Strona główna » Matematyka » Pochodna funkcji złożonej

Zadanie - pochodna funkcji złożonej

Obliczyć pochodną funkcji:
a) $f(x)=\sin{(\cos{x})}$
b) $f(x)=\sqrt{x^2+\sqrt{x}}$

a) Rozwiązanie zadania

Skorzystamy ze wzoru na obliczanie pochodnej funkcji złożonej:

$h'(x)=g'(f(x))\cdot f'(x)$

Dana jest funkcja $f(x)=\sin{(\cos{x})}$

Rozpoznajemy funkcją zewnętrzną (sinus) i wewnętrzną (cosinus). Obliczamy więc najpierw pochodną funkcji zewnętrznej, której argumentem jest funkcja wewnętrzna, a potem pochodną funkcji wewnętrznej.

$f'(x)=\cos{(\cos{x})}\cdot(-\sin{x})=-\sin{x}\cos{(cos{x})}$

Alternatywny sposób rozwiązania.

Jeżeli masz kłopot w obliczaniu pochodnej funkcji złożonej w pamięci, możesz stosować podstawienie, jednak przy obliczaniu pochodnych bardziej skomplikowanych funkcji ta metoda może okazać się kłopotliwa.

$f(x)=\sin{(\cos{x})}\\ u=\cos{x} \\ u'=-\sin{x}\\ f(u)=\sin{u} \\ f'(u)=\cos{u}\\ f'(x)=-\sin{x}\cos{(cos{x})}$

Odpowiedź

$f'(x)=-\sin{x}\cos{(cos{x})}$

b) Rozwiązanie zadania

Skorzystamy ze wzoru na obliczanie pochodnej funkcji złożonej:

$h'(x)=g'(f(x))\cdot f'(x)$

Dana jest funkcja $\sqrt{x^2+\sqrt{x}}$

Mamy tu do czynienia z funkcją zewnętrzną (pierwiastek) i wewnętrzną (suma kwadratu x i pierwiastka z x). Postępujemy więc zgodnie z przytoczonym wyżej wzorem. Obliczamy najpierw pochodną funkcji zewnętrznej, której argumentem jest funkcja wewnętrzna, a potem pochodną funkcji wewnętrznej.

$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x^2+\sqrt{x}}}\cdot (x^2+\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x^2+\sqrt{x}}}\cdot (2x+\frac{1}{2\sqrt{x}})$

Alternatywny sposób rozwiązania.

$f(x)=\sqrt{x^2+\sqrt{x}}\\ u=x^2+\sqrt{x} \\ u'=2x+\frac{1}{2\sqrt{x}}\\ f(u)=\sqrt{u} \\ f'(u)=\frac{1}{2\sqrt{u}}\\ f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x^2+\sqrt{x}}}\cdot (2x+\frac{1}{2\sqrt{x}})$