Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie - pochodna drugiego rzędu


Obliczyć drugą pochodną funkcji:
a)f(x)=\cos^2{2x}
b) f(x)=\frac{x^2+1}{x^2-1}


ksiązki a) Rozwiązanie zadania uproszczone

f'(x)=2\cos{2x}\cdot (-sin2x)\cdot 2=-4\sin2x\cdot \cos{2x}
f^{II}(x)=-4(\sin{2x}\cdot \cos{2x})'=-4[\cos2x\cdot 2\cdot \cos{2x}+\sin{2x}(-\sin{2x}\cdot 2)]=\\ =-4(2\cos^2{2x}-2\sin^2{2x})=8sin^2{2x}-8\cos^2{2x}

ksiązki a) Rozwiązanie zadania szczegółowe

Aby obliczyć drugą pochodną funkcji, najpierw trzeba obliczyć pierwszą pochodną. Mamy tutaj do czynienia z funkcją złożoną.

Funkcją zewnętrzną jest tutaj kwadrat, wewnętrzną cosinus podwojonego kąta (który jest również funkcją złożoną, gdzie funkcją zewnętrzną jest cosinus, a wewnętrzną 2x)

f'(x)=2cos{2x}\cdot (\cos{2x})'=2\cos2x\cdot (-sin{2x})\cdot (2x)'=-4\sin2x\cos2x

Teraz można przystąpić do obliczenia pochodnej drugiego rzędu. Mamy teraz do czynienia z pochodną iloczynu dwóch funkcji zgodnie ze wzorem:

[f(x)\cdot g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

Mamy więc:

f^{II}(x)=(f'(x))'=-4(\sin{2x}\cdot \cos{2x})'= -4[(\sin{2x})'\cos{2x}+\sin{2x}(\cos{2x})'] =\\ =-4[\cos2x\cdot 2\cdot \cos{2x}+\sin{2x}(-\sin{2x}\cdot 2)]=\\ =-4(2\cos^2{2x}-2\sin^2{2x})=8sin^2{2x}-8\cos^2{2x} tło tło tło tło

ksiązki Odpowiedź

f^{II}(x)=8sin^2{2x}-8\cos^2{2x}

ksiązki b) Rozwiązanie zadania uproszczone

f'(x)=\frac{2x(x^2-1)-2x(x^2+1)}{(x^2-1)^2}=\frac{2x(x^2-1-x^2-1)}{(x^2-1)^2}=\frac{-4x}{(x^2-1)^2}
f^{II}(x)=\frac{-4(x^2-1)^2+4x\cdot 2(x^2-1)\cdot 2x}{(x^2-1)^4}=\frac{-4(x^2-1)^2+16x^2(x^2-1)}{(x^2-1)^4}=\\ =\frac{16x^2-4(x^2-1)}{(x^2-1)^3}=\frac{12x^2+4}{(x^2-1)^3}

ksiązki b) Rozwiązanie zadania szczegółowe

Mamy tutaj iloraz funkcji, korzystamy więc ze wzoru na pochodną ilorazu:

(\frac{f(x)}{g(x)})'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}

Mamy więc:

f'(x)=\frac{(x^2+1)'(x^2-1)-(x^2+1)(x^2-1)'}{(x^2-1)^2}=\frac{2x(x^2-1)-2x(x^2+1)}{(x^2-1)^2}=\\ =\frac{2x(\cancel{x^2}-1-\cancel{x^2}-1)}{(x^2-1)^2}=\frac{-4x}{(x^2-1)^2}

Teraz przystępujemy do obliczenia pochodnej drugiego rzędu.

f^{II}(x)=(f'(x))'=[\frac{-4x}{(x^2-1)^2}]'=\frac{(-4x)'(x^2-1)^2-(-4x)[(x^2-1)^2]'}{(x^2-1)^4}=\\ = \frac{-4(x^2-1)^2+4x\cdot 2(x^2-1)\cdot 2x}{(x^2-1)^4}=\frac{-4(x^2-1)^2+16x^2(x^2-1)}{(x^2-1)^4}=\\ =\frac{\cancel{(x^2-1)}[16x^2-4(x^2-1)]}{(x^2-1)^{\cancel{4}^3}}=\frac{16x^2-4(x^2-1)}{(x^2-1)^3}=\frac{16x^2-4x^2+4}{(x^2-1)^3}=\frac{12x^2+4}{(x^2-1)^3} tło tło tło tło

ksiązki Odpowiedź

f^{II}(x)=\frac{12x^2+4}{(x^2-1)^3}

© medianauka.pl, 2010-09-18, ZAD-915





Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.