Nauka » Matematyka » Pochodna drugiego rzędu i dalsze pochodne

Zadanie - pochodna drugiego rzędu

Obliczyć drugą pochodną funkcji:
a) $f(x)=\sqrt{x}$
b) $f(x)=x^2-x^3+\frac{1}{x^3}$

a) Rozwiązanie zadania

Aby obliczyć drugą pochodną funkcji, najpierw trzeba obliczyć pierwszą pochodną, korzystając z wzoru podstawowego na pochodną pierwiastka.

$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

Teraz można przystąpić do obliczenia pochodnej drugiego rzędu:

$f^{II}(x)=(f'(x))'=(\frac{1}{2\sqrt{x}})'=$

Mamy tu do czynienia z ilorazem dwóch funkcji. Stosujemy więc w pierwszej kolejności wzór na pochodną ilorazu funkcji:

$(\frac{f(x)}{g(x)})'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$

Mamy więc:

$=\frac{(1)'\cdot 2\sqrt{x}-1\cdot(2\sqrt{x})'}{(2\sqrt{x})^2}=\frac{0-\cancel{2}\cdot \frac{1}{\cancel{2}\sqrt{x}}}{4x}=\frac{-\frac{1}{\sqrt{x}}}{4x}=-\frac{1}{4x\sqrt{x}}$

Odpowiedź

$f^{II}(x)=-\frac{1}{4x\sqrt{x}}$

b) Rozwiązanie zadania

W pierwszej kolejności doprowadzimy naszą funkcję do postaci, z której łatwiej będzie obliczyć pochodną, korzystając ze wzoru:

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$

Mamy więc:

$f(x)=x^2-x^3+\frac{1}{x^3}=x^2-x^3+x^{-3}$

Aby obliczyć drugą pochodną funkcji, trzeba obliczyć pierwszą pochodną, korzystając z wzoru podstawowego na pochodną sumy funkcji:

$(x^n)'=nx^{n-1}$

Otrzymujemy:

$f'(x)=(x^2-x^3+x^{-3})'=2x^{2-1}-3x^{3-1}-3x^{-3-1}=2x-3x^2-3x^{-4}$

Teraz można przystąpić do obliczenia pochodnej drugiego rzędu w analogiczny sposób:

$f^{II}(x)=(f'(x))'=(2x-3x^2-3x^{-4})'=2-6x+12x^-5=\frac{12}{x^5}-6x+2$

Odpowiedź

$f^{II}(x)=\frac{12}{x^5}-6x+2$

Zadania podobne

Zadanie - pochodna drugiego rzędu
Obliczyć drugą pochodną funkcji:
a) $f(x)=\cos^2{2x}$
b) $f(x)=\frac{x^2+1}{x^2-1}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - druga pochodna funkcji
Dla jakiej wartości argumentu x druga pochodna funkcji $f(x)=\frac{1}{1+x}$ jest równa $\frac{1}{4}$ ?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - druga pochodna funkcji
Rozwiąż równanie

, gdzie y=x³+1.

Pokaż rozwiązanie zadania