Nauka » Matematyka » Pochodna drugiego rzędu i dalsze pochodne

Zadanie - pochodna drugiego rzędu

Treść zadania:

Obliczyć drugą pochodną funkcji:

a) \(f(x)=\sqrt{x}\)

b) \(f(x)=x^2-x^3+\frac{1}{x^3}\)

Rozwiązanie części a)

Aby obliczyć drugą pochodną funkcji, najpierw trzeba obliczyć pierwszą pochodną, korzystając z wzoru podstawowego na pochodną pierwiastka.

\(f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)

Teraz można przystąpić do obliczenia pochodnej drugiego rzędu:

\(f^{II}(x)=(f'(x))'=(\frac{1}{2\sqrt{x}})'=\)

Mamy tu do czynienia z ilorazem dwóch funkcji. Stosujemy więc w pierwszej kolejności wzór na pochodną ilorazu funkcji:

\((\frac{f(x)}{g(x)})'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}\)

Mamy więc:

\(=\frac{(1)'\cdot 2\sqrt{x}-1\cdot(2\sqrt{x})'}{(2\sqrt{x})^2}=\frac{0-\cancel{2}\cdot \frac{1}{\cancel{2}\sqrt{x}}}{4x}=\frac{-\frac{1}{\sqrt{x}}}{4x}=-\frac{1}{4x\sqrt{x}}\)

Odpowiedź

\(f^{II}(x)=-\frac{1}{4x\sqrt{x}}\)

Rozwiązanie części b)

W pierwszej kolejności doprowadzimy naszą funkcję do postaci, z której łatwiej będzie obliczyć pochodną, korzystając ze wzoru:

\(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\)

Mamy więc:

\(f(x)=x^2-x^3+\frac{1}{x^3}=x^2-x^3+x^{-3}\)

Aby obliczyć drugą pochodną funkcji, trzeba obliczyć pierwszą pochodną, korzystając z wzoru podstawowego na pochodną sumy funkcji:

\((x^n)'=nx^{n-1}\)

Otrzymujemy:

\(f'(x)=(x^2-x^3+x^{-3})'=2x^{2-1}-3x^{3-1}-3x^{-3-1}=2x-3x^2-3x^{-4}\)

Teraz można przystąpić do obliczenia pochodnej drugiego rzędu w analogiczny sposób:

\(f^{II}(x)=(f'(x))'=(2x-3x^2-3x^{-4})'=2-6x+12x^-5=\frac{12}{x^5}-6x+2\)

Odpowiedź

\(f^{II}(x)=\frac{12}{x^5}-6x+2\)

Matura z matematyki

Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.

Zbiór zadań z matematyki

Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.

WYKRESY ONLINE

Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne

Zadanie nr 1.

Obliczyć drugą pochodną funkcji:

a) \(f(x)=\cos^2{2x}\)

b) \(f(x)=\frac{x^2+1}{x^2-1}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Dla jakiej wartości argumentu \(x\) druga pochodna funkcji \(f(x)=\frac{1}{1+x}\) jest równa \(\frac{1}{4}\)?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Rozwiąż równanie \(y''+y'=0\), gdzie \(y=x^3+1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.