logo

Zadanie - pochodna drugiego rzędu


Obliczyć drugą pochodną funkcji:
a)f(x)=\cos^2{2x}
b) f(x)=\frac{x^2+1}{x^2-1}

ksiązki a) Rozwiązanie zadania uproszczone

f'(x)=2\cos{2x}\cdot (-sin2x)\cdot 2=-4\sin2x\cdot \cos{2x}
f^{II}(x)=-4(\sin{2x}\cdot \cos{2x})'=-4[\cos2x\cdot 2\cdot \cos{2x}+\sin{2x}(-\sin{2x}\cdot 2)]=\\ =-4(2\cos^2{2x}-2\sin^2{2x})=8sin^2{2x}-8\cos^2{2x}

ksiązki a) Rozwiązanie zadania szczegółowe

Aby obliczyć drugą pochodną funkcji, najpierw trzeba obliczyć pierwszą pochodną. Mamy tutaj do czynienia z funkcją złożoną.

Funkcją zewnętrzną jest tutaj kwadrat, wewnętrzną cosinus podwojonego kąta (który jest również funkcją złożoną, gdzie funkcją zewnętrzną jest cosinus, a wewnętrzną 2x)

f'(x)=2cos{2x}\cdot (\cos{2x})'=2\cos2x\cdot (-sin{2x})\cdot (2x)'=-4\sin2x\cos2x

Teraz można przystąpić do obliczenia pochodnej drugiego rzędu. Mamy teraz do czynienia z pochodną iloczynu dwóch funkcji zgodnie ze wzorem:

[f(x)\cdot g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

Mamy więc:

f^{II}(x)=(f'(x))'=-4(\sin{2x}\cdot \cos{2x})'= -4[(\sin{2x})'\cos{2x}+\sin{2x}(\cos{2x})'] =\\ =-4[\cos2x\cdot 2\cdot \cos{2x}+\sin{2x}(-\sin{2x}\cdot 2)]=\\ =-4(2\cos^2{2x}-2\sin^2{2x})=8sin^2{2x}-8\cos^2{2x} tło tło tło tło

ksiązki Odpowiedź

f^{II}(x)=8sin^2{2x}-8\cos^2{2x}

ksiązki b) Rozwiązanie zadania uproszczone

f'(x)=\frac{2x(x^2-1)-2x(x^2+1)}{(x^2-1)^2}=\frac{2x(x^2-1-x^2-1)}{(x^2-1)^2}=\frac{-4x}{(x^2-1)^2}
f^{II}(x)=\frac{-4(x^2-1)^2+4x\cdot 2(x^2-1)\cdot 2x}{(x^2-1)^4}=\frac{-4(x^2-1)^2+16x^2(x^2-1)}{(x^2-1)^4}=\\ =\frac{16x^2-4(x^2-1)}{(x^2-1)^3}=\frac{12x^2+4}{(x^2-1)^3}

ksiązki b) Rozwiązanie zadania szczegółowe

Mamy tutaj iloraz funkcji, korzystamy więc ze wzoru na pochodną ilorazu:

(\frac{f(x)}{g(x)})'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}

Mamy więc:

f'(x)=\frac{(x^2+1)'(x^2-1)-(x^2+1)(x^2-1)'}{(x^2-1)^2}=\frac{2x(x^2-1)-2x(x^2+1)}{(x^2-1)^2}=\\ =\frac{2x(\cancel{x^2}-1-\cancel{x^2}-1)}{(x^2-1)^2}=\frac{-4x}{(x^2-1)^2}

Teraz przystępujemy do obliczenia pochodnej drugiego rzędu.

f^{II}(x)=(f'(x))'=[\frac{-4x}{(x^2-1)^2}]'=\frac{(-4x)'(x^2-1)^2-(-4x)[(x^2-1)^2]'}{(x^2-1)^4}=\\ = \frac{-4(x^2-1)^2+4x\cdot 2(x^2-1)\cdot 2x}{(x^2-1)^4}=\frac{-4(x^2-1)^2+16x^2(x^2-1)}{(x^2-1)^4}=\\ =\frac{\cancel{(x^2-1)}[16x^2-4(x^2-1)]}{(x^2-1)^{\cancel{4}^3}}=\frac{16x^2-4(x^2-1)}{(x^2-1)^3}=\frac{16x^2-4x^2+4}{(x^2-1)^3}=\frac{12x^2+4}{(x^2-1)^3} tło tło tło tło

ksiązki Odpowiedź

f^{II}(x)=\frac{12x^2+4}{(x^2-1)^3}

© medianauka.pl, 2010-09-18, ZAD-915

Zadania podobne

kulkaZadanie - pochodna drugiego rzędu
Obliczyć drugą pochodną funkcji:
a) f(x)=\sqrt{x}
b) f(x)=x^2-x^3+\frac{1}{x^3}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - druga pochodna funkcji
Dla jakiej wartości argumentu x druga pochodna funkcji f(x)=\frac{1}{1+x} jest równa \frac{1}{4}?

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - druga pochodna funkcji
Rozwiąż równanie y''+y'=0, gdzie y=x3+1.

Pokaż rozwiązanie zadania






Polecamy w naszym sklepie

Kolorowe skarpetki Miasto
Krótka historia wielkich umysłów
Liczby, ich dzieje, rodzaje, własności
kolorowe skarpetki góra lodowa
Rodzinna matematyka
Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© ® Media Nauka 2008-2022 r.