Nauka » Matematyka » Pochodna drugiego rzędu i dalsze pochodne

Zadanie - pochodna drugiego rzędu

Obliczyć drugą pochodną funkcji:
a) $f(x)=\cos^2{2x}$
b) $f(x)=\frac{x^2+1}{x^2-1}$

a) Rozwiązanie zadania uproszczone

$f'(x)=2\cos{2x}\cdot (-sin2x)\cdot 2=-4\sin2x\cdot \cos{2x}$
$f^{II}(x)=-4(\sin{2x}\cdot \cos{2x})'=-4[\cos2x\cdot 2\cdot \cos{2x}+\sin{2x}(-\sin{2x}\cdot 2)]=\\ =-4(2\cos^2{2x}-2\sin^2{2x})=8sin^2{2x}-8\cos^2{2x}$

a) Rozwiązanie zadania szczegółowe

Aby obliczyć drugą pochodną funkcji, najpierw trzeba obliczyć pierwszą pochodną. Mamy tutaj do czynienia z funkcją złożoną.

Funkcją zewnętrzną jest tutaj kwadrat, wewnętrzną cosinus podwojonego kąta (który jest również funkcją złożoną, gdzie funkcją zewnętrzną jest cosinus, a wewnętrzną 2x)

$f'(x)=2cos{2x}\cdot (\cos{2x})'=2\cos2x\cdot (-sin{2x})\cdot (2x)'=-4\sin2x\cos2x$

Teraz można przystąpić do obliczenia pochodnej drugiego rzędu. Mamy teraz do czynienia z pochodną iloczynu dwóch funkcji zgodnie ze wzorem:

$[f(x)\cdot g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$

Mamy więc:

$f^{II}(x)=(f'(x))'=-4(\sin{2x}\cdot \cos{2x})'= -4[(\sin{2x})'\cos{2x}+\sin{2x}(\cos{2x})'] =\\ =-4[\cos2x\cdot 2\cdot \cos{2x}+\sin{2x}(-\sin{2x}\cdot 2)]=\\ =-4(2\cos^2{2x}-2\sin^2{2x})=8sin^2{2x}-8\cos^2{2x}$ tło

Odpowiedź

$f^{II}(x)=8sin^2{2x}-8\cos^2{2x}$

b) Rozwiązanie zadania uproszczone

$f'(x)=\frac{2x(x^2-1)-2x(x^2+1)}{(x^2-1)^2}=\frac{2x(x^2-1-x^2-1)}{(x^2-1)^2}=\frac{-4x}{(x^2-1)^2}$
$f^{II}(x)=\frac{-4(x^2-1)^2+4x\cdot 2(x^2-1)\cdot 2x}{(x^2-1)^4}=\frac{-4(x^2-1)^2+16x^2(x^2-1)}{(x^2-1)^4}=\\ =\frac{16x^2-4(x^2-1)}{(x^2-1)^3}=\frac{12x^2+4}{(x^2-1)^3}$

b) Rozwiązanie zadania szczegółowe

Mamy tutaj iloraz funkcji, korzystamy więc ze wzoru na pochodną ilorazu:

$(\frac{f(x)}{g(x)})'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$

Mamy więc:

$f'(x)=\frac{(x^2+1)'(x^2-1)-(x^2+1)(x^2-1)'}{(x^2-1)^2}=\frac{2x(x^2-1)-2x(x^2+1)}{(x^2-1)^2}=\\ =\frac{2x(\cancel{x^2}-1-\cancel{x^2}-1)}{(x^2-1)^2}=\frac{-4x}{(x^2-1)^2}$

Teraz przystępujemy do obliczenia pochodnej drugiego rzędu.

$f^{II}(x)=(f'(x))'=[\frac{-4x}{(x^2-1)^2}]'=\frac{(-4x)'(x^2-1)^2-(-4x)[(x^2-1)^2]'}{(x^2-1)^4}=\\ = \frac{-4(x^2-1)^2+4x\cdot 2(x^2-1)\cdot 2x}{(x^2-1)^4}=\frac{-4(x^2-1)^2+16x^2(x^2-1)}{(x^2-1)^4}=\\ =\frac{\cancel{(x^2-1)}[16x^2-4(x^2-1)]}{(x^2-1)^{\cancel{4}^3}}=\frac{16x^2-4(x^2-1)}{(x^2-1)^3}=\frac{16x^2-4x^2+4}{(x^2-1)^3}=\frac{12x^2+4}{(x^2-1)^3}$ tło

Odpowiedź

$f^{II}(x)=\frac{12x^2+4}{(x^2-1)^3}$

Zadania podobne

Zadanie - pochodna drugiego rzędu
Obliczyć drugą pochodną funkcji:
a) $f(x)=\sqrt{x}$
b) $f(x)=x^2-x^3+\frac{1}{x^3}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - druga pochodna funkcji
Dla jakiej wartości argumentu x druga pochodna funkcji $f(x)=\frac{1}{1+x}$ jest równa $\frac{1}{4}$ ?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - druga pochodna funkcji
Rozwiąż równanie

, gdzie y=x³+1.

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.