Nauka » Matematyka » Pochodna drugiego rzędu i dalsze pochodne

Zadanie - druga pochodna funkcji

Dla jakiej wartości argumentu x druga pochodna funkcji $f(x)=\frac{1}{1+x}$ jest równa $\frac{1}{4}$ ?

Rozwiązanie zadania uproszczone

$f'(x)=\frac{0-1}{(x+1)^2}=\frac{-1}{(x+1)^2}$
$f^{II}(x)=\frac{0-(-1)\cdot 2(x+1)}{(x+1)^4}=\frac{2(x+1)}{(x+1)^4}=\frac{2}{(x+1)^3}$
$f^{II}(x)=\frac{1}{4} \\ \frac{2}{(x+1)^3}=\frac{1}{4}/\cdot 4\\ \frac{8}{(x+1)^3}-\frac{(x+1)^3}{(x+1)^3}=0\\ 8-(x+1)^3=0\\ 8-x^3-3x^2-3x-1=0/:(-1)\\ x^3+3x^2+3x-7=0\\ (x^2+4x+7)(x-1)=0\\ x=1$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Aby obliczyć drugą pochodną funkcji, najpierw trzeba obliczyć pierwszą pochodną. Mamy tutaj iloraz funkcji, korzystamy więc ze wzoru na pochodną ilorazu:

$(\frac{f(x)}{g(x)})'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$

Mamy więc

$f'(x)=\frac{(1)'(x+1)-1\cdot (x+1)'}{(x+1)^2}=\frac{0-1)}{(x^2-1)^2}=\frac{-1}{(x+1)^2}$

Teraz można przystąpić do obliczenia pochodnej drugiego rzędu. Korzystamy z przytoczonego wyżej wzoru na pochodną ilorazu funkcji:

$f^{II}(x)=(f'(x))'=[\frac{-1}{(x+1)^2}]'=\frac{(-1)'(x+1)^2-(-1)[(x+1)^2]'}{(x+1)^4}=\\ = \frac{0+2(x+1)}{(x+1)^4}=\frac{2\cancel{(x+1)}}{(x+1)^{\cancel{4}^3}}=\frac{2}{(x+1)^3}$ tło

Szukamy takich argumentów funkcji, dla których druga pochodna jest równa 1/4. Więc przyrównujemy drugą pochodną do tej liczby

$\frac{2}{(x+1)^3}=\frac{1}{4}/\cdot 4 \\ \frac{8}{(x+1)^3}=1\\ \frac{8}{(x+1)^3}-1=0\\ \frac{8}{(x+1)^3}-\frac{(x+1)^3}{(x+1)^3}=0 \\ \frac{8-(x+1)^3}{(x+1)^3}=0$

Ułamek jest równy zeru, jeżeli jego licznik jest równy zeru. Skorzystamy też ze wzoru skróconego mnożenia:

Mamy więc:

$8-(x+1)^3=0 \\ 8-(x^3+3x^2+3x+1)=0 \\ 8-x^3-3x^2-3x-1=0\\ 7-x^3-3x^2-3x=0/\cdot(-1)\\ x^3+3x^2+3x-7=0$

Mamy do czynienia z równaniem wielomianowym. Szukamy pierwiastków pośród dzielników wyrazu wolnego.

$W(1)=1^3+3\cdot 1^2+3\cdot 1-7=0 \\W(-1)=(-1)^3+3\cdot (-1)^2+3\cdot (-1)-7=-1+3-3-7\neq 0$

Wykonujemy dzielenie wielomianów:

$(x^3+3x^2+3x-7):(x-1)=x^2+4x+7\\ \underline{\ x^3-x^2}\\ \ \ \ \ 4x^2+3x-7\\ \underline{\ \ \ \ 4x^2-4x}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ 7x-7\\ \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ 7x-7}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R=0$

Nasze równanie przyjmuje postać:

Sprawdzamy, czy trójmian kwadratowy rozkłada się na czynniki:

$x^2+4x+7\\ a=1,\ b=4, \ c=7\\ \Delta=b^2-4ac=16-4\cdot 1\cdot 7=-12<0$

Zatem trójmian ten zawsze jest różny od zera (nie ma miejsc zerowych, gdyż wyróżnik trójmianu kwadratowego jest ujemny). Skoro tak, to iloczyn (x-1)(x²+4x+7) jest równy zeru, gdy:

$x-1=0 \\ x=1$

Odpowiedź

Dla x=1 druga pochodna funkcji $f(x)=\frac{1}{1+x}$ jest równa $\frac{1}{4}$

Zadania podobne

Zadanie - pochodna drugiego rzędu
Obliczyć drugą pochodną funkcji:
a) $f(x)=\sqrt{x}$
b) $f(x)=x^2-x^3+\frac{1}{x^3}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pochodna drugiego rzędu
Obliczyć drugą pochodną funkcji:
a) $f(x)=\cos^2{2x}$
b) $f(x)=\frac{x^2+1}{x^2-1}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - druga pochodna funkcji
Rozwiąż równanie

, gdzie y=x³+1.

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.