Nauka » Matematyka » Pochodna funkcji złożonej

Zadanie - pochodna funkcji złożonej

Obliczyć pochodną funkcji
$f(x)=\sin^2{x}\cdot \cos^2{x}$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$f'(x)=(\sin^2{x})'\cdot \cos^2{x}+\sin^2{x}\cdot (\cos^2{x})'=\\=2\sin{x}\cos{x}\cdot \cos^2{x}+\sin^2{x}\cdot 2\cos{x}\cdot (-\sin{x})=2\sin{x}\cos^3{x}-2\cos{x}\sin^3{x}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Mamy tu do czynienia z iloczynem dwóch funkcji: sin²x oraz cos²x. Stosujemy więc w pierwszej kolejności wzór na pochodną iloczynu funkcji:

$[f(x)\cdot g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$

Mamy więc:

$f'(x)=(\sin^2{x})'\cdot \cos^2{x}+\sin^2{x}\cdot (\cos^2{x})'=$

Mamy tutaj dwie pochodne funkcji złożonej (w obu nawiasach). Skorzystamy ze wzoru na obliczanie pochodnej funkcji złożonej:

$h'(x)=g'(f(x))\cdot f'(x)$

W pierwszym nawiasie mamy tu do czynienia z funkcją zewnętrzną (druga potęga) i wewnętrzną (sinus). Postępujemy więc zgodnie z przytoczonym wyżej wzorem. Obliczamy najpierw pochodną funkcji zewnętrznej, której argumentem jest funkcja wewnętrzna, a potem pochodną funkcji wewnętrznej.

$f(x)=\sin^2{x}=(\sin{x})^2\\ f'(x)=2\sin{x}\cdot \cos{x}$

W drugim nawiasie mamy tu do czynienia z funkcją zewnętrzną (druga potęga) i wewnętrzną (cosinus). Postępujemy więc zgodnie z przytoczonym wyżej wzorem. Obliczamy najpierw pochodną funkcji zewnętrznej, której argumentem jest funkcja wewnętrzna, a potem pochodną funkcji wewnętrznej.

$f(x)=\cos^2{x}=(\cos{x})^2\\ f'(x)=2\cos{x}\cdot (-\sin{x}}$

Mamy więc:

$=2\sin{x}\cos{x}\cdot \cos^2{x}+\sin^2{x}\cdot 2\cos{x}\cdot (-\sin{x})=2\sin{x}\cos^3{x}-2\cos{x}\sin^3{x}$

Możemy jeszcze się pokusić o przekształcenie tego wzoru w następujący sposób, korzystając z tożsamości trygonometrycznych:

$\sin{2x}=2\sin{x}\cdot \cos{x}\\ \cos{2x}=\cos^2{x}-\sin^2{x}$

Mamy więc:

$2\sin{x}\cos^3{x}-2\cos{x}\sin^3{x}=2\sin{x}\cos{x}(\cos^2{x}-\sin^2{x})=\sin{2x}\cos{2x}$

Odpowiedź

$f'(x)=2\sin{x}\cos^3{x}-2\cos{x}\sin^3{x}$

Zadania podobne

Zadanie - pochodna funkcji złożonej
Obliczyć pochodną funkcji:
a) $f(x)=\sin{2x}$
b) $f(x)=\sqrt{x^3-2x+1}$
c) $f(x)=\sqrt[3]{1+x^2}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pochodna funkcji złożonej
Obliczyć pochodną funkcji:
a) $f(x)=\sin{(\cos{x})}$
b) $f(x)=\sqrt{x^2+\sqrt{x}}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pochodna funkcji złożonej
Obliczyć pochodną funkcji
$f(x)=\frac{\sin{2x}}{1+cos^2{x}}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.