Zadanie - różniczkowalność funkcji

Rozwiązanie zadania uproszczone

Nie istnieje granica ilorazu różnicowego w punkcie x0=0 dla przyrostu h, więc funkcja y=|x| nie jest różniczkowalna w tym punkcie.
Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami
Obliczamy w pierwszym rzędzie wartość funkcji w punkcie x0=0.
Zgodnie z definicją wartości bezwzględnej naszą funkcję możemy zapisać w postaci:

Wartość funkcji w tym punkcie obliczymy, podstawiając liczbę 0 do wzoru funkcji za x (pierwszy wzór z powyższych w klamrze).

Pochodną funkcji w punkcie możemy obliczyć, korzystając ze wzoru:

Mamy tutaj jednak do czynienia z pewną trudnością, gdyż funkcja inaczej się zachowuje w zależności od przyrostów argumentów z lewej i prawej strony punktu x0. Policzmy granicę ilorazu różnicowego prawostronną i lewostronną:



Na uwagę zasługuje fragment powyższych rachunków zaznaczony na żółto. Ponieważ dążymy do zera z lewej strony punktu 0, bierzemy pod uwagę ujemne przyrosty h, a zgodnie z przytoczonym wzorem funkcji, otrzymujemy w wartości funkcji liczbę przeciwną do niej, czyli -h.
Ponieważ obie granice nie są sobie równe, to nie istnieje granica ilorazu różnicowego w punkcie x0=0 dla przyrostu h, więc funkcja y=|x| nie jest różniczkowalna w tym punkcie
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2010-09-04, ZAD-889
Zadania podobne

Obliczyć pochodną funkcji f(x)=-x2+x-1 w punkcie x0=-1.
Pokaż rozwiązanie zadania

Obliczyć pochodną funkcji f(x)=x2 w punkcie x0
Pokaż rozwiązanie zadania

Obliczyć pochodną funkcji

Pokaż rozwiązanie zadania

Obliczyć pochodną funkcji

Pokaż rozwiązanie zadania