

Mamy więc:

$f'(x)=\frac{2\cos{2x}\cdot (1+\cos^2{x})-\sin{2x}\cdot (-\sin{2x})}{(1+\cos^2{x})^2}=$ tło

Dalej już wykonujemy zwykłe działania w liczniku:

$=\frac{2\cos{2x}+2\cos{2x}\cos^2{x}+\sin^2{2x}}{(1+\cos^2{x})^2}$

Odpowiedź

$f'(x)=\frac{2\cos{2x}+2\cos{2x}\cos^2{x}+\sin^2{2x}}{(1+\cos^2{x})^2}$

Zadania podobne

Zadanie - pochodna funkcji złożonej
Obliczyć pochodną funkcji:
a) $f(x)=\sin{2x}$
b) $f(x)=\sqrt{x^3-2x+1}$
c) $f(x)=\sqrt[3]{1+x^2}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pochodna funkcji złożonej
Obliczyć pochodną funkcji:
a) $f(x)=\sin{(\cos{x})}$
b) $f(x)=\sqrt{x^2+\sqrt{x}}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pochodna funkcji złożonej
Obliczyć pochodną funkcji
$f(x)=\sin^2{x}\cdot \cos^2{x}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.