Zadanie - pochodna funkcji złożonej
Treść zadania:
Obliczyć pochodną funkcji:
a) \(f(x)=\sin{(\cos{x})}\)
b) \(f(x)=\sqrt{x^2+\sqrt{x}}\)
Skorzystamy tu ze wzoru na obliczanie pochodnej funkcji złożonej:
\(h'(x)=g'(f(x))\cdot f'(x)\)Rozwiązanie części a)
Dana jest funkcja \(f(x)=\sin{(\cos{x})}\)
Rozpoznajemy funkcją zewnętrzną (sinus) i wewnętrzną (cosinus). Obliczamy więc najpierw pochodną funkcji zewnętrznej, której argumentem jest funkcja wewnętrzna, a potem pochodną funkcji wewnętrznej.
\(f'(x)=\cos{(\cos{x})}\cdot(-\sin{x})=-\sin{x}\cos{(cos{x})}\)
Alternatywny sposób rozwiązania.
Jeżeli masz kłopot w obliczaniu pochodnej funkcji złożonej w pamięci, możesz stosować podstawienie, jednak przy obliczaniu pochodnych bardziej skomplikowanych funkcji ta metoda może okazać się kłopotliwa.
\(f(x)=\sin{(\cos{x})}\)
\(u=\cos{x}\)
\(u'=-\sin{x}\)
\(f(u)=\sin{u}\)
\(f'(u)=\cos{u}\)
\(f'(x)=-\sin{x}\cos{(cos{x})}\)
© medianauka.pl, 2010-09-14, ZAD-907
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Obliczyć pochodną funkcji:
a) \(f(x)=\sin{2x}\)
b) \(f(x)=\sqrt{x^3-2x+1}\)
c) \(f(x)=\sqrt[3]{1+x^2}\)
Zadanie nr 3.
Obliczyć pochodną funkcji \(f(x)=\frac{\sin{2x}}{1+cos^2{x}}\).