Zadanie - pochodna drugiego rzędu


Obliczyć drugą pochodną funkcji:
a) f(x)=\sqrt{x}
b) f(x)=x^2-x^3+\frac{1}{x^3}

ksiązki a) Rozwiązanie zadania

Aby obliczyć drugą pochodną funkcji, najpierw trzeba obliczyć pierwszą pochodną, korzystając z wzoru podstawowego na pochodną pierwiastka.

f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}

Teraz można przystąpić do obliczenia pochodnej drugiego rzędu:

f^{II}(x)=(f'(x))'=(\frac{1}{2\sqrt{x}})'=

Mamy tu do czynienia z ilorazem dwóch funkcji. Stosujemy więc w pierwszej kolejności wzór na pochodną ilorazu funkcji:

(\frac{f(x)}{g(x)})'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}

Mamy więc:

=\frac{(1)'\cdot 2\sqrt{x}-1\cdot(2\sqrt{x})'}{(2\sqrt{x})^2}=\frac{0-\cancel{2}\cdot \frac{1}{\cancel{2}\sqrt{x}}}{4x}=\frac{-\frac{1}{\sqrt{x}}}{4x}=-\frac{1}{4x\sqrt{x}}

ksiązki Odpowiedź

f^{II}(x)=-\frac{1}{4x\sqrt{x}}

ksiązki b) Rozwiązanie zadania

W pierwszej kolejności doprowadzimy naszą funkcję do postaci, z której łatwiej będzie obliczyć pochodną, korzystając ze wzoru:

a^{-n}=\frac{1}{a^n}

Mamy więc:

f(x)=x^2-x^3+\frac{1}{x^3}=x^2-x^3+x^{-3}

Aby obliczyć drugą pochodną funkcji, trzeba obliczyć pierwszą pochodną, korzystając z wzoru podstawowego na pochodną sumy funkcji:

(x^n)'=nx^{n-1}

Otrzymujemy:

f'(x)=(x^2-x^3+x^{-3})'=2x^{2-1}-3x^{3-1}-3x^{-3-1}=2x-3x^2-3x^{-4}

Teraz można przystąpić do obliczenia pochodnej drugiego rzędu w analogiczny sposób:

f^{II}(x)=(f'(x))'=(2x-3x^2-3x^{-4})'=2-6x+12x^-5=\frac{12}{x^5}-6x+2

ksiązki Odpowiedź

f^{II}(x)=\frac{12}{x^5}-6x+2

© medianauka.pl, 2010-09-18, ZAD-913


Zadania podobne

kulkaZadanie - pochodna drugiego rzędu
Obliczyć drugą pochodną funkcji:
a)f(x)=\cos^2{2x}
b) f(x)=\frac{x^2+1}{x^2-1}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - druga pochodna funkcji
Dla jakiej wartości argumentu x druga pochodna funkcji f(x)=\frac{1}{1+x} jest równa \frac{1}{4}?

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - druga pochodna funkcji
Rozwiąż równanie y''+y'=0, gdzie y=x3+1.

Pokaż rozwiązanie zadania



Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© Media Nauka 2008-2018 r.