Nauka » Matematyka » Pochodna funkcji złożonej

Zadanie - pochodna funkcji złożonej

Treść zadania:

Obliczyć pochodną funkcji:

a) \(f(x)=\sin{(\cos{x})}\)

b) \(f(x)=\sqrt{x^2+\sqrt{x}}\)

Skorzystamy tu ze wzoru na obliczanie pochodnej funkcji złożonej:

\(h'(x)=g'(f(x))\cdot f'(x)\)

Rozwiązanie części a)

Dana jest funkcja \(f(x)=\sin{(\cos{x})}\)

Rozpoznajemy funkcją zewnętrzną (sinus) i wewnętrzną (cosinus). Obliczamy więc najpierw pochodną funkcji zewnętrznej, której argumentem jest funkcja wewnętrzna, a potem pochodną funkcji wewnętrznej.

\(f'(x)=\cos{(\cos{x})}\cdot(-\sin{x})=-\sin{x}\cos{(cos{x})}\)

Alternatywny sposób rozwiązania.

Jeżeli masz kłopot w obliczaniu pochodnej funkcji złożonej w pamięci, możesz stosować podstawienie, jednak przy obliczaniu pochodnych bardziej skomplikowanych funkcji ta metoda może okazać się kłopotliwa.

\(f(x)=\sin{(\cos{x})}\)

\(u=\cos{x}\)

\(u'=-\sin{x}\)

\(f(u)=\sin{u}\)

\(f'(u)=\cos{u}\)

\(f'(x)=-\sin{x}\cos{(cos{x})}\)

Rozwiązanie części b)

Dana jest funkcja \(\sqrt{x^2+\sqrt{x}}\).

Mamy tu do czynienia z funkcją zewnętrzną (pierwiastek) i wewnętrzną (suma kwadratu \(x\) i pierwiastka z \(x\)). Postępujemy więc zgodnie z przytoczonym wyżej wzorem. Obliczamy najpierw pochodną funkcji zewnętrznej, której argumentem jest funkcja wewnętrzna, a potem pochodną funkcji wewnętrznej.

\("f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x^2+\sqrt{x}}}\cdot (x^2+\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x^2+\sqrt{x}}}\cdot (2x+\frac{1}{2\sqrt{x}})\)

Alternatywny sposób rozwiązania.

\(f(x)=\sqrt{x^2+\sqrt{x}}\)

\(u=x^2+\sqrt{x}\)

\(u'=2x+\frac{1}{2\sqrt{x}}\)

\(f(u)=\sqrt{u}\)

\(f'(u)=\frac{1}{2\sqrt{u}}\)

\(f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x^2+\sqrt{x}}}\cdot (2x+\frac{1}{2\sqrt{x}})\)