Strona główna » Matematyka » Pochodna funkcji w punkcie - definicja • Różniczkowalność a ciągłość funkcji

Zadanie - różniczkowalność funkcji

Obliczyć pochodną funkcji

w punkcie x₀=0

Rozwiązanie zadania uproszczone

$f(x_0)=f(0)=0 \\ \lim_{h\to 0^+}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=\lim_{h\to 0^+}{\frac{h-0}{h}}=1 \\ \lim_{h\to 0^-}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=\lim_{h\to 0^-}{\frac{-h-0}{h}}=-1$

Nie istnieje granica ilorazu różnicowego w punkcie x₀=0 dla przyrostu h, więc funkcja y=|x| nie jest różniczkowalna w tym punkcie.

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Obliczamy w pierwszym rzędzie wartość funkcji w punkcie x₀=0.

Zgodnie z definicją wartości bezwzględnej naszą funkcję możemy zapisać w postaci:

$f(x)=|x|=\begin{cases} x , \ dla x\geq 0 \\ -x \ dla \ x< 0 \end{cases}$

Wartość funkcji w tym punkcie obliczymy, podstawiając liczbę 0 do wzoru funkcji za x (pierwszy wzór z powyższych w klamrze).

Pochodną funkcji w punkcie możemy obliczyć, korzystając ze wzoru:

$f'(x_0)=\lim_{h\to 0}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}$

Mamy tutaj jednak do czynienia z pewną trudnością, gdyż funkcja inaczej się zachowuje w zależności od przyrostów argumentów z lewej i prawej strony punktu x₀. Policzmy granicę ilorazu różnicowego prawostronną i lewostronną:

$\lim_{h\to 0^+}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=\lim_{h\to 0^+}{\frac{h-0}{h}}=1 \\ \lim_{h\to 0^-}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=\lim_{h\to 0^-}{\frac{-h-0}{h}}=-1$ tło

Na uwagę zasługuje fragment powyższych rachunków zaznaczony na żółto. Ponieważ dążymy do zera z lewej strony punktu 0, bierzemy pod uwagę ujemne przyrosty h, a zgodnie z przytoczonym wzorem funkcji, otrzymujemy w wartości funkcji liczbę przeciwną do niej, czyli -h.

Ponieważ obie granice nie są sobie równe, to nie istnieje granica ilorazu różnicowego w punkcie x₀=0 dla przyrostu h, więc funkcja y=|x| nie jest różniczkowalna w tym punkcie