Logo Media Nauka
Sklep naukowy

Zadanie - różniczkowalność funkcji

Obliczyć pochodną funkcji f(x)=|x| w punkcie x0=0

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

f(x_0)=f(0)=0 \\ \lim_{h\to 0^+}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=\lim_{h\to 0^+}{\frac{h-0}{h}}=1 \\ \lim_{h\to 0^-}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=\lim_{h\to 0^-}{\frac{-h-0}{h}}=-1

Nie istnieje granica ilorazu różnicowego w punkcie x0=0 dla przyrostu h, więc funkcja y=|x| nie jest różniczkowalna w tym punkcie.

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Obliczamy w pierwszym rzędzie wartość funkcji w punkcie x0=0.

Zgodnie z definicją wartości bezwzględnej naszą funkcję możemy zapisać w postaci:

f(x)=|x|=\begin{cases} x , \ dla x\geq 0 \\ -x \ dla \ x< 0 \end{cases}

Wartość funkcji w tym punkcie obliczymy, podstawiając liczbę 0 do wzoru funkcji za x (pierwszy wzór z powyższych w klamrze).

f(x_0)=f(0)=0

Pochodną funkcji w punkcie możemy obliczyć, korzystając ze wzoru:

f'(x_0)=\lim_{h\to 0}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}

Mamy tutaj jednak do czynienia z pewną trudnością, gdyż funkcja inaczej się zachowuje w zależności od przyrostów argumentów z lewej i prawej strony punktu x0. Policzmy granicę ilorazu różnicowego prawostronną i lewostronną:

\lim_{h\to 0^+}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=\lim_{h\to 0^+}{\frac{h-0}{h}}=1 \\ \lim_{h\to 0^-}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=\lim_{h\to 0^-}{\frac{-h-0}{h}}=-1 tło tło

Na uwagę zasługuje fragment powyższych rachunków zaznaczony na żółto. Ponieważ dążymy do zera z lewej strony punktu 0, bierzemy pod uwagę ujemne przyrosty h, a zgodnie z przytoczonym wzorem funkcji, otrzymujemy w wartości funkcji liczbę przeciwną do niej, czyli -h.

Ponieważ obie granice nie są sobie równe, to nie istnieje granica ilorazu różnicowego w punkcie x0=0 dla przyrostu h, więc funkcja y=|x| nie jest różniczkowalna w tym punkcie

ksiązki Odpowiedź

Pochodna funkcji f(x)=|x| w punkcie x0=0 nie istnieje.

© medianauka.pl, 2010-09-04, ZAD-889





Zadania podobne

kulkaZadanie - pochodna funkcji w punkcie
Obliczyć pochodną funkcji f(x)=-x2+x-1 w punkcie x0=-1.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - pochodna funkcji w punkcie
Obliczyć pochodną funkcji f(x)=x2 w punkcie x0

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - pochodna funkcji w punkcie
Obliczyć pochodną funkcji f(x)=\frac{1}{x+1} w punkcie x0=0

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - pochodna funkcji w punkcie
Obliczyć pochodną funkcji f(x)=\begin{cases} x^2 \ dla \ x\geq 0 \\ -2x^2 \ dla \ x<0 \end{cases} w punkcie x0=0.

Pokaż rozwiązanie zadania



© Media Nauka 2008-2018 r.