Zadanie - pochodna drugiego rzędu
a)

b)

a) Rozwiązanie zadania uproszczone

![f^{II}(x)=-4(\sin{2x}\cdot \cos{2x})'=-4[\cos2x\cdot 2\cdot \cos{2x}+\sin{2x}(-\sin{2x}\cdot 2)]=\\ =-4(2\cos^2{2x}-2\sin^2{2x})=8sin^2{2x}-8\cos^2{2x}](matematyka/wzory/zad487/3.gif)
a) Rozwiązanie zadania szczegółowe
Aby obliczyć drugą pochodną funkcji, najpierw trzeba obliczyć pierwszą pochodną. Mamy tutaj do czynienia z funkcją złożoną.
Funkcją zewnętrzną jest tutaj kwadrat, wewnętrzną cosinus podwojonego kąta (który jest również funkcją złożoną, gdzie funkcją zewnętrzną jest cosinus, a wewnętrzną 2x)

Teraz można przystąpić do obliczenia pochodnej drugiego rzędu. Mamy teraz do czynienia z pochodną iloczynu dwóch funkcji zgodnie ze wzorem:
![[f(x)\cdot g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)](matematyka/wzory/zad487/5.gif)
Mamy więc:
![f^{II}(x)=(f'(x))'=-4(\sin{2x}\cdot \cos{2x})'= -4[(\sin{2x})'\cos{2x}+\sin{2x}(\cos{2x})'] =\\ =-4[\cos2x\cdot 2\cdot \cos{2x}+\sin{2x}(-\sin{2x}\cdot 2)]=\\ =-4(2\cos^2{2x}-2\sin^2{2x})=8sin^2{2x}-8\cos^2{2x}](matematyka/wzory/zad487/6.gif)




Odpowiedź

b) Rozwiązanie zadania uproszczone


b) Rozwiązanie zadania szczegółowe
Mamy tutaj iloraz funkcji, korzystamy więc ze wzoru na pochodną ilorazu:
![(\frac{f(x)}{g(x)})'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}](matematyka/wzory/zad488/4.gif)
Mamy więc:

Teraz przystępujemy do obliczenia pochodnej drugiego rzędu.
![f^{II}(x)=(f'(x))'=[\frac{-4x}{(x^2-1)^2}]'=\frac{(-4x)'(x^2-1)^2-(-4x)[(x^2-1)^2]'}{(x^2-1)^4}=\\ = \frac{-4(x^2-1)^2+4x\cdot 2(x^2-1)\cdot 2x}{(x^2-1)^4}=\frac{-4(x^2-1)^2+16x^2(x^2-1)}{(x^2-1)^4}=\\ =\frac{\cancel{(x^2-1)}[16x^2-4(x^2-1)]}{(x^2-1)^{\cancel{4}^3}}=\frac{16x^2-4(x^2-1)}{(x^2-1)^3}=\frac{16x^2-4x^2+4}{(x^2-1)^3}=\frac{12x^2+4}{(x^2-1)^3}](matematyka/wzory/zad488/6.gif)




Odpowiedź

© medianauka.pl, 2010-09-18, ZAD-915
Zadania podobne

Obliczyć drugą pochodną funkcji:
a)

b)

Pokaż rozwiązanie zadania

Dla jakiej wartości argumentu x druga pochodna funkcji


Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiąż równanie

Pokaż rozwiązanie zadania